Equazione di una retta nel piano

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Una retta è un ente geometrico primitivo. Può essere immaginata come un filo ben teso tra due punti, di estensione infinita in entrambe le direzioni e privo di spessore. In questa lezione ci proporremo in particolare di fornire l’equazione di una retta nel piano, nelle sue varie forme. E vedremo anche come passare dalla forma esplicita alla forma implicita dell’equazione di una retta, e viceversa.

Con la definizione di equazione di una retta nel piano ci riferiamo ad una retta che giace nel piano cartesiano. Abbiamo già introdotto il concetto di piano cartesiano e coordinate nel piano cartesiano nelle precedenti lezioni. Di conseguenza, non avremo a che fare in questo corso di lezioni con rette che vivono nello spazio tridimensionale.

Nella presente lezione presenteremo le varie forme che può assumere l’equazione di una retta nel piano cartesiano: la forma esplicita e la forma implicita di una retta generica, e le forme relative ai casi particolari di rette parallele ad uno degli assi coordinati o di rette passanti per l’origine degli assi.

Nelle successive lezioni riprenderemo tutti questi concetti ed avremo anche modo di approfondire i concetti di fasci di rette (propri e impropri).

Cominciamo allora lo studio dell’equazione di una retta nel piano, nelle sue varie forme, presentando anche esercizi di esempio svolti e commentati.

Equazione di una retta nel piano in forma esplicita

Una funzione lineare ha espressione generica:

f(x)=mx+q, \qquad m, q \in \R

ove {m, q } sono coefficienti reali. Si tratta di una particolare funzione la cui espressione è data da un polinomio di primo grado nella sola variabile indipendente {x} e a coefficienti reali.

Utilizzando la variabile dipendente {y}, ovvero ponendo {y=f(x)}, la precedente si può anche scrivere come:

y=mx+q

Come avremo modo di osservare nel corso della lezione, il grafico di una tale funzione lineare è dato da una retta.

Il caso più semplice da analizzare è quello di una funzione lineare del tipo:

f(x)=mx, \qquad m \in \R

o se preferite:

y=mx, \qquad m \in \R

L’espressione appena scritta si ottiene evidentemente dalla precedente ponendo {q=0}.

Dalla geometria elementare, osserviamo che una retta è univocamente individuata quando sono ad esempio noti due dei suoi punti (come vedremo successivamente, una retta è univocamente individuata anche nel caso in cui sono noti un punto e la sua “pendenza”).

Così, dato che il grafico di una funzione lineare è una retta, per disegnare il grafico della funzione {f(x)=mx} basterà attribuire alla {x} due valori a piacere, in modo da ottenere i corrispondenti valori della {y}. A tal punto, basterà tracciare una retta che passa per entrambi i punti.

Passiamo subito ad un esempio pratico. Disegniamo il grafico della funzione lineare:

y=3x

Attribuiamo due valori alla variabile indipendente {x} e ricaviamo i corrispondenti valori della variabile dipendente {y}. In tal modo, avremo due coppie di punti caratterizzati ciascuno dalla loro ascissa e dalla loro ordinata:

P_0 = (x_0, y_0), \qquad P_1=(x_1, y_1)

Cominciamo ponendo ad esempio {x_0 = 0}. Tenendo conto dell’espressione della funzione lineare in esame, ricaviamo il valore della {y}:

x_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad y_0= 3 x_0=3 \cdot 0  = 0

Così un primo punto appartenente alla retta è dato da {P_0 = (x_0, y_0) = (0,0)}. Si tratta in particolare dell’origine degli assi cartesiani.

Passiamo ora ad un secondo punto. Poniamo ad esempio:

x_0 = 1 

da cui ricaviamo:

y_1 = 3 x_1 = 3 \cdot 1 = 3

Così anche il punto {P_1 = (x_1, y_1) = (1, 3) } appartiene alla retta grafico della funzione {y=3x}.

Ora non resta che rappresentare i due punti {P_0=(0,0)} e {P_1 = (1,3)} nel piano cartesiano, e quindi disegnare la retta passante per i due punti stessi:

equazione di una retta nel piano

Abbiamo così ottenuto una retta del piano cartesiano passante per l’origine.

Nota: a rigore le estremità della retta così come rappresentata graficamente andrebbero tratteggiate, poiché altrimenti saremmo in presenza di un segmento. Tuttavia, per ragioni tipografiche omettiamo tale pratica, lasciando intuire in base al contesto se l’ente geometrico rappresentato è una retta o un segmento.

Osserviamo che a partire dall’espressione {y=mx} di una generica retta passante per l’origine, possiamo ottenere il grafico di infinite rette scegliendo a piacere il valore del coefficiente reale {m}. Ad esempio, ponendo {m=2} otteniamo la funzione lineare:

y=2x

Procedendo come fatto in precedenza otteniamo il seguente grafico:

equazione di una retta nel piano

Come è immediato osservare confrontando le due figure, la retta corrispondente alla funzione lineare {y=3x} forma con l’asse delle {x} un angolo di differente ampiezza rispetto a quello relativo alla retta corrispondente alla funzione lineare {y=2x}.

Dal valore del coefficiente {m} dipende allora l’ampiezza dell’angolo che la retta grafico della funzione {y=mx} forma con l’asse delle ascisse (asse {x}). Il coefficiente {m} viene pertanto indicato con il nome di coefficiente angolare.

Vediamo ora di tracciare il grafico di una funzione lineare del tipo:

y=mx+q

ove sia {q \neq 0}, con {q} numero reale.

Disegniamo ad esempio il grafico della funzione:

y=2x+5

Vediamo cosa succede alla variabile dipendente {y} in corrispondenza del valore {x_0 = 0}:

y_0 = 2 \cdot x_0 + 5 = 2 \cdot 0 + 5 = 5

Stavolta per un valore nullo dell’ascissa otteniamo un valore dell’ordinata diverso da zero. E il punto {P_0 = (x_0, y_0) = (0,5)} è un primo punto appartenente alla retta grafico della funzione in esame.

Prendiamo ora {x_1 = 1}. Otteniamo:

y_1 = 2 \cdot x_1 + 5 = 2 \cdot 1 +5 = 7

Così abbiamo anche il punto {P_1 = (x_1, y_1) = (1,7)}.

E’ ora possibile disegnare il grafico della funzione lineare {y=2x+5}:

equazione di una retta nel piano

Come possiamo notare, la retta non passa più per l’origine. Ciò è dovuto al fatto che nella somma:

2x+5

se anche si annulla la {x}, comunque rimaniamo con la quantità {5}:

2 \cdot 0 + 5 = 5

Di conseguenza, tornando alla funzione:

y=2x+5

in corrispondenza dell’ascissa {x=0} otteniamo l’ordinata:

y=5

che è detta ordinata all’origine.

Osserviamo che le rette {y=2x+5} e {y=2x} hanno lo stesso coefficiente angolare (per entrambe si ha infatti {m=2}). Ciò che cambia è soltanto l’ordinata all’origine (che per la retta {y=2x+5} è uguale a {5}, mentre per la retta {y=2x} è uguale a zero).

Per tutto quanto detto, l’espressione di una generica retta del piano è data da:

y=mx+q, \qquad m, q \in \R

e si dice equazione in forma esplicita di una generica retta nel piano cartesiano (escluso come vedremo il solo caso di una retta parallela all’asse y). E, riepilogando, il coefficiente {m} si indica con il nome di coefficiente angolare, mentre il termine noto {q} è detto ordinata all’origine.

Notiamo che dalla definizione di ordinata all’origine segue che il punto {P=(0,q)} appartiene sempre alla retta {y=mx+q}.

In generale, un punto appartiene alla retta di equazione {y=mx+q} se i suoi valori di ascissa e ordinata sono tali da soddisfare l’equazione stessa. Ad esempio, per la retta:

y=2x-3

possiamo affermare che il punto {P=(1,-1)} appartiene alla stessa. Infatti, sostituendo le corrispondenti ascisse ed ordinate otteniamo un’identità:

-1 = 2 \cdot 1 - 3 \quad \Rightarrow \quad -1 = -1

In altre parole, avendo ottenuto due valori numerici tra loro uguali in entrambi i membri, possiamo affermare che per {x=-1} e {y= 1} l’equazione {y=2x-3} è soddisfatta. E in conclusione, se le coordinate di un punto soddisfano l’equazione di una retta, allora il punto stesso appartiene alla retta.

Equazione di una retta nel piano in forma implicita

Vogliamo ora mostrare che l’equazione:

ax+by+c=0, \qquad a, b, c \in \R

rappresenta una retta.

Per fare questo, supponendo {b \neq 0} dividiamo entrambi i membri dell’uguaglianza appena scritta per {b}:

\dfrac{ax+by+c}{b}= \dfrac{0}{b}, \qquad b \neq 0

Al primo membro applichiamo la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma (divisione di un polinomio per un monomio). Al secondo membro, invece, ricordiamo che una frazione con numeratore nullo e denominatore diverso da zero è uguale a zero:

\dfrac{ax}{b}+\dfrac{by}{b}+\dfrac{c}{b}=0

Semplificando ciascun monomio ove possibile:

\dfrac{a}{b}x+y+\dfrac{c}{b}=0

Ora non resta che ricavare la {y}, ovvero isolarla ad esempio al primo membro:

y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}

Ma a questo punto ponendo {m=-\dfrac{a}{b}} e {q=-\dfrac{c}{b}} ritroviamo l’equazione:

y=mx+q

che è l’equazione di una retta nel piano in forma esplicita. Dunque, l’equazione {ax+by+c=0} effettivamente rappresenta una retta.

Ora, considerando ancora l’equazione {ax+by+c=0}, cosa succede per {b=0}? Sicuramente, non è possibile isolare la {y}. Tuttavia, è comunque possibile isolare la {x}. Infatti abbiamo:

ax+by+c=0, \qquad b = 0 \quad \Rightarrow \quad ax+c=0

da cui:

ax=-c \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{c}{a}

Ponendo {k=-\dfrac{c}{a}} otteniamo in conclusione l’equazione:

x=k, \qquad k \in \R

la quale viene soddisfatta da tutti i punti del piano cartesiano tali da avere ordinata qualsiasi ed ascissa uguale a {k}. Infatti, poiché la {y} non figura nell’equazione, qualsiasi valore attribuito alla {y} soddisfa banalmente l’equazione stessa.

Tale equazione rappresenta una retta parallela all’asse {y}, come è immediato convincersi grazie alla seguente figura.

Si tratta in particolare di una retta formata da punti aventi tutti la stessa distanza dall’asse {y} (vedi: coordinate cartesiane nel piano, distanza di un punto dagli assi cartesiani).

Ora, ponendo {a=0} l’equazione {ax+by+c=0} si riduce a:

by+c=0

ovvero, esplicitando la {y}:

y=-\dfrac{c}{b}

Ponendo {k=-\dfrac{c}{b}} l’equazione diviene della forma:

y=k

e rappresenta una retta parallela all’asse delle {x} (retta orizzontale), come mostra la seguente figura. La retta è infatti data da punti del tipo {P=(x,k)}, ovvero da punti aventi tutti ordinata uguale a {k}.

Come è evidente, tutti i punti della retta {y=k} presentano la stessa distanza rispetto all’asse delle {x}.

Così, in conclusione, l’equazione implicita di una retta nel piano, ovvero l’equazione {ax+by+c=0} rappresenta una generica retta nel piano cartesiano, compreso anche il caso di rette parallele agli assi coordinati (ovvero rette sia orizzontali, sia verticali).

Ora, attenzione. L’equazione di una retta del piano in forma esplicita, ovvero della forma:

y=mx+q, \qquad m, q \in \R

non può invece rappresentare rette verticali, ovvero rette di equazione {x=k, k \in \R}. Infatti, non esiste alcun valore di {m} tale da ricondurre l’equazione {y=mx+q} alla forma {x=k}.

Di conseguenza, mentre l’equazione di una retta in forma implicita {ax+by+c=0} è in grado di rappresentare una qualsiasi retta del piano cartesiano, comprese le rette verticali, l’equazione in forma esplicita {y=mx+q} non può invece rappresentare rette verticali. Di qui l’utilità dell’equazione di una retta nella forma implicita.

Cionondimeno, ponendo {m=0} l’equazione {y=mx+q} diviene:

y=q

ed è quindi della forma {y=k}. Di conseguenza, l’equazione di una retta in forma esplicita può comunque rappresentare rette orizzontali.

Retta passante per due punti del piano e retta passante per un punto del piano con coefficiente angolare dato

Come già anticipato all’inizio della lezione, una retta nel piano è univocamente individuata una volta noti:

  • le coordinate di due suoi punti;
  • oppure, le coordinate di un suo punto ed il suo coefficiente angolare {m}.

Cominciamo dal primo caso. Siano dati due punti:

P_0 = (x_0, y_0), \quad P_1=(x_1, y_1)

Proviamo a scrivere l’equazione in forma esplicita della retta del piano cartesiano passante per tali punti.

Cominciamo considerando l’equazione in forma esplicita di una retta del piano passante per l’origine degli assi (non parallela all’asse {y}):

y=mx

Si ha:

m=\dfrac{y}{x}, \qquad x  \neq 0

Il coefficiente angolare {m} è dunque esprimibile, per una retta del piano passante per l’origine, come il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di un qualunque punto diverso dall’origine appartenente alla retta stessa. Il punto è necessariamente diverso dall’origine, poiché la precedente vale solo per {x \neq 0}.

Attenzione. La formula {m = \dfrac{y}{x}} vale SOLO per una retta passante per l’origine (e non parallela all’asse {y}). Forniremo la formula generale immediatamente a seguire.

Vogliamo ora ricavare un’espressione per il coefficiente angolare {m} relativa al caso di una retta non necessariamente passante per l’origine. Ciò ci sarà utile per poter scrivere l’equazione di una retta del piano cartesiano passante per due punti dati.

Consideriamo due distinti punti {P_0 = (x_0, y_0) } e {P_1 = (x_1, y_1)} appartenenti alla retta {y=mx+q}. Le ordinate dei due punti saranno di conseguenza esprimibili, rispettivamente, come:

y_0 = m x_0+q; \qquad y_1 = m x_1 +q

Ora, la differenza {\Delta x } tra le ascisse dei due punti, intesa come incremento dell’ascissa, è data da:

\Delta x = x_1 - x_0 

mentre la differenza {\Delta y} tra le ordinate dei due punti, ovvero l’incremento dell’ordinata, è data da:

\begin{align*} & \Delta y = y_1 - y_0 = m x_1 +q - (mx_0 +q) =  \\ \\ & =mx_1+q-mx_0-q=mx_1-mx_0=\boxed{m(x_1-x_0)}\end{align*}

E quindi poiché {\Delta x= x_1-x_0} e {\Delta y = m(x_1 - x_0)}, è evidente che si ha:

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{m(x_1-x_0)}{x_1-x_0}=m, \qquad x_1 \neq x_0 

da cui segue:

m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

e infine, poiché {\Delta y = y_1-y_0}:

m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

da cui otteniamo in conclusione l’importante definizione per il coefficiente angolare:

\boxed{m=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}

la quale consente di ricavare il coefficiente angolare di una retta del piano cartesiano passante per due punti dati.

Attenzione: la formula vale solo nel caso in cui sia {x_1 \neq x_0}. In altre parole, il coefficiente angolare {m} non è definito per rette verticali. Approfondiremo questo discorso nelle successive lezioni.

Ora, se {x} e {y} sono le coordinate di un qualunque punto appartenente alla retta data, e {x_0} e {y_0} sono le coordinate di un fissato punto della stessa retta, entrambe le equazioni seguenti risultano verificate:

y=mx+q; \qquad y_0=mx_0+q

Così, sottraendo tra loro entrambe le equazioni membro a membro otteniamo una nuova equazione, anch’essa verificata:

y-y_0 = mx+q-(mx_0+q)

ovvero:

\boxed{y-y_0 = m(x-x_0)}

Questa è l’equazione di una retta passante per il punto {P_0 = (x_0, y_0)} e avente coefficiente angolare {m}.

Importante: precisiamo sin d’ora che l’equazione appena scritta non si riferisce ad una fascio di rette, poiché il coefficiente angolare non è funzione di un parametro reale ma è una costante. Il perché di questa precisazione sarà più chiaro nelle successive lezioni.

Di conseguenza, per tutto quanto detto, per ricavare la retta passante per due punti {P_0 = (x_0, y_0)} e {P_1 = (x_1, y_1)} basterà ricavare il coefficiente angolare corrispondente a tale retta con la formula:

m=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

e quindi sostituire il valore del coefficiente angolare così calcolato nella formula seguente:

y-y_0 = m(x-x_0)

nella quale avremo anche sostituito i valori delle coordinate del punto {P_0 = (x_0, y_0)}.

Vediamo subito un esempio pratico.

Esempio (equazione della retta passante per due punti dati)

Scrivere l’equazione della retta passante per i punti {A=(x_1, y_1)=(5, -1)} e {B=(x_0, y_0)=(-3, 7)}.

Ricaviamo il coefficiente angolare della retta (la formula a seguire è applicabile poiché per i punti dati vale la condizione {x_1 \neq x_0}):

m=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\dfrac{-1-7}{5-(-3)}=\dfrac{-8}{5+3}=-1

Importante. Nel calcolare le differenze a numeratore e a denominatore dobbiamo prestare particolare attenzione all’ordine con il quale scriviamo le coordinate. In particolare, se al numeratore consideriamo la differenza fra l’ordinata del punto B e del punto A, allora anche al denominatore dovremo seguire questo stesso preciso ordine, considerando quindi la differenza tra l’ascissa del punto B e l’ascissa del punto A.
Osserviamo infine che calcolare il coefficiente angolare anche utilizzando la formula {m=\dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1}} è comunque corretto. L’importante è che nelle differenze il minuendo e il sottraendo corrispondano agli stessi punti sia a numeratore, sia a denominatore.

A questo punto scriviamo l’equazione in forma esplicita, sostituendo i valori numerici delle coordinate {x_0} e {y_0} e il valore del coefficiente angolare:

y-y_0 = m (x-x_0) \quad \Rightarrow \quad  y-7=-1 \cdot [x-(-3)]

da cui:

y-7=-1(x+3) \quad \Rightarrow \quad y-7=-x-3

e quindi in conclusione:

y=-x-3+7 \quad \Rightarrow \quad\boxed{ y=-x+4}

Quindi {y=-x+4} è l’equazione in forma esplicita della retta nel piano cartesiano passante per i punti {A} e {B} dati.

Osservazione. Se nell’equazione {y-y_0 = m (x-x_0)} sostituiamo i valori dell’ascissa e dell’ordinata relativi al punto {B=(x_1, y_1)} perveniamo comunque all’equazione della retta cercata. Infatti: {y-(-1)=-1(x-5) \quad \Rightarrow \: y+1=-x+5 \quad \Rightarrow \:y=-x+4}

Vediamo ora un altro esempio che mostra come determinare l’equazione di una retta a partire dalle coordinate di un suo punto e il coefficiente angolare.

Nota. Volendo determinare l’equazione della retta passante per due punti dati, è anche possibile utilizzare una formula specifica.

Esempio (equazione della retta noti un punto e il coefficiente angolare)

Scrivere l’equazione della retta passante per il punto {P=(1,2)} e avente coefficiente angolare {m=-\dfrac{1}{2}}.

In questo caso abbiamo le coordinate di un solo punto appartenente alla retta. Ma disponendo anche del valore del coefficiente angolare, possiamo utilizzare direttamente la formula:

y-y_0 = m(x-x_0)

prendendo come valori per {x_0} e {y_0} le coordinate del punto {P=(1,2)}. Così, sostituendo le coordinate del punto dato e il valore del coefficiente angolare fornito nel testo abbiamo:

y-2=-\dfrac{1}{2} (x-1) \quad \Rightarrow \quad y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}+2

da cui in conclusione:

y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}

e questa è l’equazione cercata.

Passaggio dalla forma implicita alla forma esplicita e viceversa

A conclusione della lezione vogliamo mostrare come passare dall’equazione in forma implicita di una retta alla corrispondente equazione in forma esplicita e viceversa.

Esempio 1 (dalla forma implicita alla forma esplicita dell’equazione di una retta)

Scrivere in forma esplicita la retta di equazione in forma implicita {2x+3y-7=0}.

L’equazione data si presenta nella forma implicita, ovvero nella forma:

ax+by+c=0

con {a=2}, {b=3} e {c=-7}.

Dividiamo ambo i membri dell’equazione data per {b}, ovvero per {3}:

\dfrac{2x+3y-7}{3}=\dfrac{0}{3}

Si ha:

\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{3}y-\dfrac{7}{3}=0

e quindi:

\dfrac{2}{3}x+y-\dfrac{7}{3}=0

A questo punto isoliamo la {y} trasportando i rimanenti termini al secondo membro (ricordiamoci di cambiarne il segno):

y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}

Questa è la forma esplicita relativa all’equazione della retta data in partenza.

Dunque, a partire dall’equazione di una retta in forma implicita, la chiave per passare alla forma esplicita è quella di dividere entrambi i membri dell’equazione di partenza per il coefficiente del termine in {y}, e quindi procedere isolando la {y}.

Esempio 2 (dalla forma esplicita alla forma implicita)

Riscrivere in forma implicita la retta di equazione {y=\dfrac{4}{5}x-9}.

L’obiettivo è ricondurre l’equazione data alla forma:

ax+by+c=0

Ma per fare questo, è sufficiente soltanto trasportare dei termini nel modo opportuno. Abbiamo:

\small y=\dfrac{4}{5}x-9 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{4}{5}x+y+9=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4}{5}x-y-9=0

Per migliorare la forma estetica dell’equazione, possiamo mettere tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{4x-5y-45}{5}=0

Ora ricordiamo che possiamo eliminare il denominatore senza alcuna discussione. Questo è infatti un numero:

4x-5y-45=0

Abbiamo così riscritto l’equazione della retta di partenza nella forma implicita.

Conclusioni

Per questa lezione sull’equazione di una retta nel piano è tutto. Nelle prossime lezioni vedremo più nel dettaglio i concetti relativi a rette passanti per l’origine, coefficiente angolare, ordinata all’origine, ed inoltre introdurremo le definizioni di fasci di rette, distanza tra una retta e un punto e mostreremo le condizioni per il parallelismo e la perpendicolarità tra rette. Infine, ci occuperemo del problema della determinazione del punto di intersezione tra due rette.

Buon proseguimento con SìMatematica a tutti voi! 🙂


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