Esercizi scomposizione con prodotto somma per differenza

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Monomi e polinomi (superiori)

Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi sulla scomposizione con il prodotto somma per differenza. Ci occupiamo quindi di esercizi su un particolare caso di scomposizione dei polinomi che fa uso del prodotto notevole somma per differenza.

Ricordiamo che secondo la tecnica di scomposizione con il prodotto somma per differenza è possibile riscrivere la differenza di due quadrati come il prodotto della somma per la differenza dei termini il cui quadrato è rispettivamente uguale ai termini nel polinomio di partenza.

Così ad esempio avremo in generale:

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Passiamo subito agli esercizi sulla scomposizione con il prodotto somma per differenza. Cominciamo con un paio di esercizi di livello base, per poi procedere con esercizi più avanzati.

Esercizi svolti e commentati sulla scomposizione dei polinomi con il prodotto somma per differenza

Esempio 1

Mediante la tecnica di scomposizione con il prodotto somma per differenza scomporre il seguente polinomio:

81x^2-25a^2

Osserviamo che {\sqrt{81}x^{2:2} = 9x}. Inoltre {\sqrt{25}a^{2:2} = 5a}. Così nel polinomio abbiamo i quadrati dei termini {9x} e {5a}. La tecnica appena utilizzata si basa sul fatto che per calcolare il quadrato di un monomio dobbiamo elevarne al quadrato il coefficiente e moltiplicare per due gli esponenti delle lettere. Di conseguenza, per ricavare il monomio a partire dal suo quadrato, dovremo estrarre la radice quadrata del coefficiente e dividere per due gli esponenti delle lettere.

Ora, nel polinomio il quadrato {25a^2} è accompagnato dal segno meno. Così, nello scrivere il prodotto somma per differenza, nella differenza il termine preceduto dal segno meno sarà {5a}, ovvero il termine il cui quadrato è {25a^2}. In conclusione possiamo scrivere:

81x^2-25a^2=(9x+5a)(9x-5a)

e questa è la scomposizione cercata.

Esempio 2

Scomporre in fattori il polinomio:

\dfrac{9}{4}x^4y^2-\dfrac{25}{49}x^6y^{12}

Abbiamo:

\sqrt{\dfrac{9}{4}}x^{4:2}y^{2:2}=\dfrac{3}{2}x^2y; \quad \sqrt{\dfrac{25}{49}}x^{6:2}y^{12:2}=\dfrac{5}{7}x^3y^6

Tenendo conto che il quadrato preceduto dal segno meno nel polinomio di partenza è {-\dfrac{25}{49}x^6y^{12}}, che corrisponde al termine {\dfrac{5}{7}x^3y^6} possiamo scrivere in conclusione:

\dfrac{9}{4}x^4y^2-\dfrac{25}{49}x^6y^{12}=\left( \dfrac{3}{2}x^2y+\dfrac{5}{7}x^3y^6\right)\left( \dfrac{3}{2}x^2y-\dfrac{5}{7}x^3y^6\right)

Esempio 3

Scomporre il polinomio:

-80x^3y^3+45xy^5

Osserviamo che le lettere con esponenti dispari non possono sicuramente essere dei quadrati. L’idea è quella di eseguire un raccoglimento a fattore comune e quindi ritrovarci con esponenti compatibili con dei quadrati:

-80x^3y^3+45xy^5=xy^3(-80x^2+45y^2)

Ora per quanto riguarda le parti letterali ci siamo: ciascuna parte letterale è relativa ad un monomio che è il quadrato di un certo termine. Il problema è ora nei coefficienti dei termini dentro le parentesi, che effettivamente non sono dei quadrati. Osserviamo che si ha:

\text{MCD}(80,45)=5

Proviamo a questo punto a raccogliere il contenuto delle parentesi tonde per questo fattore numerico:

xy^3(-80x^2+45y^2)=xy^3[5(-16x^2+9y^2)]=

Effettivamente ci siamo, perché all’interno delle parentesi tonde ora abbiamo la differenza tra due quadrati. Ora attenzione ai segni: davanti al quadrato {16x^2} abbiamo il segno meno. Di conseguenza, il termine {\sqrt{16}x^{2:2} = 4x} dovrà comparire nel fattore differenza come il sottraendo (cioè preceduto dal segno meno). Concludendo i passaggi:

=5xy^3(3y+4x)(3y-4x)

Esercizio 4

Scomporre il polinomio:

x^{8n}-y^{6n}

In questo caso ci ritroviamo con degli esponenti letterali, ma nulla cambia rispetto ai casi precedenti. Ricerchiamo i termini dai quali hanno origine i due quadrati nel polinomio:

x^{8n:2}=x^{4n}; \qquad y^{6n:2}=y^{3n}

Come è immediato accorgersi, l’unica differenza rispetto ai casi precedenti è che per calcolare gli esponenti dovremo dividere per due un monomio e non un numero. Ovviamente si tratta di dividere per due il coefficiente del monomio ad esponente.

Tenendo conto come sempre dei segni con cui compaiono i termini nel monomio di partenza possiamo scrivere:

x^{8n}-y^{6n}=(x^{4n}+y^{3n})(x^{4n}-y^{3n})

Per verificare la scomposizione ottenuta basta calcolare il prodotto corrispondente alla scomposizione stessa:

\begin{align*} & (x^{4n}+y^{3n})(x^{4n}-y^{3n})=x^{4n+4n}+\cancel{x^{4n}y^{3n}}-\cancel{x^{4n}y^{3n}}-y^{3n+3n}= \\ \\ & =x^{8n}-y^{6n}\end{align*}

Prodotto che ovviamente si può calcolare molto più efficientemente con il prodotto notevole somma per differenza:

(x^{4n}+y^{3n})(x^{4n}-y^{3n})=\left( x^{4n}\right)^2-\left( y^{3n}\right)^2=x^{8n}-y^{6n}

Passiamo ora a degli esercizi nei quali ci ritroviamo nel polinomio di partenza con dei termini che sono dei quadrati non di monomi ma di polinomi.

Esercizio 5

Scomporre:

(3x-2)^2-4

Siamo davanti ad una differenza di quadrati. Infatti:

(3x-2)^2-4=(3x-2)^2-2^2

Abbiamo quindi la differenza tra il quadrato del binomio {3x-2} e il quadrato di {2}. Ora, per richiamarci ai casi precedenti possiamo sostituire al binomio {3x-2} la lettera {A} ed al valore {2} la lettera {B}. In tal caso il polinomio di partenza diventa:

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

Così ragionando in questo modo proseguendo i passaggi abbiamo:

(\overbrace{\underbrace{3x-2)^2}_{A^2}-\underbrace{2^2}_{B^2}}^{A^2-B^2}=\overbrace{[(\underbrace{3x-2}_{A})+\underbrace{2}_{B}]}^{A+B} \cdot \overbrace{[(\underbrace{3x-2}_{A})-\underbrace{2}_{B}]}^{A-B}=

Ora non resta che eseguire le somme all’interno delle parentesi quadre:

=(3x-2+2)(3x-2-2)=3x (3x-4)

e questo è il risultato della scomposizione.

Importante. Attenzione a non cambiare inavvertitamente il segno dei termini dei polinomi che compaiono nell’espressione di partenza. Nell’esercizio appena svolto ad esempio, nello scrivere il prodotto somma per differenza dobbiamo stare attenti a non cambiare per errore il segno che separa i termini nel binomio {3x-2}.
Ragioniamo sempre anche mentalmente con le sostituzioni operate con le lettere {A} e {B}. In questo modo non correremo il rischio di commettere simili errori.

Esercizio 6

Veniamo ad un altro esercizio sulla scomposizione con il prodotto somma prodotto, sempre relativo a quadrati di polinomi:

9(z+t)^2-(3t-6z)^2

Osserviamo che {9=3^2} e che per le proprietà delle potenze (prodotto tra potenze di uguale esponente) abbiamo {3^2(z+t)^2=[3(z+t)]^2=(3z+3t)^2}. Così l’espressione di partenza equivale a:

(3z+3t)^2-(3t-6z)^2

A questo punto possiamo ad esempio porre la sostituzione {A=3z+3t} e {B=3t+6z}. Riconosciamo in pratica i quadrati dei binomi rispettivamente {3z+3t} e {3t+6z}. Abbiamo, procedendo in modo del tutto simile all’esercizio precedente:

\begin{align*} & (3z+3t)^2-(3t-6z)^2=\\ \\ & =[(3z+3t)+(3t-6z)][(3z+3t)-(3t-6z)]= \\ \\ & =(-3z+6t)(3z+3t-3t+6z)=\\ \\ & =(-3z+6t)(9z)=\end{align*}

Per concludere l’esercizio possiamo raccogliere un {3} nel primo fattore e quindi riordinare i fattori:

=3(-z+2t)(9z)=27z(-z+2t)

Esercizio 7

Concludiamo questa serie di esercizi sulla scomposizione con il prodotto somma per differenza con la seguente espressione da scomporre:

4x^2(2x+y)^2-9x^2y^2

Utilizziamo come nel caso precedente le proprietà delle potenze in modo da evidenziare che siamo in presenza di una differenza di quadrati. Procediamo quindi con l’applicazione del metodo di scomposizione come fatto sinora:

\begin{align*} &4x^2(2x+y)^2-9x^2y^2 = \\ \\ & =[2x(2x+y)]^2-9x^2y^2=\\ \\ & =[2x(2x+y)+3xy][2x(2x+y)-3xy]=\\ \\ & =(4x^2+2xy+3xy)(4x^2+2xy-3xy)=\\ \\ & =(4x^2+5xy)(4x^2-xy) =\end{align*}

Ora osserviamo che possiamo raccogliere per una {x} in entrambi i fattori:

=x(4x+5y)x(4x-y)=x^2(4x+5y)(4x-y)

E siamo arrivati.

Conclusioni

Per questa scheda di esercizi sulle scomposizioni con il prodotto somma per differenza è tutto. Nella prossima lezione ci occupiamo della scomposizione con il quadrato di un binomio. Vi auguriamo un buon lavoro e un buon proseguimento con SìMatematica!