Denominatore comune di frazioni algebriche

 - 

Frazioni algebriche

In questa lezione ci occupiamo di come trovare il denominatore comune di frazioni algebriche. Il nostro obiettivo in particolare è quello di scrivere, date ad esempio due frazioni algebriche, due nuove frazioni equivalenti a quelle di partenza (in generale a meno del campo di esistenza) ma aventi lo stesso denominatore.

E’ importante osservare che nel calcolo del denominatore comune di due o più frazioni algebriche interviene il minimo comune multiplo tra polinomi. In particolare, il denominatore comune di due o più frazioni algebriche è uguale al minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni stesse.

Per trovare il denominatore comune di due o più frazioni algebriche dovremo quindi come prima cosa scomporre i denominatori in fattori. Fatto questo, il denominatore comune sarà dato da tutti i fattori comuni e non comuni ad entrambi i denominatori, presi col il più grande esponente.

Nel caso particolare in cui i denominatori delle frazioni algebriche non hanno fattori in comune, allora il loro denominatore comune sarà dato semplicemente dal prodotto dei denominatori.

A questo punto vediamo subito nel dettaglio la regola per il calcolo del denominatore comune tra due o più frazioni algebriche, fornendo degli esempi.

Come calcolare il denominatore comune di due o più frazioni algebriche

Primo caso: denominatori senza fattori in comune

Consideriamo le seguenti frazioni algebriche in forma generale:

\dfrac{N_1}{D_1}; \qquad \dfrac{N_2}{D_2}, \qquad D_1, \: D_2 \neq 0

Ciascuna frazione può essere vista come una divisione. E, per la proprietà invariantiva della divisione, possiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione per una stessa quantità, ottenendo una frazione equivalente a quella di partenza (è importante precisarlo, equivalente a meno del campo di esistenza).

Possiamo allora moltiplicare numeratore e denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione, e moltiplicare numeratore e denominatore della seconda frazione per il denominatore della prima. In tal modo applichiamo la proprietà invariantiva a ciascuna frazione.

\dfrac{N_1 \cdot D_2}{D_1 \cdot D_2}; \qquad \dfrac{N_2 \cdot D_1}{D_2 \cdot D_1}

Osserviamo che entrambe le frazioni hanno lo stesso denominatore. Abbiamo così ridotto a denominatore comune le frazioni algebriche di partenza.

Ora, ciascuna delle frazioni ottenute è equivalente a quella di partenza soltanto a meno del campo di esistenza. Infatti, mentre le due frazioni di partenza sono definite rispettivamente per {D_1 \neq 0} e per{D_2 \neq 0}, entrambe le nuove frazioni ottenute sono definite per {D_1 \neq 0 \: \wedge \: D_2 \neq 0}. In altre parole, il campo di esistenza delle frazioni ridotte a denominatore comune è uguale all’intersezione dei campi di esistenza delle frazioni di partenza.

La riduzione a denominatore comune è importante perché consente di sommare tra loro anche due frazioni aventi inizialmente denominatore differente. Ciò è del tutto analogo al caso delle frazioni numeriche, e di questo ci occuperemo nella prossima lezione sulle operazioni con le frazioni algebriche.

Riassumendo, per tutto quanto visto sinora possiamo stabilire la seguente regola:

Il denominatore comune di due o più frazioni algebriche aventi denominatori privi di fattori comuni tra loro, è uguale al prodotto dei denominatori delle singole frazioni.
Le due frazioni ridotte a denominatore comune avranno per numeratore il prodotto del numeratore della frazione di partenza per i denominatori delle altre frazioni.

Esempio 1

Ridurre a denominatore comune le seguenti frazioni algebriche:

\dfrac{7x}{(x-2)}; \quad \dfrac{2x^2+9}{(x+3)}

Siamo nel semplice caso di due sole frazioni algebriche. La prima frazione è definita per {x \neq 2}, mentre la seconda è definita per {x \neq -3} (il denominatore di ciascuna frazione deve essere diverso da zero).

Il denominatore comune è dato dal prodotto dei denominatori di ciascuna frazione. Il numeratore di ciascuna nuova frazione si ottiene invece moltiplicando il numeratore di ciascuna frazione di partenza per il denominatore dell’altra frazione:

\dfrac{7x(x+3)}{(x-2)(x+3)}; \quad \dfrac{(2x^2+9)(x-2)}{(x-2)(x+3)}

Svolgendo i calcoli ai numeratori abbiamo:

\dfrac{7x(x+3)}{(x-2)(x+3)}=\dfrac{7x^2+21x}{(x-2)(x+3)}

e:

\dfrac{(2x^2+9)(x-2)}{(x-2)(x+3)}=\dfrac{2x^3-4x^2+9x-18}{(x-2)(x+3)}

In conclusione riducendo le due frazioni di partenza a denominatore comune otteniamo la coppia di frazioni:

\dfrac{7x^2+21x}{(x-2)(x+3)}; \qquad  \dfrac{2x^3-4x^2+9x-18}{(x-2)(x+3)}

Per quanto riguarda il campo di esistenza, osserviamo che per ciascuna delle frazioni ridotte a denominatore comune abbiamo le condizioni di esistenza {x \neq 2 \: \wedge \: x \neq -3} (denominatore diverso da zero). Il corrispondente campo di esistenza è infatti dato dall’intersezione fra i campi di esistenza {\mathscr{D}_1} e {\mathscr{D}_2} delle frazioni di partenza, ovvero:

\begin{align*} & \mathscr{D_1} = \{x \in \mathbb{R} \: | \: x \neq 2\}, \qquad \mathscr{D}_2 = \{x \in \mathbb{R} \: | \: x \neq -3\}, \\ \\ & \mathscr{D_1} \cap\mathscr{D}_2 = \{x \in \mathbb{R} \: | \: x \neq 2 \: \wedge \: x \neq -3 \} \end{align*}

Per il seguito tralasceremo le considerazioni sul campo di esistenza poiché del tutto simili a quelle relative al presente esempio.

Esempio 2

Ridurre a denominatore comune le seguenti frazioni algebriche:

 \dfrac{5x^2+3}{x}; \qquad \dfrac{2x-5}{x+1}; \qquad \dfrac{7x}{x-2}

Il denominatore comune è dato dal prodotto di tutti i denominatori delle frazioni algebriche di partenza. Ciascun numeratore delle nuove frazioni che scriveremo è invece dato dal prodotto del numeratore della frazione di partenza considerata per i denominatori delle altre frazioni di partenza.

\begin{align*} & \dfrac{(5x^2+3)(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}; \qquad \dfrac{(2x-5) \cdot x \cdot (x-2)}{x(x+1)(x-2)}; \\ \\ & \dfrac{7x \cdot x \cdot (x+1)}{x(x+1)(x-2)}\end{align*}

Svolgiamo i calcoli al numeratore in ciascuna frazione. Per la prima abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{(5x^2+3)(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)} = \\ \\ & =\dfrac{(5x^3+5x^2+3x+3)\cdot(x-2)}{x(x+1)(x-2)}= \\ \\ & =\dfrac{5x^4-10x^3+5x^3-10x^2+3x^2-6x+3x-6}{x(x+1)(x-2)}= \\ \\ & =\dfrac{5x^4-5x^3-7x^2-3x-6}{x(x+1)(x-2)}\end{align*}

Per la seconda frazione:

\begin{align*} & \dfrac{(2x-5) \cdot x \cdot (x-2)}{x(x+1)(x-2)} = \\ \\ & =\dfrac{(2x^2-5x)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}=\dfrac{2x^3-4x^2-5x^2+10x}{x(x+1)(x-2)}= \\ \\ & =\dfrac{2x^3-9x^2+10x}{x(x+1)(x-2)}\end{align*}

Infine per la terza:

 \begin{align*} & \dfrac{7x \cdot x \cdot (x+1)}{x(x+1)(x-2)} =\dfrac{7x^3+7x^2}{x(x+1)(x-2)}\end{align*}

In conclusione riducendo le frazioni di partenza a denominatore comune otteniamo le frazioni:

\begin{align*} & \dfrac{5x^4-5x^3-7x^2-3x-6}{x(x+1)(x-2)}; \qquad \dfrac{2x^3-9x^2+10x}{x(x+1)(x-2)} \\ \\ & \dfrac{7x^3+7x^2}{x(x+1)(x-2)} \end{align*}

Secondo caso: denominatore comune di frazioni algebriche con denominatori aventi fattori in comune

Consideriamo le seguenti frazioni algebriche espresse in forma generale (nel caso di denominatori riducibili al prodotto di due polinomi):

\dfrac{N_1}{\underbrace{P_1 \cdot P_2}_{D_1}}; \qquad \dfrac{N_2}{\underbrace{P_3 \cdot P_1}_{D_2}}

I denominatori delle frazioni algebriche, espressi con le scomposizioni {D_1 = P_1 \cdot P_2} e {D_2 = P_3 \cdot P_1}, hanno in comune il fattore {P_1}.

In questo caso, per calcolare il denominatore comune non è conveniente considerare il prodotto {D_1 \cdot D_2} dei denominatori. Piuttosto, bisogna considerare il minimo comune multiplo dei denominatori. In altre parole, dovremo costruire il denominatore comune come prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi con il più grande esponente.

In questo caso, il denominatore comune è dato da {P_1 \cdot P_2 \cdot P_3}.

In questo modo sarà possibile come nel caso precedente scrivere delle frazioni aventi tutte per denominatore il denominatore comune così ottenuto ed equivalenti a meno del campo di esistenza alle frazioni algebriche di partenza.

In particolare, il numeratore di ciascuna nuova frazione sarà dato dal prodotto del numeratore della frazione di partenza per il quoziente (esatto) tra il denominatore comune e il denominatore della frazione di partenza considerata.

Riassumendo tutto quanto sin qui detto vale la seguente regola.

Il denominatore comune di due o più frazioni algebriche i cui denominatori hanno dei fattori in comune è dato dal minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni algebriche di partenza.
I numeratori delle frazioni ridotte a denominatore comune saranno dati ciascuno dal prodotto del numeratore della corrispondente frazione di partenza per il quoziente tra il denominatore comune e il denominatore della frazione di partenza stessa.

Osserviamo che questo è il caso più generale e comprende anche il caso di denominatore comune tra frazioni prive di fattori in comune ai denominatori. Infatti, il minimo comune multiplo di quantità prive di fattori in comune tra loro è uguale al prodotto delle quantità stesse.

E’ infine importante osservare che per renderci conto se i denominatori di due frazioni algebriche hanno fattori in comune o meno è necessario scomporre in fattori i denominatori stessi.

Esempio 1

Ridurre a denominatore comune le seguenti frazioni algebriche:

\dfrac{3x}{x^2+2x+1}; \qquad \dfrac{2x+3}{x+1}

Scomponiamo i denominatori in fattori in modo da vedere se hanno dei fattori in comune. Il denominatore della seconda frazione è irriducibile. Possiamo invece scomporre il denominatore della seconda frazione (quadrato di un binomio):

x^2+2x+1=(x+1)^2

Così le due frazioni di partenza possono essere riscritte come:

\dfrac{3x}{(x+1)^2}; \qquad \dfrac{2x+3}{x+1}

Poiché per le proprietà delle potenze {(x+1)^2 = (x+1)(x+1)}, è chiaro che i due denominatori hanno un fattore in comune, uguale a {x+1}. E il minimo comune multiplo è uguale in questo caso all’unico fattore presente, preso con il massimo esponente, quindi {(x+1)^2}.

Scriviamo allora le due frazioni ridotte a denominatore comune, lasciando in sospeso i numeratori:

\dfrac{\square}{(x+1)^2}; \qquad \dfrac{\square}{(x+1)^2}

Il numeratore della prima frazione è dato dal prodotto del numeratore della frazione di partenza per il quoziente del denominatore comune e il numeratore della prima frazione di partenza. Calcoliamo tale quoziente:

(x+1)^2: (x+1)^2 = (x+1)^{2-2} = 1

Così il numeratore della prima frazione ridotta a denominatore comune è dato da {3x \cdot 1 = \boxed{3x}}, ovvero il prodotto del numeratore della prima frazione di partenza per il quoziente appena ottenuto. Osserviamo che nella pratica se una delle due frazioni di partenza ha denominatore uguale al denominatore comune, semplicemente ci limitiamo a riscrivere il suo numeratore.

Ora, il numeratore della seconda frazione ridotta a denominatore comune è uguale al prodotto del numeratore della seconda frazione di partenza per il quoziente tra il denominatore comune e il denominatore della seconda frazione di partenza. Calcoliamo il quoziente:

(x+1)^2:(x+1)=(x+1)^{2-1}=x+1

Così il numeratore della seconda frazione ridotta a denominatore comune è pari a {(2x+3) \cdot (x+1) = 2x^2+2x+3x+3=\boxed{2x^2+5x+3}}.

Ora disponiamo dei numeratori che avevamo lasciato in sospeso. Quindi le frazioni di partenza nella forma ridotta a denominatore comune sono:

\dfrac{3x}{(x+1)^2}; \qquad \dfrac{2x^2+5x+3}{(x+1)^2}

Esempio 2

Ridurre a denominatore comune le seguenti frazioni:

\dfrac{x+3}{x^2+x-2}; \qquad \dfrac{x-2}{x^2-4x+3}

Cominciamo scomponendo i denominatori in fattori. In entrambi i casi dobbiamo utilizzare la regola del trinomio caratteristico:

\dfrac{x+3}{(x+2)(x-1)}; \qquad \dfrac{x-2}{(x-1)(x-3)}

Il denominatore comune è dato dal minimo comune multiplo dei denominatori (fattori comuni e non comuni con il più piccolo esponente), ovvero:

(x-1)(x+2)(x-3)

Ora determiniamo i numeratori delle frazioni ridotte a denominatore comune. Per la prima frazione, calcoliamo il quoziente tra il denominatore comune e il denominatore della prima frazione di partenza:

\begin{align*} & [(x-1)(x+2)(x-3)] : [(x+2)(x-1)]= \\ \\ & =\dfrac{(\cancel{x-1)}\cancel{(x+2)}(x-3)}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x-1)}}=x-3\end{align*}

Ora moltiplichiamo il numeratore della frazione di partenza per il quoziente appena ottenuto:

(x+3) \cdot (x-3)= \boxed{x^2-9}

E questo è il numeratore della prima frazione ridotta a denominatore comune.

Passiamo ora alla seconda frazione. Calcoliamo il quoziente tra il denominatore comune e il denominatore della seconda frazione di partenza:

\begin{align*} & [(x-1)(x+2)(x-3)] : [(x-1)(x-3)]= \\ \\ & =\dfrac{(\cancel{x-1)}{(x+2)}\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-1}\cancel{(x-3)}}=x+2\end{align*}

A questo punto moltiplichiamo il numeratore della seconda frazione di partenza per il quoziente appena ottenuto:

(x-2) \cdot (x+2) = \boxed{x^2-4}

Le due frazioni di partenza nella forma ridotta a denominatore comune sono:

\dfrac{x^2-9}{(x-1)(x+2)(x-3)}; \qquad  \dfrac{x^2-4}{(x-1)(x+2)(x-3)}

Esempio 3

Ridurre a denominatore comune le seguenti frazioni:

\dfrac{1}{a-b}; \qquad \dfrac{1}{b^2-a^2}; \qquad \dfrac{1}{a^4-b^4}

Prima di tutto scomponiamo i denominatori delle frazioni date:

\dfrac{1}{a-b}; \qquad \dfrac{1}{(b+a)(b-a)}; \qquad \dfrac{1}{(a^2+b^2)(a-b)(a+b)}

Ora conviene lavorare sui segni nella seconda frazione, in modo da rendere più semplice la determinazione del denominatore comune. In particolare possiamo invertire i segni di tutti i termini del fattore {b-a}, a patto di invertire anche il segno del numeratore della frazione. In tal modo, ritroveremo un fattore {-b+a=a-b}, uguale ad uno dei fattori presenti nei denominatori delle altre frazioni. Osserviamo che occorre invertire il segno del numeratore in modo da moltiplicare entrambi il numeratore e il denominatore della frazione per la stessa quantità {-1}. E così facendo otteniamo una frazione equivalente a quella di partenza.

Per comodità riordiniamo anche i termini del primo fattore del denominatore della seconda frazione. Abbiamo quindi:

\dfrac{1}{a-b}; \qquad \dfrac{-1}{(a+b)(a-b)}; \qquad \dfrac{1}{(a^2+b^2)(a-b)(a+b)}

Ora individuiamo con facilità il denominatore comune delle frazioni, pari al minimo comune multiplo {(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}.

Ora, come nei casi precedenti, calcoliamo per ciascuna frazione il quoziente tra il denominatore comune e il denominatore della frazione di partenza. Quindi, moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il numeratore della frazione di partenza. Questo sarà il numeratore di ciascuna frazione ridotta a denominatore comune.

Quoziente relativo alla prima frazione:

[(a-b)(a+b)(a^2+b^2)]:(a-b)=(a+b)(a^2+b^2)

Prodotto del numeratore della prima frazione di partenza per il quoziente appena ottenuto:

1 \cdot (a+b)(a^2+b^2) = (a+b)(a^2+b^2)=\boxed{a^3+ab^2+a^2b+b^3}

Quoziente relativo alla seconda frazione:

[(a-b)(a+b)(a^2+b^2)]:[(a+b)(a-b)]=a^2+b^2

Prodotto del numeratore della seconda frazione di partenza per il quoziente appena ottenuto:

-1 \cdot (a^2+b^2) = \boxed{-a^2-b^2}

Per la terza frazione prendiamo direttamente il suo numeratore, in quanto il suo denominatore coincide con il denominatore comune.

In conclusione le frazioni ridotte a denominatore comune sono:

\begin{align*} & \dfrac{a^3+ab^2+a^2b+b^3}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}; \qquad \dfrac{-a^2-b^2}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}; \\ \\ &\dfrac{1}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} \end{align*}

Conclusioni

Per quanto riguarda come trovare il denominatore comune di due o più frazioni algebriche è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo delle operazioni con le frazioni algebriche. Buon proseguimento!