Definizione di polinomio

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Monomi e polinomi (superiori)

Dopo aver visto i monomi cominciamo da questa lezione lo studio dei polinomi, introducendo la definizione di polinomio. Diciamo subito che la definizione di polinomio discende da quella di monomio. Per cui è importante ricordare con sicurezza la definizione di monomio (la potete trovare nella lezione nel link).

La definizione di polinomio più semplice che possiamo dare è quella di somma algebrica di monomi. Ad esempio l’espressione:

2ax^2+3bx

non è un monomio poiché compare l’operazione di addizione e i monomi non sono simili. Ma una tale espressione rispetta le definizione di polinomio in quanto somma di monomi ed è quindi un polinomio.

Osserviamo che l’espressione:

3ax^2+5ax^2

è ancora un polinomio, poiché rispetta la definizione di polinomio come somma (algebrica) di monomi. In questo particolare caso i monomi sono pure simili ed è quindi possibile sommarli tra loro:

3ax^2+5ax^2=8ax^2

Ciò significa che in questa particolare circostanza il polinomio 3ax^2+5ax^2 è anche un monomio. Così ogni monomio può essere visto come un particolare polinomio avente termini tutti simili, ove i termini sono stati tutti sommati tra loro.

Definizione di polinomio (somma algebrica di monomi)

Dopo le precedenti premesse, introduciamo una formale definizione di polinomio.

Un polinomio è una somma algebrica di più monomi (anche simili tra loro) detti termini del polinomio.

Osserviamo che ciascun monomio può anche essere non in forma normale.

Alcuni esempi di polinomi:

3x^2+2xy+7y^2; \quad x^2+3x-2; \quad 9ab+3a^2b^2-7a^7bc^4

In tutti i casi abbiamo effettivamente somme algebriche di monomi.

Anche i seguenti sono polinomi

9x^2+7x^2+2xy; \qquad 8ax+2ax-4ax;  \qquad 3a2b+7ab+4ax

ma contengono dei termini simili. Il primo polinomio può essere riscritto come:

\underbrace {9x^2+7x^2}_{\text{sommo i monomi simili}}+2xy=(9+7)x^2+2xy=16x^2+2xy

Osserviamo che non avendo più termini simili otteniamo in conclusione un polinomio con due termini.

Nel secondo polinomio abbiamo termini tutti simili e quindi esso si riduce ad un monomio:

8ax+2ax-4ax=(8+2-4)ax=6ax

Infine, nel terzo polinomio riconosciamo dei termini (monomi) simili a patto però di ridurre uno dei monomi che lo compongono a forma normale:

\qquad 3a2b+7ab+4ax=(3\cdot2) ab + 7ab + 4ax = 6ab+7ab+4ax = 13ab+4ax

Ogni polinomio i cui singoli termini o monomi che lo compongono sono stati ridotti in forma normale e ove i termini simili sono stati tutti sommati tra loro si dice polinomio ridotto in forma normale.

Polinomio ridotto in forma normale

Un polinomio si dice ridotto in forma normale quando tutti i termini che lo compongono sono monomi in forma normale e non sono presenti termini tra loro simili.

Così ad esempio il seguente polinomio:

3x^2y+9xy^3+7xy

è ridotto in forma normale poiché non ci sono termini tra loro simili (le parti letterali dei monomi che lo compongono sono tutte differenti) ed inoltre ciascun monomio si presenta in forma normale.

Invece il seguente polinomio:

9x^23xy+5ax

non è in forma normale in quanto il primo monomio non è ridotto in forma normale. Per ridurre il polinomio in forma normale basterà ridurre in forma normale il primo monomio:

9x^23xy+5ax=27x^3y+5ax

Infine anche il seguente polinomio:

3x^2y+5xy+4x^2y

non è in forma normale poiché sono presenti due monomi tra loro simili. Per ridurlo in forma normale basterà sommare i monomi simili:

3x^2y+5xy+4x^2y=(3+4)x^2y+5xy=7x^2y+5xy

Osservazione. Con la dicitura “termine” di un polinomio intendiamo un monomio o una costante che fa parte del polinomio stesso. Ricordiamo inoltre che una costante può comunque essere vista come un monomio privo di parte letterale. Così ad esempio nel polinomio: 5x^2+3x+7 abbiamo i termini 5x^2, \: 3x e 7 (due monomi e una costante).

Per tutto quanto detto possiamo definire un polinomio in forma normale come una somma di monomi tutti in forma normale e non simili tra loro.

Osservazione. Un polinomio in forma normale costituito da due termini si dice binomio. Inoltre, un polinomio in forma normale costituito da tre termini si dice trinomio, ed infine un polinomio sempre in forma normale e costituito da quattro termini si dice quadrinomio. Non sono invece comuni definizioni che riguardano polinomi in forma normale con più di quattro termini, che vengono soltanto detti “polinomi”.

Ad esempio il seguente: 2x^2+3ax è un binomio.

In generale è bene prestare attenzione ad interpretare correttamente le definizioni. Ad esempio il seguente polinomio: 3x^2+9ax+7x^2 non è un trinomio, pur avendo tre termini. Infatti, due termini sono tra loro simili e si ha: 3x^2+9ax+7x^2=10x^2+9ax Il polinomio ottenuto è in forma normale ed avendo due termini è un binomio.

Polinomio ordinato, omogeneo e completo

Un polinomio in forma normale si dice ordinato per potenze decrescenti rispetto ad una data lettera se i termini del polinomio sono scritti in modo tale che l’esponente di quella lettera risulti decrescente.

Ad esempio il polinomio:

ax^3+9a^2x^2+7ax+9

è ordinato per potenze decrescenti rispetto alla lettera x, poiché tale lettera presenta nei termini da sinistra verso destra rispettivamente esponente 3, \: 2, \: 1 e 0 (ricordiamo che il termine 9 può essere visto come x^0).

Un polinomio in forma normale si dice ordinato per potenze crescenti rispetto ad una data lettera se i termini del polinomio sono scritti in modo tale che l’esponente di quella lettera risulti crescente.

Così il polinomio:

9ax^2+7a^2b-11a^3x^7

è ordinato per potenze crescenti rispetto alla lettera a, poiché effettivamente tale lettera presenta nei termini da sinistra verso destra esponente crescente (rispettivamente esponenti 1, \: 2 e 3). Ricordiamo che nel termine 9ax^2 è sottinteso per la a un esponente pari a 1.

Introduciamo ora la definizione di polinomio completo.

Un polinomio in forma normale si dice completo rispetto ad una lettera se quella lettera compare nel polinomio con tutti gli esponenti compresi fra l’esponente massimo per quella stessa lettera e l’esponente zero (grado zero).

Ad esempio il seguente polinomio è completo rispetto alla lettera x:

9x^3+7x^2+5x-4

Invece il seguente polinomio non è completo rispetto alla lettera x:

5x^3y^2+10y^2+9xy-3

infatti manca un termine contenente la x^2.

I concetti di polinomio ordinato e polinomio completo sono particolarmente importanti per la divisione tra polinomi, della quale ci occuperemo in una delle prossime lezioni. E’ utile osservare che ad esempio il seguente polinomio:

9x^3+7x+5

non è completo ma può essere reso “completo” aggiungendo un termine in x^2 con coefficiente zero:

9x^3+0x^2+7x+5

Rendere un polinomio “forzatamente completo” in questo modo è utile ad esempio nella divisione tra polinomi poiché come vedremo il termine con coefficiente zero svolge la funzione di “segnaposto”.

Veniamo ora alla definizione di polinomio omogeneo.

Un polinomio in forma normale si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono hanno lo stesso grado.

Poiché come sappiamo i termini che compongono un polinomio sono monomi, il grado di ciascun termine segue la definizione di grado di un monomio (inteso come grado complessivo). Ricordiamo comunque che il grado complessivo di un monomio in forma normale è uguale alla somma di tutti gli esponenti che accompagnano le lettere del monomio stesso.

Così ad esempio il seguente monomio è omogeneo:

9a^2b+6ab^2-5a^3

Infatti ciascun monomio è di terzo grado, poiché la somma degli esponenti che accompagnano le lettere di ciascun monomio è sempre uguale a 3.

Importante. Per capire se un polinomio è completo, omogeneo, ordinato o se comunque è un binomio, un trinomio o un quadrinomio è prima di tutto utile assicurarsi che il polinomio sia ridotto in forma normale.

Per quanto riguarda la definizione di polinomio e le più importanti definizioni correlate è tutto. Nella prossima lezione introdurremo la definizione di grado di un polinomio, che può intendersi sia come grado complessivo del polinomio, sia come grado rispetto ad una lettera. Ciò è del tutto simile a quanto visto riguardo alla nozione di grado di un monomio.

Buono studio a tutti voi!