Come semplificare una frazione algebrica con più linee di frazione

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Domande e risposte

Come si può semplificare la seguente frazione algebrica con più linee di frazione?

\dfrac{\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}}{x^2-2x+1}

Tipograficamente non è indicata la linea di fratto principale. Dobbiamo allora in questo caso ragionare secondo le regole di precedenza.

Utilizzando il simbolo di divisione la precedente espressione equivale alla seguente:

(x^2+2x+1):(x^2-1):(x^2-2x+1)

Per le regole di precedenza, dobbiamo eseguire le divisioni nell’ordine da sinistra verso destra. Per cui possiamo immaginare l’espressione di partenza come una frazione avente per numeratore a sua volta una frazione, data dal rapporto tra il polinomio {x^2+2x+1} e il polinomio {x^2-1}:

\dfrac{\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}}{x^2-2x+1}

Ci ritroviamo quindi con una frazione algebrica il cui numeratore è a sua volta una frazione algebrica.Siamo dunque nel caso di una frazione di una frazione.

Per capire come procedere, ricordiamo che dividere per una quantità equivale a moltiplicare per il reciproco di quella stessa quantità. Così ad esempio avremo in generale:

\dfrac{x}{y}= x \cdot \dfrac{1}{y}

Così dividere per {y} equivale a moltiplicare per {\dfrac{1}{y}}.

Ora tornando al caso in esame ci ritroviamo a dover dividere la frazione {\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}} per la quantità {x^2-2x+1}. Ma tale divisione equivale per quanto detto a moltiplicare per \dfrac{1}{x^2-2x+1}. Così possiamo scrivere:

\begin{align*} & \dfrac{\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}}{x^2-2x+1}=\frac{x^2+2x+1}{x^2-1} \cdot \dfrac{1}{x^2-2x+1}= \\ \\ & =\dfrac{x^2+2x+1}{(x^2-1)(x^2-2x+1)}=\end{align*}

Ora salta subito all’occhio la possibilità di scomporre il fattore {x^2-1} come un prodotto somma per differenza:

=\dfrac{x^2+2x+1}{(x+1)(x-1)(x^2-2x+1)}=

Inoltre al numeratore riconosciamo agevolmente il quadrato di un binomio:

\begin{align*} & =\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)(x^2-2x+1)}=\dfrac{\cancel{(x+1)}(x+1)}{\cancel{(x+1)}(x-1)(x^2-2x+1)}= \\ \\ & =\dfrac{x+1}{(x-1)(x^2-2x+1)}=\end{align*}

Anche al denominatore abbiamo il quadrato di un binomio. E poiché il doppio prodotto è negativo, un termine del binomio dovrà essere negativo. In questo caso la scelta del termine negativo dovrà essere tale da consentire di poter eseguire la moltiplicazione con l’altro fattore a denominatore. Scegliamo quindi la scomposizione {x^2-2x+1=(x-1)^2} e non {(1-x)^2}. Proseguendo i passaggi:

=\dfrac{x+1}{(x-1)(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{(x-1)^3}

e questa è la forma semplificata della frazione algebrica di partenza.

Attenzione. Se la frazione è invece scritta in questa forma:

\dfrac{x^2+2x+1}{\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}}

dobbiamo interpretare diversamente le regole di precedenza. Infatti in questo caso l’espressione equivalente è:

(x^2+2x+1):[(x^2-1):(x^2-2x+1)]

e quindi abbiamo:

\dfrac{x^2+2x+1}{\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}}=x^2+2x+1 \cdot \dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\dfrac{(x+1)^{\cancel{2}^{\scriptsize \displaystyle 1}}(x-1)^{\cancel{2}^{\scriptsize\displaystyle 1}}}{\cancel{(x-1)}\cancel{(x+1)}}=x^2-1

Il risultato ottenuto è diverso dal precedente. In presenza di una frazione di frazione è dunque importante capire quale è la linea di frazione principale. Quindi, nel caso di frazioni di frazioni con tre linee di frazione, dobbiamo capire dalla tipografia quale è la linea di fratto principale. E’ anche utile allo scopo osservare che la linea di fratto principale è quella allineata con il simbolo di uguale. Se non riusciamo ad individuare chiaramente la linea di frazione principale, allora dobbiamo ragionare con le regole di precedenza.

Infine, nelle frazioni di frazioni a “quattro piani”:

\dfrac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}

convenzionalmente la linea di frazione principale è quella che separa tra loro le frazioni {\dfrac{A}{B}} e {\dfrac{B}{C}}. Per cui avremo:

\dfrac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}=\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}

Qui si conclude questo esempio su come semplificare una frazione algebrica con più linee di frazione. Buon proseguimento!