Esercizi sui raccoglimenti a fattore comune

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Monomi e polinomi (superiori)

Vediamo in questa scheda degli esercizi sui raccoglimenti a fattore comune, svolti e commentati. Ci occuperemo prevalentemente di polinomi scomponibili con la tecnica del raccoglimenti a fattore comune parziali seguiti da un raccoglimento a fattore comune totale. All’inizio incontreremo comunque un paio di esercizi con il solo raccoglimento a fattore comune totale, in modo da familiarizzare con il concetto di raccoglimento a fattore comune.

Ricordiamo che l’idea alla base del raccoglimento a fattore comune è quella di prendere come primo fattore della scomposizione il massimo comune divisore di tutti i termini del polinomio. L’altro fattore si otterrà poi dividendo ciascun termine del polinomio da scomporre per lo stesso massimo comune divisore, operando in pratica la divisione di un polinomio per un monomio.

Per utilizzare la tecnica dei raccoglimenti a fattore comune è dunque importante ricordare la regola del massimo comune divisore di monomi.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito gli esercizi sul raccoglimento a fattore comune per la scomposizione dei polinomi.

Esercizi svolti sui raccoglimenti a fattore comune

Raccoglimenti a fattore comune totale

Esercizio 1

Cominciamo con il primo di questi esercizi sul raccoglimento a fattore comune con un raccoglimento a fattore comune totale.

Scomporre in fattori il seguente polinomio:

2a^2b^3+8a^3b^4-4a^2b^5

Il massimo divisore comune tra i termini del polinomio si ottiene prendendo una parte numerica data dal massimo comune divisore dei coefficienti dei termini del polinomio (indifferentemente con segno più o meno) e una parte letterale data dalle lettere comuni a tutti i termini, con il più piccolo esponente.

In questo caso, il MCD dei coefficienti è {2} ({-2} sarebbe stata una scelta comunque valida). E questa è la parte numerica. Poi, per costruire la parte letterale prendiamo le lettere {a} e {b} poiché sono presenti in tutti i termini del polinomio. E per gli esponenti prendiamo i più piccoli per ciascuna lettera, quindi {2} per la lettera {a} e {3} per la lettera {b}.

Così il massimo comune divisore dei termini del polinomio è in conclusione {2a^2b^3}. E questo è il termine per il quale dobbiamo raccogliere il polinomio. A questo punto moltiplichiamo il polinomio per il termine {2a^2b^3}, allo stesso tempo dividendo ciascuno dei suoi termini sempre per {2a^2b^3}. Possiamo quindi scrivere:

\begin{align*} & 2a^2b^3+8a^3b^4-4a^2b^5= \\ \\ & = 2a^2b^3 \left( \dfrac{2a^2b^3}{2a^2b^3}+\dfrac{8a^3b^4}{2a^2b^3}-\dfrac{4a^2b^5}{2a^2b^3}\right)= \\ \\ & =2a^2b^3 \left( 1+4ab-2b^2\right)\end{align*}

e questa è la scomposizione del polinomio di partenza. Come già detto nella lezione teorica, è bene cercare di impratichirsi ed eseguire mentalmente la divisione tra il polinomio e il termine per il quale raccogliamo. In altre parole, dobbiamo cercare di dividere mentalmente ciascun termine del polinomio di partenza per il divisore comune. Così scriveremo direttamente:

\begin{align*} & 2a^2b^3+8a^3b^4-4a^2b^5=  \\ \\ & =2a^2b^3 \left( 1+4ab-2b^2\right)\end{align*}

Osserviamo che un’utile verifica per questi esercizi consiste nel moltiplicare i fattori ottenuti per la scomposizione e verificare che il risultato del prodotto coincide con il polinomio di partenza. Nel nostro caso:

2a^2b^3 \left( 1+4ab-2b^2\right)=2a^2b^3+8a^3b^4-4a^2b^5

Avendo effettivamente ritrovato il polinomio di partenza possiamo concludere che la scomposizione scritta è corretta.

Esercizio 2

Scomponiamo in fattori il polinomio:

\dfrac{2}{7}x^2y^3z+\dfrac{9}{8}xy^2-\dfrac{3}{4}x^5y^4z^5

Osserviamo che i coefficienti dei termini del polinomio sono tutti frazionari. Non essendo nemmeno individuabile un MCD diverso da {1} dei numeratori delle frazioni, conviene prendere come coefficiente del massimo divisore comune dei termini del polinomio la quantità {1} .

Per quanto riguarda la parte letterale, le lettere comuni a tutti i termini sono soltanto la {x} e la {y}. I più piccoli esponenti con i quali compaiono tali lettere sono rispettivamente {1} per la {x} e {2} per la {y}. Così possiamo in conclusione eseguire un raccoglimento totale per il termine {xy^2}. Abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{2}{7}x^2y^3z+\dfrac{9}{8}xy^2-\dfrac{3}{4}x^5y^4z^5= \\ \\ & =xy^2 \left( \dfrac{2}{7}xyz+\dfrac{9}8{-\dfrac{3}{4}x^4y^2z^5}\right)\end{align*}

Esercizio 3

Eseguire un raccoglimento a fattore comune totale nella seguente espressione:

3a(a+1)-(4a-1)(a+1)+(3a+5)(a+1)

Osserviamo che abbiamo una somma algebrica di prodotti. E in ciascun prodotto compare il fattore {(a+1)}, che è dunque comune a ciascuna quantità nella somma algebrica. Possiamo allora raccogliere per {a+1}:

\begin{align*} &3a(a+1)-(4a-1)(a+1)+(3a+5)(a+1) = \\ \\ & =(a+1)[3a-(4a-1)+(3a+5)] = \\ \\ & =(a+1)(3a-4a+1+3a+5)=\end{align*}

Attenzione a come abbiamo lavorato sui segni relativamente al fattore {4a-1}. Per togliere le parentesi tonde ove è racchiuso il fattore è stato necessario aggiustare i segni. Abbiamo visto queste regole a proposito della somma algebrica di polinomi.

Proseguiamo i passaggi sommando i termini simili nel secondo fattore:

=(a+1)(2a+6)=

Infine raccogliamo un {2} ancora nel secondo fattore:

=(a+1)2(a+3)=2(a+1)(a+3)

La scomposizione in fattori dell’espressione di partenza è così terminata.

Esercizio 4

Veniamo all’ultimo degli esercizi sui raccoglimenti a fattore comune nel caso del raccoglimento a fattore comune totale. Ci occuperemo non di un polinomio ma bensì di una espressione. Ciò è allo scopo di prepararci per gli esercizi successivi nei quali dovremo effettuare due o più raccoglimenti a fattore comune parziali seguiti da un raccoglimento totale.

Eseguire un raccoglimento a fattore comune totale nella seguente espressione:

(2x^2y-y^2)(4x+2y)-5x(y^2-2x^2y)+7y(2x^2y-y^2)

Come nel caso precedente siamo davanti ad una espressione data da una somma algebrica di prodotti. Osserviamo che abbiamo un fattore comune soltanto a due dei prodotti presenti nella somma algebrica. Nel secondo prodotto è presente un fattore che però è opposto agli altri due fattori. Per cui per eseguire un raccoglimento a fattore comune totale l’idea è quella di aggiustare i segni nel secondo prodotto. Nel farlo, non dobbiamo chiaramente alterare l’espressione di partenza.

L’idea è quella di mettere in evidenza un segno meno nel fattore {y^2-2x^2y}. Ciò significa in pratica raccogliere tale fattore per {-1}. Abbiamo:

\small \begin{align*} &(2x^2y-y^2)(4x+2y)-5x(y^2-2x^2y)+7y(2x^2y-y^2) = \\ \\ & =(2x^2y-y^2)(4x+2y)\underbrace{-5x(-1)}_{+5x}(\underbrace{-y^2+2x^2y}_{2x^2y-y^2})+7y(2x^2y-y^2)= \\ \\ & =(2x^2y-y^2)(4x+2y)+5x(2x^2y-y^2)+7y(2x^2y-y^2)=\end{align*}

A questo punto possiamo eseguire un raccoglimento totale per il fattore {2x^2y-y^2}:

\small =(2x^2y-y^2)(4x+2y+5x+7y)=(2x^2y-y^2)(9x+9y)=

A questo punto rimane soltanto da raccogliere un {9} in un fattore:

=(2x^2y-y^2)9(x+y)=9(2x^2y-y^2)(x+y)

Abbiamo così terminato.

Raccoglimenti a fattore comune parziale seguiti da raccoglimento a fattore comune totale

Passiamo ora ad esercizi sui raccoglimenti a fattore comune nei quali non è possibile raccogliere tutto il polinomio per un fattore comune. In questi casi si può provare a dividere il polinomio di partenza nella somma di più polinomi, di modo che poi si riesca ad individuare in ciascun polinomio un fattore comune a tutti i suoi termini. L’idea è così quella di scomporre in fattori il polinomio di partenza effettuando dei raccoglimenti parziali (uno per ciascun polinomio nella somma), per poi eseguire un raccoglimento totale. Capiamo quindi che il termine “raccoglimento parziale” indica un raccoglimento che viene eseguito con la stessa tecnica del raccoglimento totale, ma soltanto in un parte del polinomio da scomporre.

A volte potrà anche risultare possibile e comodo eseguire fin da subito un raccoglimento totale, eseguendo poi dei raccoglimenti parziali e infine un raccoglimento totale finale. E’ questo il caso dell’esempio 6 a seguire.

Esercizio 5

Scomporre in fattori il polinomio:

a^2x+b^2x+3b^2y+3a^2y

Riscriviamo il polinomio come somma di polinomi, ove in ciascun polinomio sia possibile eseguire un raccoglimento a fattore comune. Abbiamo:

a^2x+b^2x+3b^2y+3a^2y=(a^2x+b^2x)+(3b^2y+3a^2y)=

Osserviamo che nel primo polinomio possiamo raccogliere il fattore {x}. mentre nel secondo possiamo raccogliere il fattore {3y}:

=x(a^2+b^2)+3y(b^2+a^2)=

Ora, ci ritroviamo con un’espressione data da una somma di prodotti aventi per fattore comune {a^2+b^2}. Così possiamo in conclusione scrivere:

=(a^2+b^2)(x+3y)

Quella ottenuta è la scomposizione in fattori del polinomio di partenza. Per cui possiamo riassumere quanto ottenuto come segue:

a^2x+b^2x+3b^2y+3a^2y=(a^2+b^2)(x+3y)

Esercizio 6

Scomporre il polinomio:

15a^2y^2+15a^2+3a^2x^2y^2+3a^2x^2

Intanto individuiamo la possibilità di eseguire un raccoglimento totale per il termine {3a^2}:

15a^2y^2+15a^2+3a^2x^2y^2+3a^2x^2=3a^2\left( 5y^2+5+x^2y^2+x^2\right)=

A questo punto ragioniamo sul polinomio entro le parentesi tonde. Individuiamo facilmente due binomi che possono essere scomposti raccogliendo un fattore comune. Così dovremo eseguire all’interno delle parentesi tonde due raccoglimenti parziali:

=3a^2[5(y^2+1)+x^2(y^2+1)]=

Ora non resta che raccogliere per il fattore comune {y^2+1}, ottenendo in conclusione:

=3a^2(y^2+1)(5+x^2)

Esercizio 7

Proseguiamo gli esercizi sui raccoglimenti a fattore comune con il seguente esercizio.

Scomporre in fattori il seguente polinomio:

ax+bx+cx+2ay+2by+2cy

Cominciamo eseguendo due raccoglimenti parziali:

ax+bx+cx+2ay+2by+2cy=x(a+b+c)+2y(a+b+c)=

Concludiamo eseguendo un raccoglimento totale:

=(a+b+c)(x+2y)

Esercizio 8

Scomporre il polinomio:

2ax+2bx+2cx-4ay-4by-4cy

Qui serve un po’ di occhio per capire come riorganizzare il polinomio in modo da poter individuare dei raccoglimenti parziali da eseguire. Cerchiamo di costruire dei gruppi aventi dei fattori in comune. Si può cominciare ad inquadrare il problema prestando attenzione alle lettere dei termini.

Riesprimiamo in particolare il polinomio come (proprietà commutativa dell’addizione):

2ax-4ay+2bx-4by+2cx-4cy

In questo modo riusciamo ad eseguire tre raccoglimenti parziali:

\small 2ax-4ay+2bx-4by+2cx-4cy=2a(x-2y)+2b(x-2y)+2c(x-2y)=

Concludiamo con un raccoglimento totale (raccogliamo per la quantità {2(x-2y)}):

=2(x-2y)(a+b+c)

Abbiamo così ottenuto la scomposizione in fattori del polinomio di partenza mediante dei raccoglimenti a fattore comune parziali seguiti da un raccoglimento a fattore comune totale.

Veniamo ora all’ultimo di questa serie di esercizi sui raccoglimenti a fattore comune.

Esercizio 9

8ax^2-4bx^2-4cx^2+16ay^2-8by^2-8cy^2

Possiamo raccogliere i primi tre termini per {4x^2} e i rimanenti termini per {8y^2}. Eseguiamo allora i corrispondenti raccoglimenti a fattore comune parziali:

\begin{align*} & 8ax^2-4bx^2-4cx^2+16ay^2-8by^2-8cy^2=\\ \\ & =4x^2(2a-b-c)+8y^2(2a-b-c)= \end{align*}

Concludiamo con un raccoglimento a fattore comune totale:

=(2a-b-c)(4x^2+8y^2)

Conclusioni

Per quanto riguarda gli esercizi sui raccoglimenti a fattore comune è tutto. Abbiamo così visto il metodo del raccoglimento a fattore comune totale e il metodo dei raccoglimenti a fattore comune parziali seguiti da un raccoglimento a fattore comune totale.

Come del resto tutti i metodi di scomposizione, la tecnica di scomposizione in fattori mediante raccoglimenti è importantissima e la ritroverete lungo tutto il prosieguo dei vostri studi. Per cui studiando questa scheda avete sicuramente speso bene il vostro tempo. Buon proseguimento!