Equazioni trinomie e biquadratiche

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Equazioni (superiori)

Proseguiamo lo studio delle equazioni di grado superiore al secondo con le equazioni trinomie e biquadratiche. Le equazioni trinomie delle quali ci occuperemo sono equazioni di grado superiore al secondo che non possono essere risolte mediante la tecnica delle equazioni con polinomio scomponibile, ma rispettano tuttavia determinate condizioni sul grado dei termini in esse presenti.

Le equazioni trinomie si distinguono per il fatto che il grado di un termine contenente l’incognita è il doppio del grado dell’altro termine contenente l’incognita. E il rimanente termine è sempre un termine di grado zero, ovvero il termine noto (un numero). Infine, le equazioni biquadratiche sono un caso particolare di equazioni trinomie, nelle quali i termini che contengono l’incognita sono rispettivamente di quarto e secondo grado.

Le equazioni trinomie si risolvono utilizzando una opportuna sostituzione, in modo da ricondursi a delle equazioni binomie (o equazioni di secondo grado pure nel caso delle equazioni biquadratiche), le cui eventuali soluzioni saranno anche soluzioni dell’equazione trinomia di partenza.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito come si risolvono le equazioni trinomie (e biquadratiche), anche fornendo degli esempi.

Equazioni trinomie: forma normale

Le equazioni trinomie hanno la seguente forma normale:

ax^{2n}+bx^{n}+c=0

Il polinomio al primo membro è a coefficienti reali non nulli. Così dovranno essere presenti tutti e tre i termini indicati. Inoltre, la quantità {n} è un numero naturale diverso da zero.

Nel caso in cui sia {n=1} ricadiamo nelle equazioni di secondo grado, delle quali già ci siamo occupati. Sono dunque di nostro interesse i casi ove sia {n \geq 2} (equazioni trinomie di grado superiore al secondo).

Se {n=2} le equazioni trinomie assumono la particolare forma:

ax^{4}+bx^2+c=0

e si dicono equazioni biquadratiche.

Per risolvere le equazioni trinomie (e quindi anche biquadratiche) occorre effettuare un’opportuna sostituzione, in modo da ricondurci al caso delle equazioni di secondo grado, che già sappiamo risolvere.

In particolare, data l’equazione in forma generale:

ax^{2n}+bx^{n}+c=0

basterà porre {x^n=t}, ovvero scrivere al posto di ciascuna quantità {x^n} la lettera {t}. Osserviamo anzitutto che per le proprietà della potenza di una potenza si ha:

ax^{2n}=ax^{2 \cdot n}=ax^{n \cdot 2} = a \left( x^n\right)^2

Così l’equazione può essere riscritta come:

a \left( x^n\right)^2+bx^n+c=0

e sostituendo alle quantità {x^n} la lettera {t}:

at^2+bt+c=0

In questo modo ci siamo ricondotti ad una equazione di secondo grado nella variabile t. Risolvendo l’equazione potremo eventualmente ottenere le soluzioni {t_1} e {t_2}. E dato che abbiamo posto la sostituzione {x^n=t}, utilizzando ciascuna soluzione {t_1} e {t_2} possiamo scrivere le equazioni binomie:

x^n=t_1; \qquad x^n=t_2

Si tratterà quindi di risolvere tali equazioni binomie. E le eventuali soluzioni delle equazioni binomie appena scritte saranno anche soluzioni dell’equazione trinomia di partenza.

Discussione delle soluzioni di un’equazione trinomia

Il fatto che esistano o meno soluzioni per un’equazione trinomia e in quale numero dipende:

• dal discriminante dell’equazione nella variabile {t} (equazione risolvente). Infatti, se il discriminante è negativo l’equazione in {t} non ammette soluzioni e di conseguenza non avremo soluzioni nemmeno per l’equazione trinomia di partenza;
• se {n} è pari, dal segno delle soluzioni {t_1} e {t_2} dell’equazione risolvente. Infatti, se ad esempio {t_1} è negativo, l’equazione binomia {x^n=t_1} con {n} pari non ammette alcuna soluzione reale. Infatti, come sappiamo una potenza pari non potrà mai avere un risultato negativo.

Così, se il discriminante dell’equazione in {t} è negativo, possiamo subito dire che l’equazione trinomia di partenza non ammette nessuna soluzione reale.

Se invece il discriminante dell’equazione in {t} è positivo o nullo, possiamo avere due casi:

• se {n} è dispari, avremo due soluzioni per l’equazione trinomia di partenza. Infatti, le equazioni trinomie {x^n=t_1} e {x^n=t_2} con {n} dispari ammettono ciascuna una soluzione;
• se {n} è invece pari, ciascuna equazione binomia ammetterà due soluzioni soltanto se il termine noto è positivo. Quindi a ciascuna soluzione {t_1}, {t_2} dell’equazione risolvente corrisponderanno due soluzioni dell’equazione di partenza soltanto se {t_1} o {t_2} è una quantità positiva.

Se quindi il discriminante dell’equazione in {t} è positivo o nullo ed inoltre {n} è pari, è possibile prevedere il numero delle soluzioni dell’equazione di partenza determinando il segno delle soluzioni dell’equazione in {t} (che è un’equazione di secondo grado) mediante la regola di Cartesio.

Le considerazioni sin qui fatte sulla discussione delle soluzioni di un’equazione trinomia possono apparire complicate, ma non preoccupatevi. Infatti, tutti questi discorsi vengono fuori strada facendo risolvendo l’equazione data. L’importante è ovviamente ricordare come risolvere le equazioni di secondo grado, avendo ben presente il significato del discriminante o determinante e inoltre ricordando come risolvere le equazioni binomie, anche relativamente al caso particolare delle equazioni di secondo grado pure (equazioni del tipo {x^2+c=0}). Quest’ultimo caso è relativo alle equazioni biquadratiche, come vedremo fra un istante.

Esercizi di esempio sulle equazioni trinomie

Esempio 1

Risolvere la seguente equazione trinomia:

x^6-9x^3+8 = 0 

L’equazione data è trinomia poiché è della forma {ax^{2n}+bx^n+c=0} con {n=3}. Infatti l’esponente di un termine in {x} è il doppio dell’esponente presente nell’altro termine in {x} (l’esponente nel termine {x^6} è il doppio dell’esponente nel termine {-9x^3}).

Anzitutto, sfruttando la regola della potenza di una potenza relativamente al primo termine riscriviamo l’equazione come:

(x^3)^2-9x^3+8=0

Poniamo quindi la sostituzione:

x^3=t

In questo modo otteniamo l’equazione risolvente nella variabile {t}:

t^2-9t+8=0

Si tratta di un’equazione di secondo grado nella variabile {t}, con {a=1, \: b= -9, \: c= 8}. Calcoliamo il discriminante:

\Delta=b^2-4ac=(-9)^2-4 \cdot 1 \cdot 8= 81-32=49 > 0

Il discriminante è positivo ed inoltre la quantità {n} relativa all’equazione di partenza è dispari. Di conseguenza ci aspettiamo due soluzioni per l’equazione assegnata. Ma vediamo se troviamo conferma alle nostre previsioni.

Risolviamo l’equazione nella variabile {t}:

t_{1,2}  = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2  \cdot 1}=\dfrac{9 \pm 7}{2}=\begin{cases}8 \\ \\ 1 \end{cases}

Avendo posto {x^3=t} possiamo scrivere per ciascuna soluzione {t_1} e {t_2} un’equazione binomia. Così abbiamo le due equazioni:

x^3=8, \qquad x^3=1

Si tratta di due equazioni binomie di grado dispari, le quali ammettono ciascuna un’unica soluzione. Così abbiamo rispettivamente:

x_1=\sqrt[3]{8}=2, \qquad x_2=\sqrt[3]{1}=1

Così le due soluzioni {x_1=2} e {x_2= 1} sono le soluzioni dell’equazione trinomia di partenza.

Esempio 2

Risolvere l’equazione trinomia:

25x^4-626x^2+25=0

Osserviamo che l’equazione è sì trinomia ma del particolare tipo di equazione biquadratica. Infatti, abbiamo un termine di quarto grado ed un termine di secondo grado rispetto all’incognita.

Poniamo quindi la sostituzione:

x^2=t

Otteniamo l’equazione risolvente:

25t^2-626t+25=0

Utilizzando la regola di Cartesio possiamo già capire quante soluzioni avrà l’equazione di partenza. Infatti, la regola di Cartesio consente di determinare il segno delle soluzioni dell’equazione appena scritta. E inoltre, per determinare le soluzioni dell’equazione di partenza dovremo risolvere due equazioni di secondo grado pure del tipo {x^2=t}.

Così, per quanto sappiamo sulle equazioni di secondo grado pure, avremo due soluzioni in {x} soltanto in corrispondenza di una soluzione non negativa in {t}.

Ora, poiché nell’equazione {25t^2-626t+25=0} abbiamo due variazioni, ci aspettiamo per essa due soluzioni positive. E poiché a ciascuna soluzione positiva in {t} corrispondono due soluzioni in {x}, già possiamo dire che per l’equazione di partenza avremo quattro soluzioni reali.

Ovviamente, non è strettamente necessario applicare la regola di Cartesio. Si tratta soltanto di un tocco in più, che però ha l’utilità di permettere di accorgersi immediatamente se l’equazione di partenza è impossibile. Quest’ultimo discorso vale infatti nel caso di due soluzioni entrambe negative per l’equazione risolvente nella variabile {t}.

Ora torniamo al caso in esame. Procediamo risolvendo l’equazione:

25t^2-626t+25=0

Osserviamo che il coefficiente {b} è pari ed è quindi possibile applicare la formula risolutiva ridotta. Abbiamo:

\begin{align*} & t_{1,2} = \dfrac{-\left(- \dfrac{626}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\dfrac{626}{2}\right)^2-25 \cdot 25}}{25}= \\ \\ & =\dfrac{313 \pm 312}{25}= \begin{cases}25 \\ \\ \dfrac{1}{25} \end{cases} \end{align*}

Abbiamo così le soluzioni {t_1 = 25} e {t_2= \dfrac{1}{25}}. Ricaviamo ora le soluzioni dell’equazione di partenza a partire dalle equazioni:

x^2=25, \qquad x^2=\dfrac{1}{25}

Otteniamo:

x_{1,2}=\pm 5, \qquad x_{3,4}=\pm \dfrac{1}{5}

Abbiamo così per l’equazione di partenza quattro soluzioni reali, come previsto grazie alla regola di Cartesio.

Per quanto riguarda le equazioni trinomie (e le equazioni biquadratiche) è tutto. Buono studio a tutti voi!