Equazioni di secondo grado parametriche

Home

Ci proponiamo in questa lezione di capire come risolvere le equazioni di secondo grado parametriche, ovvero particolari equazioni di secondo grado nelle quali, oltre all’incognita, figurano una o più lettere dette parametri. Queste equazioni si indicano anche con il nome di equazioni di secondo grado letterali.

Il punto di partenza per risolvere le equazioni di secondo grado parametriche è dato dalla discussione delle equazioni di secondo grado. In particolare, come visto in una precedente lezione il fatto che esistano soluzioni o meno dipende dal valore del discriminante, ovvero dal fatto che la quantità {\Delta = b^2-4ac} sia maggiore di zero, uguale a zero o minore di zero.

Come vedremo, nelle equazioni di secondo grado parametriche (o letterali) il discriminante non è più un numero, ma piuttosto una quantità dipendente dal parametro (o dai parametri). Di conseguenza, l’esistenza di soluzioni o meno per l’equazione data dipenderà proprio dai valori assunti dai parametri. Infatti, soltanto stabilito un certo valore per ciascuno dei parametri sarà possibile attribuire un valore numerico al discriminante dell’equazione e quindi stabilire se esistono o meno soluzioni reali.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito come risolvere le equazioni di secondo grado parametriche. Ci riferiremo in questa lezione al solo caso di equazioni intere, ovvero equazioni nelle quali l’incognita {x} non compare al denominatore. Precisiamo invece che in equazioni di questo tipo potremo comunque ritrovarci dei parametri anche al denominatore. E infine, ci limiteremo soltanto al caso di un solo parametro.

Come risolvere le equazioni di secondo grado parametriche (intere)

Finora ci siamo limitati a risolvere equazioni di secondo grado (intere) del tipo:

ax^2+bx+c=0

ove i coefficienti {a, \: b, \: c} sono dei numeri reali ben determinati. Vogliamo ora considerare invece il caso nel quale almeno uno di tali coefficienti non sia più un numero ma piuttosto dipenda da uno o più parametri. Considereremo quindi equazioni quali ad esempio:

8x^2+2kx-3k^2=0

Come è evidente, l’equazione è parametrica in quanto i coefficienti {b} e {c} non sono più numeri ma bensì delle funzioni del parametro {k}. Infatti abbiamo {b=2k} e {c=-3k^2}, e per conoscere i valori numerici dei coefficienti {b} e {c} dobbiamo fissare un valore del parametro {k}. Di conseguenza anche {\Delta = b^2-4ac } dipenderà in generale da {k}.

Risolvere le equazioni parametriche di secondo grado significa allora determinare le loro soluzioni in base al valore del parametro k.

Ad esempio, nell’equazione {8x^2+2kx-3k^2=0} il discriminante è:

\begin{align*} & \Delta = b^2-4ac=(2k)^2-4 \cdot 8 \cdot (-3k^2) =4k^2+96k^2=100k^2 \end{align*}

Osserviamo che si ha:

100k^2=(10k)^2

Quindi l’espressione corrispondente al discriminante è un quadrato e di conseguenza il discriminante sarà sempre positivo o al più nullo. Possiamo quindi già affermare che non esiste sicuramente alcun valore del parametro {k} per cui l’equazione è impossibile. In altre parole l’equazione ammetterà due soluzioni per ogni valore reale di {k}.

Inoltre, il discriminante è nullo se:

100k^2 = 0 \iff k=0

di conseguenza per {k=0} ci aspettiamo di ottenere per l’equazione data due soluzioni reali e coincidenti (due soluzioni aventi lo stesso valore).

Applichiamo a questo punto la formula risolutiva generale in modo da ricavare le soluzioni:

\begin{align*} & x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2k \pm \sqrt{(2k)^2-4 \cdot 8 \cdot (-3k^2)}}{2 \cdot 8} =  \\ \\ & =\dfrac{-2k \pm \sqrt{4k^2+96k^2}}{16}=\dfrac{-2k\pm \sqrt{100k^2}}{16}=\dfrac{-2k\pm 10|k|}{16}\end{align*}

Osserviamo che dato che davanti al termine {10|k|} abbiamo alternativamente il segno più e il segno meno, possiamo eliminare il simbolo di valore assoluto. Così abbiamo:

x_{1,2} = \dfrac{-2k \pm 10 k}{16}=\begin{cases}\dfrac{-2k+10k}{16}=\dfrac{8}{16}k=\dfrac{1}{2}k \\ \\ \dfrac{-2k-10k}{16}=-\dfrac{12k}{16}=-\dfrac{3}{4}k\end{cases}

E queste sono le soluzioni dell’equazione di partenza, per {k \in \mathbb{R}}. Ciò significa che le soluzioni che abbiamo appena determinato sono valide per ogni valore reale del parametro {k}.

In altre parole, se fissiamo un dato valore del parametro {k} otteniamo per l’equazione di partenza delle soluzioni numeriche che si ottengono sostituendo il valore di {k} fissato alle soluzioni parametriche che abbiamo appena scritto.

Per meglio comprendere facciamo un piccolo esperimento. Fissiamo ad esempio {k=2}. Sostituiamo tale valore di {k} nell’espressione dell’equazione parametrica di partenza:

8x^2+2kx-3k^2=0 \: \text{con} \:  k = 2 \quad \Rightarrow \quad 8x^2+4x-12=0

ovvero, semplificando i coefficienti grazie al secondo principio di equivalenza:

2x^2+x-3=0

Abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado numerica (cioè priva di parametro). Risolviamola:

\begin{align*} & x_{1,2, k=2}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{4}=\\ \\ & =\dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{4}= \begin{cases} \dfrac{-1+5}{4}=1 \\ \\ \dfrac{-1-5}{4}=-\dfrac{3}{2}\end{cases} \end{align*}

Ora, vediamo se sostituendo il valore {k=2} alle soluzioni parametriche precedentemente ottenute ritroviamo le soluzioni numeriche appena scritte:

\begin{align*} & x_1 = \dfrac{1}{2}k \: \text{con} \: k=2 \quad \Rightarrow \quad x_{1,k=2}=\dfrac{1}{2} \cdot 2=1 \\ \\& x_{2} = -\dfrac{3}{4}k \: \text{con} \: k = 2 \quad \Rightarrow \quad x_{2, k=2} = -\dfrac{3}{4} \cdot 2=-\dfrac{3}{2}\end{align*}

Possiamo quindi dire che fissando un certo valore per il parametro {k} otteniamo dall’equazione parametrica di partenza una corrispondente equazione numerica. E le soluzioni (numeriche) di tale equazione numerica si ottengono a partire dalle soluzioni parametriche sostituendo il fissato valore del parametro alle soluzioni parametriche stesse.

Come nota finale, osserviamo che per {k=0} le soluzioni parametriche date si riducono a {x_1=0} e {x_2 = 0}. Esattamente come ci aspettavamo: per {k=0} il discriminante si annulla ed infatti otteniamo due soluzioni reali e coincidenti.


Per quanto riguarda la teoria sulle equazioni di secondo grado parametriche è tutto. Per allenarsi con gli esercizi è disponibile la scheda correlata. Buon proseguimento!


«    Lezione precedente Esercizi correlatiLezione successiva   »
Ulteriori esercizi

Equazioni (superiori)