Equazioni di grado superiore al secondo

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Le equazioni di grado superiore al secondo sono particolari equazioni algebriche che nella loro forma normale si presentano come un polinomio di grado superiore al secondo uguagliato a zero (polinomio a coefficienti reali).

Mentre per le equazioni di primo e secondo grado siamo riusciti ad individuare dei metodi risolutivi piuttosto semplici, per le equazioni di grado superiore al secondo non è sempre possibile individuare un metodo che consenta di risolverle, perlomeno facilmente. Inoltre, è anche difficile in generale classificare in modo agevole le equazioni di grado superiore al secondo. Così, rispetto al caso delle equazioni di primo e secondo grado, la classificazione delle equazioni di grado superiore al secondo risulta ben più complessa.

Esistono in particolare casi di equazioni di grado superiore al secondo che presentano dei metodi risolutivi piuttosto macchinosi, ed infine abbiamo equazioni per le quali non è addirittura possibile determinare delle soluzioni in forma esatta (ovvero, soluzioni non approssimate).

Tuttavia, in questa e nelle successive lezioni ci concentreremo soltanto su equazioni di grado superiore al secondo di tipo “scolastico”, ovvero equazioni che possono essere risolte con metodi risolutivi di un livello di difficoltà non particolarmente superiore a quello relativo ai metodi risolutivi per le equazioni di primo e secondo grado.

Come vedremo, l’idea principale sarà quella di cercare di risolvere le equazioni di grado superiore al secondo riconducendosi ai casi delle equazioni di primo e secondo grado, applicando la legge di annullamento del prodotto ed unendo le soluzioni ottenute. E’ questa la tecnica che utilizzeremo per risolvere due particolari tipi di equazioni di grado superiore al secondo: le equazioni trinomie e le equazioni con polinomio scomponibile (equazioni riducibili).

Per il caso delle equazioni binomie forniremo delle formule risolutive, ma come vedremo anche in questo caso ragioneremo comunque utilizzando quanto sappiamo sulla scomposizione dei polinomi, sulla legge di annullamento del prodotto e sulle equazioni di primo e secondo grado.

A conclusione di questa introduzione, precisiamo che nel risolvere queste equazioni sarà in molti casi necessario ricordare le proprietà dei radicali. Richiameremo comunque i concetti relativi ai radicali che via via incontreremo nel corso della lezione.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito come risolvere le equazioni di grado superiore al secondo, relativamente ai casi scolastici.

Equazioni di grado superiore al secondo: definizione

Le equazioni di grado superiore al secondo sono equazioni che in forma normale si presentano come:

P(x)=0

ove {P(x)} è un polinomio di grado superiore al secondo a coefficienti reali. Più formalmente, un’equazione di grado superiore al secondo è del tipo:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+ \dots +a_1x+a_0=0

con {a_0, \: a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}} e {n \in \mathbb{N} , \: n > 2}.

Ad esempio le seguenti sono tutte equazioni di grado superiore al secondo:

\begin{align*} &x^4-9 = 0 \\ \\ & 2x^3-5x^2-3x=0 \\ \\ &x^4+5x^2+4=0  \\ \\ &7x^4-5x^3+5x-7=0\end{align*}

Se il polinomio {P(x)} al primo membro delle equazioni in forma normale di grado {n>2} è un binomio, abbiamo le equazioni binomie. Nel caso in cui {P(x)} sia invece un trinomio possiamo ricadere nel caso delle equazioni trinomie, delle equazioni riducibili oppure delle equazioni reciproche.

Infine, se {P(x)} ha più di tre termini ricadremo o nel caso delle equazioni scomponibili o in quello delle equazioni reciproche.

Cominciamo subito a vedere tutti i tipi di equazioni sin qui elencati, rimandando alle prossime lezioni l’approfondimento di ciascun tipo di equazione di grado superiore al secondo.

Equazioni binomie

Le equazioni binomie sono equazioni riconducibili alla forma:

x^n=a, \qquad n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, \quad a \in \mathbb{R}

Nel caso in cui sia {n=1} o {n=2} ricadiamo in casi a noi noti relativi alle equazioni di primo e secondo grado. Così, presteremo la nostra attenzione ad equazioni binomie in cui sia {n \geq 3}.

Per comprendere come risolvere equazioni di questo tipo, è fondamentale ricordare alcune proprietà dei radicali. In particolare:

  • è possibile estrarre la radice n-esima di una quantità anche negativa soltanto se l’indice {n} del radicale è dispari;
  • se l’indice {n} è invece pari, possiamo estrarre soltanto la radice n-esima di una quantità positiva o al più nulla.

Così ad esempio:

\sqrt[3]{-8}=-2; \qquad \sqrt{4}=2; \quad \sqrt[3]{27}=3

mentre non è possibile calcolare nei reali:

\sqrt{-100} \qquad \text{non esiste}

Infatti nelle radici quadrate l’indice è {2}, quindi pari.

Così, se consideriamo ad esempio l’equazione:

x^4-16=0

otteniamo, trasportando il termine noto al secondo membro:

x^4=16

Una soluzione sarà data da:

x_1 = \sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2

mentre un’altra soluzione sarà:

x_2 = -\sqrt[4]{16} =-\sqrt[4]{2^4}=-2

Infatti sostituendo ciascun valore {x_1} e {x_2} nell’equazione di partenza otteniamo un’identità. Quindi tali valori soddisfano l’equazione.

Consideriamo ora l’equazione (sempre con esponente {n} pari):

x^4+81=0

Trasportando il termine noto al secondo membro abbiamo:

x^4=-81

ma comprendiamo al volo che l’equazione è impossibile. Infatti, abbiamo l’uguaglianza tra una potenza con esponente pari e una quantità negativa. Ma una potenza pari non potrà mai essere negativa.

Infatti, se comunque proviamo a risolvere l’equazione abbiamo, in modo del tutto simile al caso precedente:

x_1=\sqrt[4]{-81} \qquad \text{non esiste}

Infatti nei reali non possiamo estrarre una radice con indice pari di una quantità negativa.

Comprendiamo allora come il metodo risolutivo delle equazioni binomie cambia a seconda l’esponente della {x} sia pari o dispari. In particolare vale il seguente teorema.

Teorema. Consideriamo l’equazione binomia: {x^n = a}con {n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} e {a} numero reale.
Per {a \neq 0}, l’insieme delle sue soluzioni dell’equazione dipende dal fatto che {n} sia pari o dispari.
In particolare, se n è dispari abbiamo l’unica soluzione {x=\sqrt[n]{a}} per ogni valore reale di {a}.
Invece, se n è pari avremo le due soluzioni reali ed opposte {x_1=-\sqrt[n]{a}} e {x_2=\sqrt[n]{a}} solamente nel caso in cui sia {a >0}.
Inoltre, se n è pari ma {a<0} l’equazione sarà impossibile (nessuna soluzione).
Infine, nel caso in cui sia {a=0} avremo la soluzione {x=0} con molteplicità {n}, ovvero avremo {n} soluzioni coincidenti {x_1=0, \: x_2 =0, \dots, \: x_n=0}.

Vediamo un esempio. Consideriamo l’equazione:

x^5+32=0

Per prima cosa, non dimentichiamolo mai, riconduciamo l’equazione alla forma normale {x^n=a}:

x^5=-32

Ora è possibile ragionare con il precedente teorema.

In particolare, l’esponente della {x} è dispari, di conseguenza l’equazione ammetterà l’unica soluzione:

x=\sqrt[n]{a}=\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{-2^5}=-2

Ricordiamo che poiché l’indice {n} è dispari è stato possibile estrarre la radice di una quantità negativa.

Consideriamo ora la seguente equazione:

x^4+16=0

Riconduciamola alla forma normale:

x^4=-16

Poiché {a} è negativo e l’esponente della {x} è pari concludiamo che l’equazione è impossibile (non ammette soluzioni reali).

Consideriamo un ultimo esempio:

x^6-64=0

Riconduciamo l’equazione alla forma normale:

x^6=64

Poiché {a} è positivo anche se abbiamo un esponente della {x} pari l’equazione non è impossibile. In particolare abbiamo le soluzioni:

x_{1,2}= \pm \sqrt[6]{64} = \pm \sqrt[6]{2^6}=\pm 2 

otteniamo quindi le due soluzioni reali e disinte:

x_1=2, \qquad x_2=-2

Equazioni di grado superiore al secondo con polinomio scomponibile (equazioni riducibili)

Le equazioni riducibili sono particolari equazioni (nel nostro caso di grado superiore al secondo) che una volta ridotte a forma normale presentano a primo membro un polinomio riducibile.

Ricordiamo, un polinomio riducibile è un polinomio che può essere scomposto in fattori, ovvero può essere espresso come prodotto di polinomi di grado inferiore a quello del polinomio di partenza. Così, se {P(x)} è un polinomio riducibile, potremo in generale scrivere:

P(x)=A(x)\cdot B(x)\cdot C(x) \cdot \dots \cdot

ove {A(x)}, {B(x)} e {C(x)} hanno grado maggiore o al più uguale a {1} e la cui somma dei gradi è uguale al grado del polinomio {P(x)}.

Di conseguenza, data l’equazione:

P(x)=0

utilizzando al scomposizione di {P(x)} potremo scrivere:

A(x) \cdot B(x) \cdot C(x) \cdot \dots =0

A questo punto, poiché abbiamo un prodotto uguagliato a zero, possiamo applicare la legge di annullamento del prodotto. In pratica, un prodotto si annulla se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Così, tutti i valori della {x} tali da annullare un fattore nel prodotto saranno soluzioni dell’equazione data. Abbiamo:

A(x) = 0 \quad \vee \quad B(x) = 0 \quad \vee \quad C(x) = 0 \quad \dots

Ricordiamo che il simbolo “{\vee}” significa “oppure”. Così, l’insieme delle soluzioni dell’equazione data è uguale all’unione degli insiemi delle soluzioni di ciascuna equazione ottenibile uguagliando a zero un fattore presente nel polinomio.

Sottolineiamo che per applicare il metodo è fondamentale prima di tutto ridurre l’equazione alla forma normale. In particolare, il prodotto dei fattori dovrà essere uguagliato esclusivamente a zero.

Consideriamo un semplice esempio:

x^3-x^2-6x=0

L’equazione è già in forma normale. Proviamo a scomporre il polinomio a primo membro, in modo da ricondurlo ad un prodotto di fattori. In tal modo, sarà poi possibile applicare la legge di annullamento del prodotto, determinando le soluzioni dell’equazione. Abbiamo:

x^3-x^2-6x=x(x^2-x-6)

A sua volta, applicando la regola di scomposizione del trinomio caratteristico:

x^2-x-6=(x+2)(x-3)

Così in definitiva per il polinomio al primo membro dell’equazione di partenza possiamo scrivere la scomposizione:

x^3-x^2-6x=x(x+2)(x-3)

Così l’equazione di partenza diviene:

x(x+2)(x-3)=0

Ora è possibile applicare la legge di annullamento del prodotto:

x= 0 \quad \vee \quad x+2=0 \quad \vee \quad x-3=0

Infine risolvendo ciascuna equazione di primo grado otteniamo per l’equazione data le soluzioni:

x=0 \quad \vee \quad x=-2 \quad \vee \quad x=3

In generale potranno essere necessarie altre tecniche per scomporre il polinomio {P(x)} dell’equazione {P(x)=0}, quali la tecnica di raccoglimento a fattore comune totale seguito da un raccoglimento parziale e la tecnica di scomposizione mediante la regola di Ruffini.

Equazioni trinomie

Per equazioni trinomie intendiamo delle particolari equazioni di grado superiore al secondo esprimibili nella forma:

ax^{2n}+bx^n+c=0

In altre parole, un’equazione è trinomia se una volta ridotta alla forma normale presenta al primo membro un trinomio come indicato.

Così, in un’equazione trinomia in forma normale l’esponente del termine in {x} di grado maggiore del trinomio al primo membro dovrà essere il doppio dell’esponente dell’altro termine contenente l’incognita.

Per risolvere equazioni di questo tipo, l’idea è quella di utilizzare una sostituzione. Consideriamo ad esempio l’equazione:

2x^6+3x^3-2=0

L’equazione appare già ridotta alla forma normale. Si tratta in particolare di un’equazione trinomia in quanto l’esponente di un termine in {x} è il doppio dell’esponente dell’altro termine in {x}.

Osserviamo che grazie alle proprietà delle potenze l’equazione può essere riscritta come:

2(x^3 \cdot x^3) +3x^3-2=0

E ponendo la sostituzione {x^3=t}, ovvero sostituendo a ciascun fattore {x^3} la lettera {t}:

2 \cdot t \cdot t +3\cdot t-2=0

ossia:

2t^2+3t-2=0

Ma a questo punto è chiaro: grazie alla sostituzione operata ci siamo ricondotti ad un’equazione di secondo grado, che sappiamo risolvere. In particolare abbiamo:

\begin{align*} & t_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \\ \\ & =\dfrac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{4}= \dfrac{-3 \pm 5}{4}=\begin{cases}\dfrac{1}{2} \\ \\ -2 \end{cases} \end{align*}

Abbiamo così ottenuto per l’equazione nella variabile {t} le soluzioni {t_1 = {\dfrac{1}{2}}} e {t_2 = -2}. Ma sono queste le soluzioni dell’equazione di partenza? Sicuramente, no.

Infatti, l’equazione di partenza è espressa nella variabile {x}, per cui utilizzando le soluzioni appena ottenute nella variabile {t} dobbiamo ricavare quelle nella variabile {x}. E quest’ultime effettivamente sono le soluzioni dell’equazione data.

Ora, poiché abbiamo posto la sostituzione {x^3=t}, per ricavare le soluzioni in {x} dovremo sostituire alla {t} nell’uguaglianza {x^3=t} ciascuna delle soluzioni {t_1} e {t_2} ottenute. In questo modo otterremo due equazioni binomie le cui soluzioni saranno le soluzioni dell’equazione di partenza.

Riscriviamo l’uguaglianza {x^3=t} ponendo {t=t_1=\dfrac{1}{2}}:

x^3=\dfrac{1}{2}

Poiché l’esponente della {x} è dispari l’equazione binomia appena scritta avrà un’unica soluzione ed in particolare:

x_{1} = \sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}

Ora, sostituiamo nell’uguaglianza {x^3=t} la soluzione {t_2 = -2}. Abbiamo:

x^3=-2 \quad \Rightarrow \quad x_2=\sqrt[3]{-2}=-\sqrt[3]{2}

Così in definitiva per l’equazione di partenza abbiamo ottenuto le soluzioni:

x_1 = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}; \qquad x_2 = -\sqrt[3]{2}

Riprendiamo la forma generale di un’equazione trinomia:

ax^{2n}+bx^n+c=0

Nel caso in cui sia {n=2} otteniamo un’equazione del tipo:

ax^4+bx^2+c=0

Tale equazione si dice biquadratica e si risolve ponendo la sostituzione {x^2=t}. Così, dato che grazie alle proprietà delle potenze la precedente equazione si può riscrivere come:

a(x^2 \cdot x^2)+bx^2+c=0

operando la sostituzione {x^2=t} ci ritroviamo con la seguente equazione nella variabile {t}:

at^2+bt+c=0

che rappresenta un’equazione di secondo grado che sappiamo risolvere.

Consideriamo ad esempio l’equazione:

x^4-11x^2+18=0

Riscriviamo l’equazione come:

x^2 \cdot x^2 - 11x^2 + 18 = 0

Operiamo la sostituzione {x^2=t}. Otteniamo la seguente equazione nella variabile {t}:

t^2-11t+18=0

la quale ha come soluzioni:

\begin{align*} & t_{1,2}=\dfrac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2-4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}= \\ \\ & =\dfrac{11 \pm \sqrt{121-72}}{2}=\dfrac{11 \pm 7}{2}=\begin{cases}9 \\ \\ 2 \end{cases} \end{align*}

Come nel precedente esempio, attenzione: non abbiamo ancora finito. Queste sono le soluzioni nella variabile {t}, ma dobbiamo ricavare le soluzioni nella variabile {x}. Poiché avevamo posto la sostituzione {x^2=t}, dobbiamo sostituire nell’uguaglianza {x^2=t} stessa ciascuna soluzione {t_1} e {t_2}. In tal modo otteniamo due equazioni di secondo grado pure che una volta risolte forniscono le soluzioni dell’equazione di partenza.

Così, sostituendo nell’uguaglianza {x^2=t} il valore {t_1=9} otteniamo l’equazione di secondo grado pura:

x^2=9 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \sqrt{9}=3, \quad x_2=-\sqrt{9}=-3

Allo stesso modo utilizzando la soluzione {t_2 = 2 } abbiamo:

x^2=2 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \sqrt{2}, \quad x_2 = -\sqrt{2}

Mettendo insieme tutte le soluzioni ottenute per le equazioni di secondo grado pure otteniamo in conclusione le soluzioni per l’equazione biquadratica di partenza:

x_1=3, \quad x_2=-3, \quad x_3=\sqrt{2}, \quad x_4=-\sqrt{2}

e abbiamo terminato.

Equazioni reciproche (equazioni di grado superiore al secondo)

Terminiamo la classificazione delle equazioni di grado superiore al secondo introducendo le equazioni reciproche.

Importante: questo tipo di equazioni potrebbero anche non fare parte del vostro programma di studi. Consigliamo di regolarvi sulla base delle indicazioni del vostro insegnante.

Le equazioni reciproche sono delle particolari equazioni riducibili. Ma grazie ad opportune regole è possibile individuare facilmente almeno una radice di tali equazioni, in modo da poter scomporre il polinomio a primo membro in maniera più semplice.

Un’equazione ridotta a forma normale si dice reciproca se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali oppure opposti.

Nel caso in cui i coefficienti indicati sono uguali tra loro, l’equazione è reciproca della prima specie. Nel caso in cui invece detti coefficienti sono opposti, l’equazione è reciproca della seconda specie.

Ad esempio l’equazione:

x^3+2x^2+2x+1=0

è reciproca della prima specie. Per giustificare ciò, osserviamo in primo luogo che i coefficienti dei termini estremi sono uguali tra loro (i termini {x^3} e {1} hanno infatti lo stesso coefficiente). Inoltre, anche i termini equidistanti ai termini estremi hanno lo stesso coefficiente (infatti, i monomi {2x^2} e {2x} hanno entrambi coefficiente {2}).

Invece, l’equazione:

3x^3+5x^2-5x-3

è reciproca della seconda specie poiché i coefficienti dei termini estremi e dei termini equidistanti a quelli estremi sono tra loro opposti.

Nella tabella a seguire riportiamo le forme che assumono le equazioni reciproche (in forma normale) di terzo, quarto e quinto grado.

equazioni di grado superiore al secondo

Osserviamo che nelle equazioni aventi al primo membro un numero di termini dispari, il termine centrale che rimane “solo” dovrà soddisfare la condizione sui coefficienti relativamente a sé stesso. Così, mentre nelle equazioni reciproche di quarto grado della prima specie il termine in {x^2} è presente, questo è assente nelle equazioni reciproche di quarto grado della seconda specie. Infatti, per il termine {cx^2} possiamo dire che il suo coefficiente è uguale al coefficiente di sé stesso (infatti l’uguaglianza {c=c} è vera), ma non possiamo dire che il suo coefficiente è uguale all’opposto del coefficiente di sé stesso (infatti l’uguaglianza {c=-c} è falsa per {c \neq 0}). Così per {n=4} in un’equazione reciproca della seconda specie il termine {cx^2} è assente (ovvero ha coefficiente zero).

Si può dimostrare il seguente teorema.

Se un’equazione reciproca ammette una soluzione {r}, allora anche {\dfrac{1}{r}} è soluzione dell’equazione.

Di qui il nome di “equazioni reciproche”: il reciproco di una soluzione è ancora soluzione dell’equazione.

Come conseguenza immediata del teorema, il valore {x=0} non sarà mai soluzione di un’equazione reciproca. Infatti, il reciproco di zero, ovvero {\dfrac{1}{0}}, non esiste.


Mediante una sostituzione diretta possiamo verificare quanto segue.

  • Le equazioni reciproche di prima specie di grado dispari hanno almeno una radice {x=-1};
  • le equazioni reciproche di seconda specie di grado dispari hanno almeno una radice {x=1};
  • infine, le equazioni reciproche di seconda specie di grado pari hanno almeno le due radici {x=-1} e {x=1}.

Grazie a queste considerazioni è possibile risolvere le equazioni dei tipi indicati come equazioni riducibili, ma con il vantaggio di conoscere già una soluzione. E ciò rende più immediata la scomposizione in fattori del polinomio al primo membro.

Rimane però il caso delle equazioni reciproche della prima specie con grado pari. Per questo tipo di equazioni dovremo utilizzare un metodo risolutivo specifico del quale parleremo nella parte finale della lezione.

Vediamo subito degli esempi relativi ai primi tre casi.

L’equazione (già in forma normale):

6x^3+19x^2+19x+6=0

è un’equazione reciproca della prima specie di grado dispari. Infatti, il coefficiente del primo termine è uguale al coefficiente dell’ultimo termine e sono anche uguali tra loro i coefficienti dei termini intermedi.

Di conseguenza, l’equazione ammetterà la soluzione {x=-1}. Ma allora, per quanto sappiamo dal teorema di Ruffini, il polinomio {6x^3+19x^2+19x+6} è divisibile per il binomio {x-(-1)}, ovvero {x+1}. Possiamo allora scomporre il polinomio al primo membro dell’equazione come prodotto del binomio {x+1} e di un opportuno polinomio di secondo grado.

Possiamo determinare il polinomio di secondo grado ad esempio eseguendo la divisione (vedi divisione con la regola di Ruffini):

(6x^3+19x^2+19x+6):(x+1)

la quale ha resto zero e fornisce come quoziente esatto il polinomio:

6x^2+13x+6

Così per il polinomio al primo membro dell’equazione data abbiamo la scomposizione:

6x^3+19x^2+19x+6 = (x+1)(6x^2+13x+6)

Così, ragionando come per le equazioni con polinomio scomponibile (equazioni riducibili), l’equazione di partenza diviene:

(x+1)(6x^2+13x+6)=0

Applicando la legge di annullamento del prodotto:

x+1 = 0 \quad \vee \quad 6x^2+13x+6=0

Otteniamo così dall’equazione di primo grado la soluzione {x=-1} che già conoscevamo. Dall’equazione di secondo grado otteniamo invece:

\begin{align*} & x_{1,2}= \dfrac{-13 \pm \sqrt{13^2-4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6}=\dfrac{-13 \pm \sqrt{169-144}}{12}= \\ \\ & = \dfrac{-13 \pm 5}{12}=\begin{cases}-\dfrac{2}{3} \\ \\ -\dfrac{3}{2} \end{cases} \end{align*}

Abbiamo così in conclusione per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1=-1, \qquad x_2= -\dfrac{2}{3}, \qquad x_3=-\dfrac{3}{2}

Osserviamo che le soluzioni {x_2} e {x_3} sono una il reciproco dell’altra.

Consideriamo ora l’equazione:

5x^3+21x^2-21x-5=0

L’equazione (già in forma normale) è reciproca della seconda specie di grado dispari. Infatti, il coefficiente del primo termine è l’opposto del termine noto e il coefficiente del secondo termine è l’opposto del coefficiente del terzo termine.

Abbiamo quindi almeno una radice pari a {x=1}. Di conseguenza, per il teorema di Ruffini il polinomio a primo membro dell’equazione è divisibile per il binomio {x-1}. Eseguendo la divisione con la regola di Ruffini otteniamo:

(5x^3+21x^2-21x-5):(x-1)=5x^2+26x+5

Così vale la scomposizione:

(5x^3+21x^2-21x-5)=(x-1)(5x^2+26x+5)

Di conseguenza l’equazione di partenza diviene:

(x-1)(5x^2+26x+5)=0

Quindi, oltre alla soluzione {x=1} già nota otteniamo altre due eventuali soluzioni risolvendo l’equazione:

5x^2+26x+5=0

Si ha:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-26 \pm \sqrt{26^2-4 \cdot 5 \cdot 5}}{2 \cdot 5} = \\ \\ & =\dfrac{-26 \pm \sqrt{676-100}}{10}=\dfrac{-26 \pm \sqrt{576}}{10}= \\ \\ & = \dfrac{-26 \pm 24}{10} = \begin{cases} -\dfrac{1}{5} \\ \\ -5\end{cases} \end{align*}

Nota: avremmo qui potuto usare più convenientemente la formula risolutiva ridotta.

Così per l’equazione di partenza otteniamo in conclusione le soluzioni:

x_1= 1, \qquad x_2= -\dfrac{1}{5}, \qquad x_3=-5

Infine, consideriamo l’equazione:

3x^4+2x^3-2x-3=0

Siamo nel caso di un’equazione reciproca di grado pari della seconda specie.

Per quanto sappiamo abbiamo almeno le due soluzioni:

x_1= 1, \qquad x_2= -1

Per il teorema di Ruffini il polinomio al primo membro dell’equazione è divisibile sia per il binomio {x-1}, sia per il binomio {x+1}. Di conseguenza, il polinomio sarà divisibile per:

(x-1)(x+1)=x^2-1

La seguente divisione tra polinomi dovrà allora restituire un quoziente esatto (resto zero):

(3x^4+2x^3-2x-3):(x^2-1) =3x^2+2x+3

Vale dunque la scomposizione:

3x^4+2x^3-2x-3=(x^2-1)(3x^2+2x+3)

L’equazione di partenza può dunque essere riscritta come:

(x^2-1)(3x^2+2x+3)=0

Applicando la legge di annullamento del prodotto:

x^2-1 = 0 \quad \vee \quad 3x^2+2x+3 = 0

La prima equazione ammette le due soluzioni {x_{1,2}=\pm 1} che già conosciamo. Per la seconda equazione, osserviamo che si ha:

\Delta = b^2-4ac= 2^2-4 \cdot 3 \cdot 3 =4-36< 0

Dunque la seconda equazione non ammette soluzioni reali, ed abbiamo per l’equazione di partenza le due soluzioni:

x_{1}=1, \qquad x_2=-1

Equazione reciproche della prima specie di grado pari

Consideriamo ora il caso rimanente delle equazioni reciproche della prima specie di grado pari, limitandoci alle equazioni di quarto grado.

Data l’equazione:

ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0

visto che {x=0} non è mai soluzione di un’equazione reciproca, possiamo dividere tutti i termini dell’equazione per {x^2} ottenendo:

ax^2+bx+c+b\dfrac{1}{x}+a\dfrac{1}{x^2}=0

Osserviamo che ci sono dei termini contenenti la {x} con gli stessi fattori {a} e {b}. Riordinando i termini ed eseguendo dei raccoglimenti parziali per tali fattori otteniamo:

a\left( x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+b\left( x+\dfrac{1}{x}\right)+c=0

Osservando che si ha:

\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}, \quad x \neq 0

possiamo riscrivere l’equazione precedente come:

a \Bigg( \underbrace{x^2+\dfrac{1}{x^2}+2}_{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2}-2 \Bigg)+b\left( x+\dfrac{1}{x}\right)+c=0

e quindi:

a \left[ \left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\right]+b\left( x+\dfrac{1}{x}\right)+c=0

A questo punto ponendo la sostituzione {x+\dfrac{1}{x}=t} ci ritroviamo con un’equazione di secondo grado in {t}:

a(t^2-2)+bt+c=0

che ridotta in forma normale diviene:

at^2+bt-2a+c=0

Calcolate le eventuali radici reali {t_1} e {t_2} dell’equazione in {t}, poiché abbiamo posto la sostituzione {x+\dfrac{1}{x}=t}, le soluzioni dell’equazione di partenza si otterranno risolvendo le equazioni:

x+\dfrac{1}{x}=t_1; \qquad x+\dfrac{1}{x}=t_2

Vediamo subito un esempio. Risolvere l’equazione:

2x^4-x^3-6x^2-x+2=0

Abbiamo un’equazione reciproca di quarto grado di prima specie, con {a=2, \: b= -1, \: c= -6}. Vediamo allora se ammette soluzioni l’equazione, ricavata in precedenza per il caso generale:

at^2+bt-2a+c=0

che nel nostro caso diviene:

2t^2-t-2\cdot2-6=0 \quad \Rightarrow \quad 2t^2-t-10=0

Otteniamo le soluzioni in {t}:

\begin{align*} & t_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2}=  \\ \\ & =\dfrac{1 \pm \sqrt{1+80}}{4}= \dfrac{1 \pm 9}{4} = \begin{cases}  \dfrac{5}{2} \\ \\ -2\end{cases} \end{align*}

Si tratterà a questo punto di risolvere le due equazioni:

x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{2}; \qquad x+\dfrac{1}{x}=-2

Cominciamo dalla prima:

\begin{align*} &x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{5}{2}=0 \\ \\ &\dfrac{2x^2+2-5x}{2x}= 0  \\ \\ &2x^2-5x+2=0, \qquad x \neq 0 \\ \\ &x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}= \dfrac{5 \pm 3}{4}=\begin{cases}2 \\ \\ \dfrac{1}{2} \end{cases}\end{align*}

Osserviamo che abbiamo risolto un’equazione fratta di secondo grado (simile come metodo risolutivo alle equazioni fratte di primo grado). In particolare, ci siamo ricondotti ad un’equazione intera per poi eliminare il denominatore escludendo il valore dell’incognita che lo annulla. Entrambe le soluzioni ottenute essendo diverse da tale valore sono accettabili.

Veniamo alla seconda equazione:

\begin{align*} &x+\dfrac{1}{x}+2=0 \\ \\ &\dfrac{x^2+1+2x}{x}=0 \\ \\ &x^2+2x+1= 0 , \qquad x \neq 0 \\ \\& x_{1,2}=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot 1 }}{2 \cdot 1}=-1\end{align*}

L’equazione restituisce le due soluzioni uguali e coincidenti {x_1=-1} e {x_2= -1}.

Unendo gli insiemi delle soluzioni sin qui ottenuti, abbiamo in conclusione per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1=2, \qquad x_2= \dfrac{1}{2}, \qquad x_3=-1, \qquad x_4= -1

Conclusioni sulle equazioni di grado superiore al secondo

Per quanto riguarda questa introduzione alle equazioni di grado superiore al secondo è tutto. Con le nozioni qui fornite dovreste già essere in grado di risolvere la maggior parte se non tutte le equazioni di grado superiore al secondo di tipo scolastico. Nelle successive lezioni approfondiremo comunque tutti gli argomenti trattati fornendo ulteriori esempi. Tralasceremo soltanto ulteriori approfondimenti relativi alle equazioni reciproche, poiché le abbiamo già trattate in modo sufficientemente dettagliato nella presente lezione.

Osserviamo in conclusione che le equazioni reciproche sono soltanto un caso particolare di equazioni riducibili (equazioni con polinomio scomponibile). Di conseguenza, non è strettamente necessario conoscere le regole inerenti alle equazioni reciproche. Infatti, possiamo trattare un’equazione reciproca semplicemente come un’equazione riducibile. Tuttavia, le regole sulle equazioni reciproche sono utili per poter risolvere in modo più immediato alcune equazioni riducibili. Regole utili ma, comunque, facoltative.

Buon proseguimento!


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Equazioni (superiori)