In questa prima lezione sulle frazioni algebriche introduciamo la definizione di frazione algebrica. Precisiamo che per comprendere appieno la lezione è importante avere presente cosa è un polinomio. Infatti, una frazione algebrica viene caratterizzata proprio a partire dalla nozione di polinomio.
Una frazione algebrica è un’espressione algebrica nella quale compare almeno una lettera al denominatore. Può dunque essere definita come un rapporto tra polinomi, nel quale il polinomio al denominatore deve essere diverso dal polinomio nullo e deve essere almeno di primo grado. Se avessimo infatti al denominatore un numero, in generale diverso da {1}, non saremmo in presenza di una frazione algebrica ma tuttalpiù di un polinomio a coefficienti frazionari.
In questa lezione ci concentreremo sulla definizione di frazione algebrica, proseguendo poi con le nozioni di campo di esistenza di una frazione algebrica.
Cos’è una frazione algebrica
Introduciamo la definizione di frazione algebrica partendo da frazioni algebriche nella sola variabile {x}.
Una frazione algebrica nella variabile {x} è il rapporto tra due polinomi {N(x)} e {D(x)}, con {D(x)} polinomio non nullo e di grado non inferiore a 1.
In particolare, la frazione algebrica:
\dfrac{N(x)}{D(x)}ha senso soltanto per i valori della {x} per i quali il polinomio a denominatore {D(x)} è diverso da zero. Ciò si giustifica ricordando che non è possibile dividere per zero.
Ora, l’insieme dei valori della {x} per i quali si ha {D(x) \neq 0} si dice campo di esistenza della frazione algebrica e si indica simbolicamente con:
\mathscr{D}=\{x \in \mathbb{R} \:| \: D(x) \neq 0 \}Una frazione algebrica può avere in generale un qualsiasi numero di lettere presenti. Ad esempio, una frazione algebrica contenente le lettere {x} e {y} si scrive in generale come:
\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)}ed è definita per {D(x,y) \neq 0}. Inoltre, il denominatore {D(x,y)} dovrà essere di primo grado almeno rispetto ad una delle lettere presenti.
Il discorso si estende in maniera del tutto analoga per un insieme qualsiasi di lettere.
Osservazione. Per convenzione un polinomio può essere riguardato come una frazione algebrica avente denominatore uguale a {1}. Ciò è in contrasto con la precedente definizione, la quale richiede invece per una frazione algebrica un denominatore con grado non inferiore al primo. Tuttavia, come vedremo, questa particolare convenzione è utile per poter considerare le operazioni tra polinomi e frazioni algebriche comunque come operazioni tra frazioni algebriche. Ad esempio, considereremo la somma tra un polinomio e una frazione algebrica come una somma tra frazioni algebriche, ove riguardiamo il polinomio come una frazione algebrica avente denominatore {1}.
Esempi di frazioni algebriche e relativi campi di esistenza
Vediamo alcuni esempi di frazioni algebriche e determiniamone insieme il campo di esistenza.
Esempio 1
L’espressione:
\dfrac{x+3}{x-2}è una frazione algebrica con {N(x)=x+3} e {D(x)=x-2}, definita per tutti i valori della {x} tali che {x-2 \neq 0}, ovvero {x \neq 2}.
In altri termini, per capire qual è il campo di esistenza della frazione algebrica in esame dobbiamo escludere la soluzione dell’equazione di primo grado:
x-2 = 0
E dunque escludiamo il valore {x=2}. Di conseguenza per la frazione data scriviamo il campo di esistenza:
\mathscr{D}=\{x \in \mathbb{R} \: | \: x \neq 2 \}Esempio 2
La seguente espressione:
\dfrac{x^2y+3xy^2}{9xy-7}nella quale le lettere {x} e {y} sono intese come variabili è una frazione algebrica ed è definita per:
9xy-7 \neq 0
Avendo più variabili al denominatore ci limitiamo soltanto ad indicare la condizione nel modo indicato, senza ricercare i valori da escludere delle singole variabili.
Solitamente, salvo diversa indicazione le lettere presenti in una frazione algebrica sono tutte da intendersi come variabili. Analizzeremo comunque un esempio nel quale intenderemo una lettera nella frazione algebrica come un parametro.
Esempio 3
L’espressione:
\dfrac{ab^2+9ab+7b^3}{8}non è una frazione algebrica poiché al denominatore non compare nessuna lettera. In particolare, il denominatore è un polinomio di grado zero, mentre nella definizione richiediamo al denominatore un polinomio di grado almeno uguale ad {1}.
Ricordiamo che un monomio può essere comunque visto come un polinomio avente un solo termine. Per questo diciamo che al denominatore abbiamo un polinomio di grado zero.
Esempio 4
L’espressione:
\dfrac{1}{y}è una frazione algebrica, poiché al denominatore compare almeno una lettera. Poco importa se al numeratore abbiamo un polinomio di grado zero (un numero).
Così ad esempio anche le seguenti sono frazioni algebriche:
\dfrac{1}{x+2xy}; \qquad \dfrac{1}{abc+2ab^2}La frazione algebrica {\dfrac{1}{y}} è definita per {y \neq 0}, mentre le altre due frazioni algebriche sono definite rispettivamente per {x+2xy \neq 0} e {abc+2ab^2 \neq 0}.
In simboli avremo ad esempio per la prima frazione algebrica:
\mathscr{D}=\{ y \in \mathbb{R} \: | \: y \neq 0 \}Esempio 5
L’esempio che ora presenteremo può essere tranquillamente trascurato per lo studio delle frazioni algebriche. Tuttavia, si rivelerà di grande utilità nello studio delle equazioni letterali fratte (equazioni parametriche frazionarie).
Consideriamo l’espressione:
\dfrac{2a^3x+7}{5a}In mancanza di indicazioni specifiche abbiamo sicuramente una frazione algebrica, poiché è presente la lettera {a} al denominatore.
Se invece ci viene espressamente detto che la lettera {a} non è una variabile ma un parametro, allora l’espressione non è una frazione algebrica ma un polinomio a coefficienti parametrici. In tal caso, applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma algebrica, è possibile riscrivere l’espressione di partenza come:
\dfrac{2a^3x+7}{5a}={2a^3x:(5a)+7:(5a) =}{}\dfrac{2}{5}a^2x+\dfrac{7}{5a}Diciamo in questo caso che abbiamo un polinomio in cui il coefficiente del termine di primo grado e il termine noto dipendono entrambi dal parametro {a}. Nello specifico, il polinomio ha per coefficiente del termine di primo grado la quantità {\dfrac{2}{5}a^2} e per termine noto la quantità {\dfrac{7}{5a}}. In pratica, quando una lettera viene esplicitamente indicata come un parametro, questa deve essere vista come un numero.
In questo caso attribuendo alla {a} un dato valore diverso da zero otteniamo un polinomio nella variabile {x}. Ad esempio, per {a=3} otteniamo:
\dfrac{2}{5} \cdot 3^2 x + \dfrac{7}{5 \cdot 3}=\dfrac{18}{5}x+\dfrac{7}{15}Come ultimo esempio in questo senso, l’espressione:
\dfrac{-4ax^2+7}{9ax}sarà comunque una frazione algebrica, anche intendendo la {a} come un parametro. Infatti, comunque è presente la {x} a denominatore.
Infine, precisiamo che se una frazione algebrica presenta una sola lettera, questa sarà necessariamente una variabile. I parametri hanno infatti senso soltanto se accompagnano almeno una variabile.
Per il momento possiamo tranquillamente continuare lo studio delle frazioni algebriche dimenticando il concetto di parametro. Ma questo ci sarà di fondamentale aiuto nello studio delle equazioni parametriche.
Frazioni algebriche equivalenti
Ci proponiamo ora di tradurre la nozione di frazioni numeriche equivalenti al caso delle frazioni algebriche.
Consideriamo le seguenti frazioni algebriche:
\dfrac{N_1(x)}{D_1(x)}; \qquad \dfrac{N_2(x)}{D_2(x)}Le due frazioni algebriche si dicono equivalenti se sussistono contemporaneamente entrambe le condizioni seguenti:
- è valida la relazione: {N_1(x) \cdot D_2(x) = D_1(x) \cdot N_2(x)}
- le due frazioni algebriche hanno lo stesso campo di esistenza.
Ad esempio, le due frazioni algebriche seguenti sono equivalenti:
\dfrac{2x+6}{4x+10}; \qquad \dfrac{x+3}{2x+5}Infatti:
- entrambe hanno lo stesso campo di esistenza. In particolare, per la prima frazione dobbiamo imporre la condizione {4x+10 \neq 0}, e quindi {x \neq -\dfrac{5}{2}}. Allo stesso modo per la seconda frazione dobbiamo imporre {2x+5 \neq 0} e quindi ancora {x \neq -\dfrac{5}{2}}. Per cui entrambe le frazioni hanno come campo di esistenza: {\mathscr{D}=\left\{x \in \mathbb{R} \: | \: x \neq -\dfrac{5}{2}\right\}}
- la relazione {N_1(x) \cdot D_2(x) = D_1(x) \cdot N_2(x)} è verificata, infatti: {\begin{align*} &(2x+6)(2x+5)=(4x+10)(x+3),\\ \\ & 4x^2+10x+12x+30=4x^2+12x+10x+30, \\ \\ & 4x^2+22x+30=4x^2+22x+30 \end{align*}}
Diversamente dal caso delle frazioni numeriche, non è sufficiente che la sola relazione {N_1 \cdot D_2 = D_1 \cdot N_2} sia verificata. Ciò deriva proprio dal fatto che le frazioni algebriche hanno significato solo nel loro campo di esistenza (ovvero dove non si annulla il denominatore). Invece, una frazione numerica quale ad esempio {\dfrac{1}{2}} non perde mai di significato.
Per chiarire il concetto, consideriamo ad esempio le frazioni algebriche:
\dfrac{x-1}{x+2}; \qquad \dfrac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}Le due frazioni rispettano la condizione {N_1 \cdot D_2 = D_1 \cdot N_2}, infatti:
\begin{align*} & (x-1)(x^2+5x+6)=(x+2)(x^2+2x-3), \\ \\ & x^3+5x^2+6x-x^2-5x-6=x^3+2x^2-3x+2x^2+4x-6, \\ \\ &x^3+4x^2+x-6=x^3+4x^2+x-6\end{align*}Tuttavia non sono equivalenti poiché hanno un differente campo di esistenza. La prima frazione infatti ha significato soltanto se vale la condizione:
x+2 \neq 0 \quad \iff \quad x\neq -2
mentre la seconda frazione per avere significato richiede le condizioni (scomponiamo il trinomio a denominatore con la regola del trinomio caratteristico):
\small x^2+5x+6 \neq 0, \: \iff \: (x+2)(x+3) \neq 0 \: \iff \: x\neq -2 \: \wedge \: x \neq -3
E’ allora chiaro che la seconda frazione non ha significato per il valore {-3}, mentre per tale valore la prima frazione è definita. Di conseguenza, le due frazioni hanno differente campo di esistenza e non sono equivalenti.
Osservazione. L’utilizzo della relazione {N_1(x) \cdot D_2(x) = D_1(x) \cdot N_2(x)} si può giustificare attraverso le proporzioni. Infatti, l’uguaglianza {\dfrac{N_1(x)}{D_1(x)}=\dfrac{N_2(x)}{D_2(x)}} può essere riletta come la proporzione {N_1(x):D_1(x)=N_2(x):D_2(x)}, da cui uguagliando il prodotto dei medi e il prodotto degli estremi otteniamo: {N_1(x) \cdot D_2(x) = N_2(x) \cdot D_1(x)}
Conclusioni sulla definizione di frazione algebrica
Per quanto riguarda la definizione di frazione algebrica è tutto. Nel concludere la lezione riteniamo utile precisare che la nozione di frazione algebrica comprende anche i cosiddetti monomi frazionari, ovvero espressioni del tipo:
\dfrac{ax}{b}; \qquad \dfrac{2x^2}{z}Piuttosto che utilizzare la definizione di monomio frazionario, preferiamo vedere anche espressioni di questo tipo direttamente come frazioni algebriche. In tal modo, a scanso di equivoci, con il termine “monomio” intendiamo soltanto espressioni prive di lettere al denominatore.
Nella prossima lezione vedremo come semplificare una frazione algebrica. Ciò ci consentirà tra l’altro di poter verificare se due frazioni algebriche sono equivalenti in un modo più operativo.
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