La cardinalità di un insieme A, detta anche potenza o ordine dell’insieme, che si indica con card(A), #A o anche |A|, è un numero naturale che rappresenta il numero di elementi dello stesso insieme A.
Entriamo così nel dettaglio del conteggio degli elementi di un insieme, introducendo il concetto di cardinalità di un insieme nel caso che l’insieme stesso sia finito. La definizione relativa agli insiemi finiti è quella più intuitiva, ma può essere estesa anche al caso di insiemi infiniti.
Mentre nel caso degli insiemi finiti i termini cardinalità, potenza e ordine sono sinonimi, nel caso degli insiemi infiniti i termini potenza e ordine assumono un significato diverso. Tuttavia, in questa lezione ci occuperemo unicamente della definizione relativa agli insiemi finiti, fornendo soltanto un piccolo cenno relativo al caso degli insiemi infiniti.
Definizione di cardinalità di un insieme finito
La cardinalità di un insieme finito è il numero degli elementi dell’insieme. In simboli, per un insieme finito {A} possiamo scrivere: {\text{card}(A)=n, \qquad n \in \N}
Come sappiamo, un insieme finito può essere rappresentato per elencazione (rappresentazione estensiva di un insieme). Se contiamo tutti gli elementi entro le parentesi graffe, otteniamo il numero di elementi dell’insieme, ovvero la cardinalità.
Ad esempio, dato l’insieme:
A=\{x \in \N \: |\: x < 7\}
questo può essere rappresentato per elencazione come segue:
A=\{0,1,2,3,4,5,6 \}
Contando gli elementi otteniamo una quantità di elementi uguale a {7}. Così per la cardinalità dell’insieme dato abbiamo:
\text{card}(A)=7
Come possiamo vedere riusciamo ad esprimere il numero degli elementi dell’insieme utilizzando una notazione simbolica. Così in questo caso ogni volta che scriveremo la quantità {\text{card} (A)} intenderemo un numero di elementi uguale a {7}.
Per gli insiemi finiti, i concetti di cardinalità, potenza e ordine si riferiscono alla stessa definizione, e quindi sono sinonimi.
Osserviamo infine che grazie alla definizione di cardinalità possiamo caratterizzare gli insiemi finiti:
Un insieme si dice finito se la sua cardinalità è un numero finito (numero reale).
Per gli insiemi infiniti invece la cardinalità è uguale ad infinito, quantità astratta che rappresentiamo con il simbolo {\infty}. Così ad esempio per l’insieme dei numeri reali (che è un insieme infinito) abbiamo:
\text{card} (\R)=\infty
Per gli insiemi infiniti i concetti di potenza ed ordine hanno significati diversi da quello di cardinalità. Ci occuperemo di questo nelle successive lezioni di analisi matematica.
Cardinalità dell’insieme vuoto
Per quanto riguarda l’insieme vuoto, osserviamo che si tratta di un insieme che non contiene alcun elemento. Di conseguenza, non è possibile contare alcun elemento all’interno di esso. Infatti, rappresentando l’insieme vuoto in forma estensiva, abbiamo:
\emptyset = \{\}
Non abbiamo alcun elemento all’interno delle parentesi graffe. Di conseguenza, possiamo affermare di avere zero elementi nell’insieme, e quindi:
\text{card}\: (\emptyset)=0
Esempi
Esempio 1
La cardinalità dell’insieme dei numeri naturali minori di {3} è:
\text{card}\left( \{0, \: 1, \: 2 \}\right)=3
In alternativa, possiamo procedere per gradi rappresentando anzitutto l’insieme in forma intensiva (o per proprietà caratteristica):
A=\{x \in \N \: | \: x < 3 \}
e quindi passare alla forma per elencazione o estensiva:
A=\{0, \: 1, \: 2 \}
A questo punto non resta che contare gli elementi dell’insieme. Il numero così ottenuto sarà la cardinalità dell’insieme:
\text{card}(A) = 3
Esempio 2
La cardinalità dell’insieme dei numeri naturali pari compresi fra {10} e {17} (estremi inclusi) è:
\text{card}(\{ 10, \: 12, \: 14, \: 16\})=4
Infatti l’insieme ha {4} elementi. Anche in questo caso avremmo potuto procedere per gradi come nell’esempio precedente, indicando anzitutto l’insieme di partenza in forma implicita (per proprietà caratteristica), quindi per forma esplicita.
Esempio 3
Determinare la cardinalità dell’insieme delle vocali contenute nella parola “arcobaleno”.
Attenzione: la domanda è ben diversa dal chiedere quante vocali sono presenti nella parola arcobaleno. Ricordiamo infatti che negli insiemi gli elementi ripetuti non sono ammessi. Così nella parola arcobaleno dovremo contare le vocali considerando un’unica ricorrenza per ciascuna vocale. Ma procediamo per gradi.
Scriviamo anzitutto per elencazione l’insieme delle vocali contenute nella parola arcobaleno, come detto evitando le ripetizioni:
A=\{a, \: o, \: e\}
Infine abbiamo:
\text{card}(\{ A\})=3
Così in conclusione possiamo affermare che l’insieme {A} ha cardinalità, o potenza, od ordine uguale a {3}. Ricordiamo che avendo a che fare con insiemi finiti, tutti i termini utilizzati sono sinonimi, e quindi intercambiabili.
Per questa lezione è tutto. Nella prossima ci occuperemo della nozione di insiemi equipollenti (o equipotenti). E per comprendere questa definizione ci sarà di grandissima utilità quanto appreso in questa lezione. Buon proseguimento con SìMatematica!
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