Area del rettangolo

Home

Come si calcola l’area del rettangolo e quali sono le formule da utilizzare? Potreste fornire degli esercizi di esempio nei vari casi?

L’area del rettangolo è data dal prodotto delle misure della base e dell’altezza del rettangolo stesso. Più brevemente, tale area si calcola come il prodotto della base per l’altezza:

A=b \cdot h

ove {b} è la base mentre {h} è l’altezza.

E’ dunque possibile calcolare immediatamente l’area del rettangolo se il testo del problema fornisce entrambe le dimensioni del rettangolo stesso.

Talvolta può capitare di ritrovarci come dati una sola dimensione del rettangolo e l’altra dimensione viene espressa come frazione della dimensione nota. Ad esempio, ci potrà essere richiesto di calcolare l’area di un rettangolo avente base {b} nota e altezza pari a {\dfrac{2}{3}} della base. In tal caso basterà ricavare l’altezza come segue:

h= \dfrac{2}{3} \cdot b

A tal punto nota anche l’altezza potremo calcolare l’area con la formula vista.

In altri casi può capitare che ci venga fornito il perimetro {p} del rettangolo e una sua dimensione (base o altezza). In tal caso basterà ricavare il semiperimetro {\dfrac{p}{2}}, e da esso la dimensione mancante:

\dfrac{p}{2}= p:2; \qquad b=\dfrac{p}{2}-h \quad \text{oppure} \quad h =\dfrac{p}{2}-b

A tal punto avendo entrambe le dimensioni del rettangolo sarà possibile calcolarne l’area.

In altri casi possiamo avere come dati di partenza il perimetro del rettangolo e una relazione che lega tra loro le dimensioni del rettangolo. In alternativa è anche possibile avere come dati di partenza solo delle relazioni tra le dimensioni del rettangolo stesso.

Ma mettiamo subito in pratica i ragionamenti sin qui visti risolvendo dei problemi sul calcolo dell’area del rettangolo insieme.

Osservazione. Con il termine calcolo dell’area del rettangolo intendiamo più correttamente il calcolo della misura dell’area del rettangolo. Tuttavia, è diffuso l’utilizzo di tale linguaggio semplificato.

Esempio 1

Calcolare l’area di un rettangolo avente base {\text{20} cm} a la cui altezza è uguale ai {\dfrac{3}{5}} della base.

Poiché l’altezza del rettangolo è data da una frazione della base, dovremo moltiplicare la base del rettangolo per quella stessa frazione, ricavando in tal modo l’altezza stessa:

h= b \cdot \dfrac{3}{5}=\cancel{20}^4 \text{cm} \cdot \dfrac{3}{\cancel{5}}=12 \text{cm}

Ora possiamo calcolare l’area:

A= b \cdot h = 20 \text{cm}  \cdot 12 \text{cm} = 240 \text{cm}^2

Esempio 2

Calcolare l’area di un rettangolo avente perimetro {12,8 \text{m}} e che la base supera di {3 \text{m}} l’altezza.

Dal perimetro possiamo ricavare agevolmente il semiperimetro:

\dfrac{p}{2}=p:2=12,8 \text{m} : 2 = 6,4 \text{m}

Ora, il semiperimetro di un rettangolo è uguale alla somma della base e dell’altezza:

\dfrac{p}{2}=b+h

E poiché il testo ci dice che la base è maggiore di {3 \text{m} } rispetto all’altezza, abbiamo {b= h + 3 \text{m}}, e quindi, scrivendo nella precedente formula la quantità {h+3} al posto di {b}:

\dfrac{p}{2}=\overbrace{h+3}^{b}+h

e quindi poiché conosciamo la misura del semiperimetro:

6,4 \text{m} = h+3 \text{m} +h

Ora, la somma di una quantità con sé stessa è uguale al doppio della quantità stessa. Quindi {h+h=2 \cdot h}. Così:

6,4 \text{m} = h+3 \text{m} +h=h+h+3 \text{m} =2 \cdot h +3 \text{m} 

e quindi:

6,4m = 2h + 3 \text{m} 

ovvero:

2h = 6,4 \text{m} -3 \text{m} =3,4 m

e quindi:

h = \dfrac{3,4 \text{m}}{2}=1,7 \text{m}

Ora se la base supera di {3 \text{m}} l’altezza, la base sarà data da:

b=h+3 \text{m} = 1,7 \text{m} + 3 \text{m} = 4,7 \text{m} 

Infine, dato che a questo punto abbiamo base ed altezza possiamo calcolare l’area del rettangolo:

A = b \cdot h = 4,7 \text{m} \cdot 1,7 \text{m} = 7,99 \text{m}^2

Esempio 3

La somma e la differenza tra le dimensioni di un rettangolo sono rispettivamente {26,50 \text{dm}} e {12,30 \text{dm}}. Calcolare l’area del rettangolo.

Il testo ci dice che abbiamo:

b+h= 26,50 \text{dm}; \quad b-h=12,30 \text{dm}

In questi casi dobbiamo cercare di esprimere una dimensione come somma di un certo numero e dell’altra dimensione. Ragionando allora sulla seconda relazione possiamo scrivere:

b=12,30 \text{dm} + h

Ora, nella prima relazione scriviamo al posto di {b} la quantità {12,30 \text{dm} + h}:

\overbrace{12,30 \text{dm} + h }^{b}+ h = 26,50 \text{dm}

Ma sommare {h} due volte equivale a sommarne il doppio. Quindi la precedente diviene:

12,30 \text{dm} + 2 \cdot h  = 26,50 \text{dm}

E quindi:

2 \cdot h = 26,50 \text{dm}-12,30 \text{dm} =14,20 \text{dm}

A questo punto possiamo ricavare agevolmente l’altezza del rettangolo:

h = \dfrac{14,20 \text{dm}}{2}=7,10 \text{dm}

E quindi per quanto sappiamo dall’inizio:

b=12,30 \text{dm} + h = 12,30 \text{dm} + 7,10 \text{dm} = 19,40 \text{dm}

Avendo base ed altezza possiamo in conclusione calcolare l’area:

A=b \cdot h = 19,40 \text{dm} \cdot 7,10\ \text{dm} =  137,74 \text{dm}^2

Esempio 4

Il rapporto tra la base e l’altezza di un rettangolo è pari a {\dfrac{5}{3}} e la loro differenza è {38 \text{cm}}. Calcolare l’area del rettangolo.

Per quanto afferma il testo, possiamo dire che dividendo la base per l’altezza otteniamo come quoziente {5/3}. Nel linguaggio delle proporzioni ciò equivale a scrivere:

b:h=5:3

E poiché in una proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi:

b \cdot 3 = h \cdot 5

da cui:

b= \dfrac{h \cdot 5}{3} = \dfrac{5}{3} \cdot h

Inoltre il testo ci dice che:

b-h = 38 \text{cm}

e quindi, sostituendo a {b} la quantità { \dfrac{5}{3} \cdot h}:

\dfrac{5}{3}\cdot h -h =38 \text{cm}

Ora, osserviamo che se dividiamo una quantità per una dato numero e poi moltiplichiamo il risultato per quello stesso numero ritroviamo la quantità data. Possiamo quindi scrivere:

\left[\left( \dfrac{5}{3} \cdot h-h\right):h \right] \cdot h =38 \text{cm}

Ma a questo punto per la proprietà distribuitiva:

\left[ \left(\dfrac{5}{3} \cdot h : h  \right)-(h:h)\right] \cdot h=38 \text{cm}

e quindi:

\left( \dfrac{5}{3}-1\right) \cdot h=38 \text{cm}

ovvero:

\dfrac{2}{3} \cdot h = 38 \text{cm}

A questo punto possiamo ricavare {h}:

h= 38 \text{cm} \cdot \dfrac{3}{2}=57 \text{cm}

E poiché base ed altezza differiscono tra loro di {38 \text{cm}}:

b=h+38 \text{cm} = 57 \text{cm} + 38 \text{cm} = 95 \text{cm}

Avendo base ed altezza possiamo in conclusione calcolare l’area del rettangolo:

A= b \cdot h = 95 \text{cm} \cdot 57 \text{cm} = 5415 \text{cm}^2

Calcolo dell’area del rettangolo a partire da una dimensione e dalla diagonale

Concludiamo questa risposta analizzando il caso in cui si debba calcolare l’area di un rettangolo a partire da una sua dimensione (base o altezza) e dalla misura della diagonale {d}.

area del rettangolo

Poiché come mostra la figura possiamo individuare un triangolo rettangolo, per il teorema di Pitagora abbiamo:

h= \sqrt{d^2-b^2}; \qquad b = \sqrt{d^2-h^2}

Per cui a partire dalla diagonale e dalla base possiamo ricavare l’altezza, e invece a partire dalla diagonale e dall’altezza possiamo ricavare la base. In entrambi i casi, una volta ricavata la dimensione mancante, sarà possibile calcolare l’area del rettangolo.

Esempio 5

Calcolare l’area di un rettangolo avente base {20 \text{cm}} e diagonale {32 \text{cm}}.

Ricaviamo l’altezza del rettangolo:

\begin{align*} & h= \sqrt{d^2-b^2}=\sqrt{(32 \text{cm})^2-(20 \text{cm})^2}=\sqrt{1024-400} \text{cm}= \\ \\ & =\sqrt{624} \text{cm}  \approx 24,98 \text{cm}\end{align*}

Infine:

A= b \cdot h = 20 \text{cm} \cdot 24,98 \text{cm} = 499,6 \text{cm}^2

«    Lezione precedente Esercizi correlatiLezione successiva   »
Ulteriori esercizi

Domande e risposte