Equazioni binomie

 - 

Equazioni (superiori)

In questa lezione ci occupiamo di un particolare tipo di equazioni di grado superiore al secondo: le equazioni binomie. Tratteremo quindi equazioni binomie nel caso in cui il grado del termine contenente l’incognita sia maggiore di due.

Abbiamo già visto nella lezione introduttiva alle equazioni di grado superiore al secondo come risolvere le equazioni binomie. Vogliamo tuttavia offrire con questa lezione un’ulteriore occasione di approfondimento, andando più nel dettaglio sul metodo risolutivo e fornendo ulteriori esempi.

Vediamo allora subito come risolvere le equazioni binomie.

Come risolvere le equazioni binomie

Le equazioni binomie sono particolari equazioni che ridotte alla forma normale diventano del tipo:

x^n = a

ove {a} è un numero reale qualsiasi e {n} è un numero naturale maggiore di {2}. Infatti i casi {n=1} e {n=2} non ci interessano poiché ricadremmo in equazioni di grado non superiore al secondo, delle quali già ci siamo occupati.

Ad esempio l’equazione:

x^3=7

è binomia. Infatti è della forma {x^n=a} con {n=3} ed {a=7}.

L’equazione:

\dfrac{3}{5}x^4-\dfrac{9}{5}=3x^4+5

è anch’essa binomia. Tuttavia, ciò non è affatto evidente al momento poiché l’equazione non è in forma normale. Ricordiamo che in generale un’equazione è in forma normale quando tutti i suoi termini si trovano al primo membro, non ci sono termini simili e sono ordinati per potenze decrescenti della {x}. Nel caso particolare delle equazioni binomie, inoltre, dovremo anche portare il termine noto al secondo membro e quindi dividere entrambi i membri per il coefficiente del termine in {x^n}.

Così, per ricondurre l’equazione di partenza alla forma normale dovremo anzitutto trasportare tutti i termini al primo membro, sommare tra loro i termini simili, portare il termine noto al secondo membro e dividere entrambi i membri per il coefficiente del termine in {x^4}. Abbiamo:

\begin{align*} & \dfrac{3}{5}x^4-\dfrac{9}{5}-3x^4-5=0 \\ \\ &\left( \dfrac{3}{5}-3\right)x^4+\left( -\dfrac{9}{5}-5\right)= 0 \\ \\ &-\dfrac{12}{5}x^4-\dfrac{34}{5}= 0 \\ \\ &-\dfrac{12}{5}x^4=\dfrac{34}{5} \\ \\ & 12x^4=-34 \\ \\ & x^4=-\dfrac{17}{6}\end{align*}

Ora l’equazione binomia è in forma normale. Infatti abbiamo un’equazione del tipo {x^n=a}, in questo caso con {n=4} ed {a=-\dfrac{17}{6}}.

Vediamo come risolvere le equazioni binomie, considerando separatamente i casi relativi ad {n=3} ed {n=4}. Successivamente forniremo la regola inerente al caso generale.

Equazione binomia con n=3

Consideriamo l’equazione:

x^3=a, \qquad a \in \mathbb{R}

Questa può essere riscritta come:

x^3-a=0

E’ ora possibile rileggere il termine {-a} come {-\left( \sqrt[3]{a}\right)^3}:

x^3-\left( \sqrt[3]{a}\right)^3=0

Ma a questo punto ci ritroviamo al primo membro con una differenza tra cubi. Possiamo quindi scomporre l’espressione al primo membro utilizzando la regola:

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

Così per il primo membro dell’equazione abbiamo:

x^3-\left( \sqrt[3]{a}\right)^3=\left(x-\sqrt[3]{a}\right) \cdot \left[ x^2+x\sqrt[3]{a}+\left(\sqrt[3]{a}\right)^2\right]

Ovvero, ricordando che per la regola della potenza di un radicale {\left( \sqrt[3]{a} \right)^2 = \sqrt[3]{a^2}}:

x^3-\left( \sqrt[3]{a}\right)^3=\left(x-\sqrt[3]{a}\right) \cdot \left( x^2+x\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2}\right)

Quindi l’equazione diviene:

\left(x-\sqrt[3]{a}\right)\left( x^2+x\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2}\right)=0

Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo le due equazioni:

x-\sqrt[3]{a}=0 \quad \vee \quad x^2+x\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2} = 0

Risolviamole separatamente, per poi unire gli insiemi delle soluzioni ottenuti. Per la prima equazione abbiamo:

x-\sqrt[3]{a}=0 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt[3]{a}

La seconda equazione è un’equazione di secondo grado, che possiamo scrivere in forma normale come segue:

x^2+\sqrt[3]{a}x+\sqrt[3]{a^2} = 0

L’equazione ha coefficienti {A=1, \: B=\sqrt[3]{a}} e {C=\sqrt[3]{a^2}}. Otteniamo per il determinante o discriminante dell’equazione:

\begin{align*} & \Delta = B^2-4AC=\left( \sqrt[3]{a}\right)^2-4 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{a^2} =  \\ \\ & =\sqrt[3]{a^2}-4\sqrt[3]{a^2}= \sqrt[3]{a^2} \cdot \left( 1-4\right) =-3\sqrt[3]{a^2}<0\end{align*}

Otteniamo un discriminante negativo e quindi la seconda equazione non fornisce alcuna soluzione reale.

Così in definitiva l’equazione {x^3=a} ha l’unica soluzione:

x=\sqrt[3]{a}

Equazione binomia con n=4

Consideriamo ora l’equazione:

x^4=a, \qquad a \geq 0

Restringiamo i valori di {a} ai soli reali non negativi, in quanto per {a<0} l’equazione è impossibile. Infatti, per l’algebra dei segni una potenza con esponente pari non potrà mai corrispondere ad un valore negativo.

Osserviamo in particolare che sotto l’ipotesi {a \geq 0} è possibile riscrivere l’equazione come:

x^4-\sqrt[4]{a^4} = 0

Infatti in generale abbiamo {\sqrt[4]{a^4}=|a|}, e con l’ipotesi {a \geq 0 } possiamo eliminare il simbolo di valore assoluto.

Poiché {\sqrt[4]{a^4}=\left( \sqrt[4]{a}\right)^4} (vedi potenza di un radicale), l’equazione diviene:

x^4-\left( \sqrt[4]{a}\right)^4=0

Ci siamo così ricondotti al primo membro ad una differenza tra potenze quarte. Ricordiamo che in generale si ha:

A^4-B^4=(A^2)^2-(B^2)^2=(A^2+B^2)(A^2-B^2)

In pratica grazie alla proprietà della potenza di una potenza è possibile rileggere la differenza tra potenze quarte come una differenza tra quadrati, scomponibile con il prodotto somma per differenza.

Così per il primo membro dell’equazione abbiamo:

\small \begin{align*} & x^4-\left( \sqrt[4]{a}\right)^4=(x^2)^2-\left[\left( \sqrt[4]{a}\right)^2\right]^2=\left[ x^2+\left(\sqrt[4]{a}\right)^2\right] \cdot \left[ x^2-\left( \sqrt[4]{a}\right)^2\right]= \\ \\ & = \left(x^2+\sqrt[4]{a^2}\right)  \cdot \left( x^2-\sqrt[4]{a^2}\right)=(x^2+\sqrt{a})\cdot(x^2-\sqrt{a})\end{align*}

Per giustificare i passaggi osserviamo che grazie all’ipotesi {a \geq 0} possiamo scrivere {\sqrt[4]{a^2}=\sqrt{a}} senza porre il radicando entro il simbolo di valore assoluto.

Così tenendo conto della forma ottenuta per il primo membro l’equazione di partenza diviene:

(x^2+\sqrt{a})\cdot(x^2-\sqrt{a})=0

Applicando la legge di annullamento del prodotto:

x^2+\sqrt{a} = 0 \quad \vee \quad x^2-\sqrt{a} = 0 

Per la prima equazione abbiamo:

x^2=-\sqrt{a} \qquad \text{impossibile}

L’equazione è impossibile poiché un quadrato non può essere mai uguale ad una quantità negativa.

Per la seconda equazione abbiamo invece:

x^2=\sqrt{a} \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = \pm \sqrt{\sqrt{a}}=\pm \sqrt[4]{a}

Per avere chiaro il passaggio è bene ricordare la regola della radice di una radice. In particolare:

\sqrt{\sqrt{a}}=\left( a^{1/2}\right)^{1/2}=a^{1/4}=\sqrt[4]{a}

Così per {a > 0} otteniamo per l’equazione binomia {x^4=a} le soluzioni:

x_1= \sqrt[4]{a}, \qquad x_2=-\sqrt[4]{a}

Infine per {a=0} otteniamo le due soluzioni coincidenti:

x_1= 0, \qquad x_2 = 0

Si può dimostrare che quanto visto per {n=3} e per {n=4} è applicabile rispettivamente nei casi generali di esponente {n} dispari e pari.

Così vale la seguente regola generale.

Teorema. L’equazione binomia:

x^n=a, \qquad n \in \mathbb{N}\setminus \{ 0\}, \quad a \in \mathbb{R}

per {n} dispari ammette per tutti i valori reali di {a} l’unica soluzione:

x=\sqrt[n]{a}

Nel caso in cui invece sia {n} pari, se {a > 0} l’equazione ammette le due soluzioni:

x_{1,2}=\pm \sqrt[n]{a}

Invece, per {a=0} ed {n} ancora pari otteniamo le due soluzioni reali e coincidenti:

x_{1,2} = 0

Infine, per {a<0} e {n} ancora pari, l’equazione {x^n=a} è impossibile.

A questo punto vediamo subito degli esempi sulle equazioni binomie.

Esempi su come risolvere le equazioni binomie

Esempio 1

Risolvere la seguente equazione binomia:

4x^3=15

Anzitutto riduciamo l’equazione alla forma normale {x^n=a}. Per fare questo, dividiamo entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente del monomio al primo membro:

x^3=\dfrac{15}{4}

Poiché siamo nel caso di esponente {n} dispari abbiamo la soluzione:

x=\sqrt[3]{\dfrac{15}{4}}=\dfrac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{4}}=\dfrac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{2^2}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{\sqrt[3]{15 \cdot 2}}{\sqrt[3]{2^3}}=\boxed{\dfrac{\sqrt[3]{30}}{2}}

Osserviamo che abbiamo per completezza razionalizzato la soluzione ottenuta.

Esercizio 2

Risolvere la seguente equazione binomia:

8x^4-\dfrac{1}{2}=0

Prima di tutto riconduciamo l’equazione alla forma normale {x^n=a}:

\begin{align*} &8x^4=\dfrac{1}{2} \\ \\ &x^4=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8}\\ \\  &x^4=\dfrac{1}{16}\end{align*}

Abbiamo ora un’equazione binomia in forma normale con {n=4} (quindi pari) e {a=\dfrac{1}{16}>0}. L’equazione ha quindi le due soluzioni:

x_{1,2}= \pm \sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}=\pm \dfrac{1}{\sqrt[4]{2^4}}=\pm \dfrac{1}{2}

Esempio 3

Risolvere la seguente equazione binomia:

33x^4+25=0

Riscriviamo l’equazione in forma normale:

x^4=-\dfrac{25}{33}

Poiché abbiamo {n=4} (quindi pari) ed {a<0} l’equazione è impossibile. Infatti, il primo membro è una potenza con esponente pari ed è quindi una quantità positiva. E in conclusione il primo membro non potrà mai essere uguale alla quantità al secondo membro, che è negativa.

Per quanto riguarda le equazioni binomie è tutto. Nella prossima lezione continueremo ad occuparci delle equazioni di grado superiore al secondo passando alle equazioni riducibili. Buon proseguimento!