Equazioni di secondo grado e scomposizione dei polinomi

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Vogliamo ora comprendere il legame tra le equazioni di secondo grado e la scomposizione dei polinomi di secondo grado del tipo {ax^2+bx+c}. Inoltre, ci proponiamo anche di capire come risolvere un’equazione di secondo grado utilizzando ove possibile la scomposizione in fattori dei polinomi.

Abbiamo allora un duplice obiettivo. Da un lato, desideriamo se possibile scomporre un trinomio di secondo grado del tipo {ax^2+bx+c } utilizzando le soluzioni dell’equazione di secondo grado {ax^2+bx+c=0}. Viceversa, data l’equazione {ax^2+bx+c=0} desideriamo provare a risolverla utilizzando la scomposizione in fattori del polinomio {ax^2+bx+c}. Come vedremo, una volta scomposto il polinomio in fattori il trucco sta nell’utilizzare la legge di annullamento del prodotto.

Senza ulteriori indugi vediamo subito il legame tra equazioni di secondo grado e scomposizione dei polinomi.

Scomposizione dei polinomi mediante le soluzioni delle equazioni di secondo grado

Supponiamo di voler scomporre un trinomio del tipo:

ax^2+bx+c, \qquad a,\: b, \: c \in \mathbb{R}

Abbiamo già visto a suo tempo due possibili metodi. In particolare, se è possibile riconoscere nel trinomio dato il quadrato di un binomio possiamo scrivere:

ax^2+bx+c=(Ax+B)^2

ove {A} e {B} sono opportuni numeri reali.

Se invece riusciamo a scomporre il trinomio con la regola del trinomio caratteristico possiamo in generale scrivere:

ax^2+bx+c=(Ax+B)(Cx+D)

ove {A, \: B, \: C, \: D} sono opportuni numeri reali.

Vogliamo ora presentare una tecnica di scomposizione che permette eventualmente di scomporre in fattori un trinomio del tipo {ax^2+bx+c} utilizzando le soluzioni dell’equazione di secondo grado associata:

ax^2+bx+c=0

In pratica si tratta di un’equazione di secondo grado ove compare al primo membro esattamente il trinomio da scomporre in fattori.

Come sappiamo, un’equazione di secondo grado ammette soluzioni soltanto se il discriminante {\Delta=b^2-4ac} è non negativo. Di conseguenza, sarà possibile scomporre il trinomio soltanto se {\Delta \geq 0}.

In particolare, vale il seguente teorema:

Teorema. Dato il trinomio {ax^2+bx+c} e considerata l’equazione di secondo grado associata {ax^2+bx+c=0}, è possibile scomporre in fattori il trinomio se e solo se {\Delta=b^2-4ac \geq 0}. In tal caso, indicate con {x_1} e {x_2} le soluzioni dell’equazione, si ha la scomposizione: {ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}Nel caso in cui sia {\Delta = 0} le due soluzioni {x_1} e {x_2} sono coincidenti (stesso valore) e la scomposizione diviene: {ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1) = a (x-x_1)^2}Infine, se {\Delta < 0} il trinomio non può essere scomposto in fattori. Infatti, non esistono soluzioni per l’equazione associata (nei reali).

Dimostrazione

Riesprimiamo il trinomio {ax^2+bx+c} come somma algebrica di un quadrato e di un valore numerico. Come visto nella dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, procediamo come segue:

\begin{align*} &ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)=\end{align*}

Utilizzando la tecnica di completamento del quadrato relativamente al polinomio entro le parentesi tonde abbiamo:

\begin{align*} & =a\left( x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right)= \\ \\ & =a\left[ \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\left( \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right] = \\ \\ & =a \left[ \left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2\right] = \\ \\ & = a \left[ \left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right] \end{align*}

e a questo punto riconoscendo una differenza tra quadrati (prodotto somma per differenza) possiamo scrivere:

\begin{align*} &= a \left[\left( x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left( x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \right]=\end{align*}

Infine, poiché per la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado abbiamo {x_1 =\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} } e {x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}, possiamo riconoscere nelle quantità {\dfrac{b}{2a}+ \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}} e {\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}} gli opposti delle soluzioni {x_1} e {x_2}. Ciò chiaramente nel caso in cui sia {\Delta \geq 0} (che è la condizione di esistenza per le soluzioni {x_1} e {x_2}).

Di conseguenza proseguendo i passaggi:

\begin{align*} &= a \left[\left( x+\underbrace{\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}}_{-x_2}\right)\left( x+\underbrace{\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}}_{-x_1}\right) \right]=\\ \\ & =a(x-x_2)(x-x_1)\end{align*}

E quindi possiamo scrivere in conclusione:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), \quad \Delta \geq 0

che è ciò che dovevamo dimostrare. Osserviamo infine che per {\Delta < 0} la scomposizione non è valida poiché le soluzioni {x_1 } e {x_2} non esistono nei reali. E quindi non esistono nemmeno le quantità {-x_1, \: -x_2} ad esse opposte.


Grazie alle considerazioni sin qui fatte disponiamo di un metodo alternativo per la scomposizione dei trinomi caratteristici. Vediamo subito degli esempi.

Esempio 1

Scomporre il seguente trinomio:

x^2-8x-33

Calcoliamo le eventuali radici dell’equazione di secondo grado associata:

x^2-8x-33=0

Vediamo quanto vale il discriminante:

\Delta = b^2-4ac=(-8)^2-4 \cdot 1 \cdot (-33) =64+132 =196>0

Il discriminante è non negativo e di conseguenza esistono le soluzioni reali {x_1} e {x_2}. Possiamo allora applicare la scomposizione:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Calcoliamo le soluzioni dell’equazione {x^2-8x-33=0}:

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1 }= \dfrac{8 \pm 14}{2}= \begin{cases}11 \\ \\ -3 \end{cases}

Possiamo quindi scrivere la scomposizione:

\begin{align*} & x^2-8x-33=a(x-x_1)(x-x_2)=\\ \\ & = 1 \cdot (x-11) \cdot [x-(-3)] =(x-11)(x+3)  \end{align*}

Importante. Come evidenziato nei passaggi è fondamentale stare attenti ai segni delle soluzioni.

Esempio 2

Scomporre:

3x^2-3x-18

Calcoliamo il {\Delta } dell’equazione associata {3x^2-3x-18=0}:

\Delta =  \left( -3\right)^2- 4 \cdot 3 \cdot (-18)=9+216=225 > 0

Possiamo quindi calcolare le soluzioni dell’equazione associata:

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 3}=\dfrac{3\pm 15}{6}=\begin{cases}3 \\ \\ -2 \end{cases}

Per cui abbiamo la scomposizione:

\begin{align*} & 3x^2-3x-18=a(x-x_1)(x-x_2)=\\ \\ & =3(x-3)[x-(-2)]=3(x-3)(x+2)\end{align*}

Risolvere le equazioni di secondo grado con la scomposizione dei polinomi

Vogliamo ora considerare il problema inverso del precedente. In particolare, desideriamo ricavare le soluzioni dell’equazione:

ax^2+bx+c=0

utilizzando le tecniche di scomposizione dei polinomi.

Ad esempio, nel caso in cui sia {a=1} grazie alla tecnica del trinomio caratteristico possiamo avere la scomposizione:

x^2+bx+c=(x+m)(x+n)

Ciò ovviamente nel caso in cui i due numeri {m} e {n} esistano. In tale circostanza è possibile riscrivere l’equazione di partenza come:

(x+m)(x+n)=0

In pratica abbiamo sostituito il polinomio {x^2+bx+c} con la sua scomposizione.

Applicando la legge di annullamento del prodotto abbiamo:

x+m = 0 \quad \vee \quad x+n = 0

e quindi:

x_1= -m; \quad x_2 = -n

e queste sono le soluzioni dell’equazione di secondo grado di partenza.

La tecnica è anche applicabile nel caso in cui abbiamo un trinomio caratteristico con coefficiente {a \neq 1} oppure nel caso di un quadrato di un binomio.

Precisiamo infine che tecniche di questo tipo sono di semplice applicazione soltanto nel caso in cui si ricerchino le sole soluzioni intere o al più frazionarie delle equazioni di secondo grado. In generale è dunque sempre bene utilizzare la formula risolutiva, grazie alla quale è possibile calcolare agevolmente radici contenenti anche termini irrazionali.

Vediamo subito degli esempi.

Esempio 1

Calcolare le soluzioni dell’equazione:

x^2+11x-42 = 0

Si tratta anzitutto di scomporre il trinomio caratteristico:

x^2+11x-42

Ricerchiamo due numeri aventi somma {11} e prodotto {-42}. Abbiamo:

14+(-3)=11; \qquad 14 \cdot (-3) = -42

Così i due numeri cercati sono {m=14} e {n= -3} e possiamo scrivere la scomposizione:

x^2+11x-42=(x+14)(x-3)

Così l’equazione di partenza diviene:

(x+14)(x-3)=0

Applicando la legge di annullamento del prodotto:

x+14 = 0 \quad \vee \quad x-3 = 0

otteniamo così le soluzioni:

x_1 = -14; \qquad x_2 = 3

e queste sono le soluzioni dell’equazione di secondo grado di partenza. Infatti utilizzando la formula risolutiva ritroviamo:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-11 \pm \sqrt{11^2-4 \cdot 1 \cdot (-42)}}{2 \cdot 1} = \\ \\ & =\dfrac{-11 \pm \sqrt{121+168}}2{}=\dfrac{-11 \pm 17}{2}=\begin{cases} 3 \\ \\ -14\end{cases}\end{align*}

In questo caso il metodo basato sulla scomposizione del trinomio {ax^2+bx+c} consente di ricavare le soluzioni dell’equazione {ax^2+bx+c=0} in maniera più comoda rispetto alla formula risolutiva. Tuttavia, in molti casi la formula risolutiva risulta l’unica strada percorribile, come mostra il seguente esempio.

Esercizio 2

Determinare le soluzioni della seguente equazione:

-x(x+2)-3x=1+x

Riconduciamo anzitutto l’equazione alla forma normale:

\begin{align*} & -x^2-2x-3x-1-x=0 \\ \\ &-x^2-6x-1=0 \\ \\ &x^2+6x+1 = 0 \end{align*}

A questo punto dobbiamo ricercare due numeri aventi per somma {6} e per prodotto {1}. Tuttavia, non è possibile determinare due numeri interi o frazionari che rispettino tale condizione. Quindi, non riusciamo a scomporre il polinomio con la regola del trinomio caratteristico.

Tuttavia, calcolando il determinante otteniamo:

\Delta = b^2-4ac=6^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 36-4=32> 0

dunque l’equazione deve per forza ammettere due soluzioni reali e distinte.

L’esempio mostra come in alcuni casi non sia per niente agevole scomporre un polinomio con il metodo del trinomio caratteristico, in quanto a volte bisogna trovare due numeri {m} e {n} irrazionali (radicali) o comunque esprimibili in forma esatta con termini anche irrazionali.

Applicando infatti la formula risolutiva nel nostro caso (equazione in forma normale {x^2+6x+1 = 0}) abbiamo:

x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{32}}{2}=\dfrac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2}=\begin{cases}-3+2\sqrt{2} \\ \\ -3-2\sqrt{2} \end{cases}

Le due soluzioni trovate contengono effettivamente dei termini irrazionali. Ed è questo il motivo per cui non riuscivamo a scomporre il trinomio caratteristico ricercando due numeri {m} e {n} interi o al più razionali (frazioni).

Se dunque pur avendo determinante non negativo non riusciamo a risolvere un’equazione di secondo grado con il metodo della scomposizione in fattori, molto probabilmente siamo in presenza di un’equazione con soluzioni irrazionali o comunque con soluzioni a termini irrazionali. E in tal caso occorrerà utilizzare la formula risolutiva.

Osservazione. I due numeri {m} e {n} aventi somma {6} e prodotto {1} sono gli opposti delle soluzioni {x_1} e {x_2}: {\begin{align*} &m=3-2\sqrt{2} \\ \\ & n = 3+2\sqrt{2} \end{align*}}Infatti: {\begin{align*} & m \cdot n = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1;\\ \\ & m+n=3-\cancel{2\sqrt{2}}+3+\cancel{2\sqrt{2}}=6 \end{align*}}Effettivamente la ricerca di tali numeri {m} e {n} non è certo agevole! Di qui l’importanza della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

Conclusioni

Per quanto riguarda il legame tra equazioni di secondo grado e scomposizione in fattori dei polinomi è tutto. Nella prossima lezione vedremo come le equazioni di secondo grado consentano di risolvere il problema della ricerca di due numeri aventi certi somma e prodotto. Nelle lezioni ancora successive, dopo aver introdotto la regola di Cartesio, ci occuperemo di problemi risolvibili con le equazioni di secondo grado di tipo generale.

Buono studio a tutti voi!


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