Equazioni di secondo grado nei complessi

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Vediamo ora come risolvere le equazioni di secondo grado nell’insieme dei numeri complessi. In particolare vedremo come risolvere le equazioni di secondo grado non considerando soltanto le eventuali soluzioni reali come fatto sinora, ma ricercando anche le soluzioni complesse non reali.

La chiave per ricercare le soluzioni complesse anche non reali di un’equazione di secondo grado è data dall’operazione di estrazione della radice quadrata di un numero negativo, che diversamente dal caso dei reali per i numeri complessi è possibile. In particolare ricordiamo, detta {i=\sqrt{-1}} l’unità immaginaria, che per la radice quadrata di un numero negativo abbiamo ad esempio:

\sqrt{-25}=\sqrt{25 \cdot (-1)}=\sqrt{25} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{25} \cdot i = 5i

Così nell’insieme dei numeri complessi otteniamo per la radice quadrata del numero {-25} il risultato {5i}.

Comprendiamo quindi che se nel risolvere un’equazione di secondo grado ci imbattiamo in un determinante negativo, possiamo ricavare comunque delle soluzioni complesse per l’equazione. Quindi lavorando con i numeri complessi un’equazione di secondo grado è sempre determinata.

Ma vediamo subito nel dettaglio come risolvere le equazioni di secondo grado nell’insieme dei numeri complessi.

Risolvere le equazioni di secondo grado nell’insieme dei numeri complessi

Ricordiamo che un’equazione di secondo grado in forma normale è del tipo:

ax^2+bx+c=0

Le eventuali soluzioni reali si ottengono utilizzando la formula risolutiva:

x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

La formula consente di ricavare anche le soluzioni complesse. Infatti, nel caso in cui sia {b^2-4ac < 0 } abbiamo:

\begin{align*} & \sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{(-b^2-4ac)(-1)}=\sqrt{-b^2-4ac} \cdot  \sqrt{-1}= \\ \\ & =\sqrt{-b^2-4ac}  \cdot i\end{align*}

Di conseguenza in caso di discriminante negativo otterremo le soluzioni complesse:

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{-b^2-4ac} \cdot i}{2a}

Così, lavorando nell’insieme dei numeri complessi per le equazioni di secondo grado avremo:

  • due soluzioni reali e distinte, nel caso in cui sia {b^2-4ac=\Delta>0};
  • due soluzioni reali e coincidenti, qualora sia {b^2-4ac=\Delta = 0};
  • infine, due soluzioni complesse non reali, nel caso in cui sia {b^2-4ac=\Delta < 0}.

Osserviamo che per le conseguenze del teorema fondamentale dell’algebra non esistono altri casi. Non potremo mai avere in particolare una soluzione complessa non reale e una soluzione reale. Infatti, se un’equazione algebrica ammette radici complesse non reali, queste dovranno essere necessariamente in numero pari.

Infine, lavorando con i complessi un’equazione di secondo grado non potrà mai risultare impossibile. Infatti, un’equazione algebrica di grado {n} ammette sempre {n} radici complesse (anche non reali).

Quanto detto discende dalle considerazioni sugli zeri dei polinomi relative alle conseguenze del teorema fondamentale dell’algebra. Infatti, ogni equazione algebrica in forma normale è del tipo “polinomio uguale a zero”. Per cui gli zeri del polinomio saranno anche soluzioni dell’equazione algebrica data.

Esempio 1

Risolvere nell’insieme dei numeri complessi l’equazione:

9x^2+2x+5=0

Abbiamo, applicando la formula risolutiva:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 9 \cdot 5}}{2 \cdot 9}= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4-180}}{18}= \\ \\ & =\dfrac{-2 \pm \sqrt{-176}}{18}=\dfrac{-2 \pm 4\sqrt{-11}}{18}=\dfrac{-1 \pm 2\sqrt{-11}}{9}= \\ \\ & =\begin{cases} \dfrac{-1 + 2\sqrt{11}i}{9} \\ \\ \dfrac{-1- 2 \sqrt{11}i}{9}\end{cases} \end{align*}

Lavorando quindi nell’insieme dei numeri complessi abbiamo ottenuto due soluzioni complesse non reali. Risolvendo invece l’equazione nell’insieme dei numeri reali non avremmo ottenuto alcuna soluzione (equazione impossibile).

Esempio 2

Risolvere nell’insieme dei numeri complessi l’equazione:

x^2+5x+4=0

Abbiamo:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot  4}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-5 \pm \sqrt{25-16}}{2}=\\ \\ & =\dfrac{-5 \pm 3}{2} =\begin{cases} -1 \\ \\ -4\end{cases}\end{align*}

Osserviamo che poiché il discriminante è non negativo abbiamo ottenuto due soluzioni reali. In questo caso nulla è cambiato rispetto al risolvere l’equazione nell’insieme dei numeri reali.

Conclusioni

Per quanto riguarda come risolvere le equazioni di secondo grado nell’insieme dei numeri complessi è tutto. Buon proseguimento!


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