Definizione di insieme

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Cominciamo lo studio degli insiemi introducendo la definizione di insieme. Premettiamo che quello di insieme è un concetto fondamentale in matematica, grazie al quale vengono sviluppati e formalizzati moltissimi argomenti. Ad esempio, i numeri con i quali contiamo appartengono ad un insieme numerico.

Il concetto di insieme, del resto, è primitivo, e fornirne una definizione non è certo agevole. Così, in questa lezione cercheremo soltanto di chiarire, anche tramite esempi, che cosa si intende per insieme, senza porci l’obiettivo di fornire una definizione che pretenda di uscire dalla natura astratta degli insiemi. Del resto, difficoltà del tutto simili si incontrano anche nel provare a definire concetti quali retta, punto, piano. Anche questi sono infatti concetti primitivi.

Proponiamo allora a seguire soltanto una definizione di insieme che in realtà fa ancora uso del concetto di insieme stesso. Del resto, di meglio non si può fare nel proporre una definizione per oggetti matematici primitivi.

Definizione intuitiva di insieme

Un insieme è una collezione o un raggruppamento di oggetti chiamati elementi, tale da avere due caratteristiche fondamentali:

  • è possibile stabilire con certezza se una dato elemento appartiene all’insieme oppure no;
  • gli elementi dell’insieme devono essere tutti distinti.

Così tramite il concetto di insieme intendiamo identificare più elementi riferendoci ad un unico oggetto matematico. Di qui la grande utilità del concetto di insieme. Se non utilizzassimo ad esempio la nozione di “insieme dei numeri naturali”, sarebbe alquanto problematico e/o scomodo riferirci a tutti gli infiniti numeri naturali in altre maniere.

In merito al primo punto della definizione, osserviamo che ad esempio “l’insieme delle persone belle” non è un insieme in senso matematico. Infatti, non è possibile stabilire con certezza o meno se una persona è bella, poiché i gusti cambiano da individuo a individuo.

“L’insieme dei numeri naturali maggiori di {5}” è invece un insieme, perché è senza dubbio possibile stabilire quali numeri naturali sono più grandi di {5}. E ciò non dipende dai gusti personali di nessuno, ma è un ragionamento che segue le leggi della matematica.

Veniamo ora al secondo punto della definizione. L’insieme ad esempio dato dai numeri naturali {2, \: 3} e {2} non è un insieme. Infatti, in un insieme gli elementi che lo compongono devono essere distinti (ovvero diversi tra loro). In questo caso invece il numero {2} si ripete.

Infine, l’insieme dato dai numeri naturali {5, \: 8} e {12} è invece un insieme, poiché gli elementi che lo compongono sono tutti distinti tra loro. Infatti, all’interno dell’insieme non è possibile individuare una coppia di numeri uguali.

Simboli per rappresentare gli insiemi

Ora che abbiamo dato la definizione di insieme, vediamo quali simboli utilizzare per rappresentare gli insiemi, gli elementi che li compongono e anche i vincoli di appartenenza. In altre parole, vogliamo mostrare come si rappresentano in forma sintetica gli insiemi e i rispettivi elementi, e inoltre come poter dire in simboli che un elemento appartiene ad un insieme e che un insieme contiene un elemento.

Gli insiemi si indicano con la lettera maiuscola. Così ad esempio possiamo indicare un insieme con:

A \qquad \text{(insieme)}

Così {A} rappresenta un insieme.

Gli elementi di un insieme si rappresentano invece con le lettere minuscole. Così ad esempio un elemento dell’insieme {a} si potrà rappresentare con:

a \qquad \text{elemento di un insieme}

Per dire che l’elemento {a} appartiene ad esempio all’insieme {A} si utilizza il simbolo “{\in}“. Così con la scrittura:

a \in A

intendiamo dire che l’elemento {a} appartiene all’insieme {A}.

Invece con la scrittura:

a \not \in A

vogliamo esprimere il fatto che l’elemento {a} non appartiene all’insieme {A}. Così la “non appartenenza” ad un insieme si indica sbarrando il simbolo di appartenenza.

Inoltre, se vogliamo affermare che l’insieme {A} contiene l’elemento {a}, possiamo scrivere:

A \ni a

Infine, se desideriamo dire che l’insieme {A} non contiene l’elemento {a} possiamo scrivere:

A \not \ni a

Osserviamo che solitamente vengono utilizzate le sole due scritture del tipo {a \in A} e {a \not \in A}.

Insiemi numerici

Avrete sicuramente già avuto modo di incontrare nel corso dei vostri studi degli oggetti matematici che rispettano la definizione di insieme, ad esempio:

  • l’insieme {\N} dei numeri naturali;
  • l’insieme {\mathbb{Z}} dei numeri relativi;
  • ancora, l’insieme {\mathbb{Q}} dei numeri razionali;
  • l’insieme {\R} dei numeri reali.

Tutti gli insiemi appena elencati si chiamano insiemi numerici.

I simboli utilizzati per gli insiemi numerici non sono altro che dei simboli speciali aventi comunque lo stesso significato delle lettere maiuscole utilizzate per rappresentare gli insiemi generici.

Di conseguenza, per dire che l’elemento {a} è un numero naturale possiamo scrivere:

a \in \N

Così, l’elemento {a} appartiene all’insieme {\N} dei numeri naturali ed è quindi un numero naturale.

Invece, tenendo conto delle definizioni di numero naturale e numero razionale, abbiamo che:

\dfrac{1}{2} \not \in \N

In altre parole, la frazione {\dfrac{1}{2}} non è un numero intero e quindi non appartiene sicuramente all’insieme dei numeri naturali.

Definizione di insieme finito ed insieme infinito

Può essere utile sin d’ora fornire la definizione di insieme finito e la definizione di insieme infinito.

Un insieme si dice finito se è possibile contare i suoi elementi. Diversamente, si dice infinito.

La definizione appena data è sicuramente molto intuitiva e non certo rigorosa. Tuttavia, possiamo ritenerla accettabile nel contesto di un primo studio degli insiemi.

Così, l’insieme {B} dato dai numeri razionali {\dfrac{1}{2}, \: \dfrac{1}{4}} e {\dfrac{1}{5}} è un insieme finito, in quanto è possibile contare gli elementi che lo compongono. Infatti, è immediato concludere che l’insieme {B} ha tre elementi, ed è quindi un insieme finito.

Diversamente, l’insieme {\mathbb{Q}} di tutti i numeri razionali è un insieme infinito. Infatti, non è possibile contare gli elementi dell’insieme, poiché l’operazione non andrebbe mai a termine.

E’ utile osservare che un insieme può contenere anche un numero elevatissimo di elementi, ma se è possibile contarli anche impiegando per dire trent’anni l’insieme è comunque finito. Ad esempio, l’insieme dei numeri naturali maggiori di {1} e allo stesso tempo minori di un miliardo è un insieme finito. E ciò in barba al fatto che per contare da {1} fino ad un miliardo serva un certo tempo.

Quindi la definizione di insieme finito ed infinito nulla ha a che vedere con la grandezza dell’insieme, ma soltanto con la possibilità di contare o se preferite elencare tutti gli elementi che appartengono ad esso.

Come disegnare gli insiemi

Per rappresentare graficamente gli insiemi (ovvero disegnare gli insiemi) si possono utilizzare i diagrammi di Venn. L’idea è quella di rappresentare un insieme come una figura chiusa, tipicamente a forma di ellisse, che al suo interno racchiude gli elementi dell’insieme.

Così ad esempio, possiamo rappresentare l’insieme finito {A} che contiene i numeri naturali {2, \: 35} e {7} come segue:

definizione di insieme

Se invece vogliamo rappresentare un insieme infinito, ci limitiamo a rappresentare unicamente l’ovale. Così ad esempio per l’insieme di tutti i numeri pari, che indicheremo ad esempio con {P}, possiamo utilizzare la seguente rappresentazione:

definizione di insieme

In pratica, non potendo disegnare infiniti elementi ci limitiamo a rappresentare l’insieme con la sola linea chiusa e il nome.

Utilizzeremo nel seguito i diagrammi di Venn per poter rappresentare le operazioni tra insiemi.


Per quanto riguarda la definizione di insieme è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo della rappresentazione degli insiemi per elencazione o estensiva. Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂


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