Esercizi sui sottoinsiemi ed insieme delle parti

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Esercizi sugli insiemi

Presentiamo ora una serie di esercizi sui sottoinsiemi e insieme delle parti, tarati per difficoltà crescente. Ricordiamo che un sottoinsieme di un dato insieme A è un insieme i cui elementi appartengono tutti ad A. Un sottoinsieme B di A è proprio se esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B. I sottoinsiemi impropri di A sono infine dati da A stesso e dall’insieme vuoto.

In particolare, al fine di poter svolgere gli esercizi sui sottoinsiemi è bene richiamare brevemente i simboli da utilizzare. Così, se B è un sottoinsieme di A scriveremo:

B \subseteq A

Con questa scrittura intendiamo che tutti gli elementi di {B} sono anche elementi di {A}, senza specificare se esiste o meno almeno un elemento di {A} che non appartiene a {B}. In altre parole, non escludiamo in questo caso che gli insiemi {B} ed {A} possano anche essere uguali tra loro.

Se invece scriviamo:

B \subset A

intendiamo non soltanto che tutti gli elementi di {B} appartengono anche ad {A}, ma anche che esiste almeno un elemento di {A} che non appartiene a {B}. In tal modo escludiamo la possibilità che gli insiemi {A} e {B} possano essere tra loro uguali. E diciamo che {B} è un sottoinsieme proprio di {A}.

Ricordiamo infine che l’insieme delle parti di {A} è l’insieme {\mathscr{P}(A)} dato da tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di {A}.

Negli esercizi a seguire ci proporremo di scrivere uno o più sottoinsiemi di un dato insieme di partenza, il quale sarà rappresentato per elencazione o per proprietà caratteristica.

Esercizio 1

Dato l’insieme {A=\left\{ 1,3,4,5,6,9\right\}} determinare il sottoinsieme formato dai numeri pari, il sottoinsieme formato dai numeri primi, il sottoinsieme formato dai numeri multipli di 8 e il sottoinsieme formato dai numeri divisori di 180. Infine, indicare per ciascun sottoinsieme se è proprio oppure no.

L’insieme di partenza è rappresentato per elencazione:

A=\left\{ 1,3,4,5,6,9\right\}

Dunque ne sono già noti tutti gli elementi e l’insieme è finito.

Per il sottoinsieme dei numeri pari abbiamo:

A_{\text{pari}}=\left\{ 4,6\right\}

Per quello dei numeri primi:

A_{\text{primi}}=\left\{ 1,3,5\right\}

Il sottoinsieme dei multipli di 8 corrisponde invece all’insieme vuoto. Nessun elemento dell’insieme di partenza è infatti esprimibile come multiplo intero di 8. Se indichiamo tale sottoinsieme con la lettera {B}, abbiamo:

B=\emptyset

Invece, ogni elemento dell’insieme {A} è divisore di 180. In altre parole, è possibile dividere 180 per un qualsiasi elemento dell’insieme dato, ottenendo sempre come risultato un quoziente intero. Indicando quindi con {C} il sottoinsieme dei divisori di 180, abbiamo:

C=A

Osserviamo infine che gli unici sottoinsieme propri di {A} sono i primi due.

Esercizio 2

Dato l’insieme {A=\left\{ x \in \N \: | \: x \: \text{e' un divisore di} \: 42\right\}} determinare quali sono i sottoinsiemi formati solo da numeri dispari.

L’insieme di partenza è in questo caso indicato secondo proprietà caratteristica. Conviene allora prima di tutto rappresentare l’insieme dato per elencazione:

A=\left\{ 1, 2, 3, 6, 7, 14,21, 42\right\}

Ora si tratta di individuare tra gli elementi dell’insieme quelli dispari, e formare tutti i possibili sottoinsiemi costituiti dagli elementi dispari di {A}.

Indichiamo per comodità con {B} il sottoinsieme di {A} costituito da elementi unicamente dispari:

B=\left\{ 1,3,7,21\right\}

Consideriamo a questo punto tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di {B}. In altre parole, dobbiamo scrivere tutti i sottoinsiemi che appartengono all’insieme potenza di {B}, facendo però attenzione ad escludere l’insieme vuoto.

Per evitare confusione, conviene considerare prima i sottoinsiemi di un solo elemento, poi quelli di due elementi, poi quelli di tre elementi e così via.

\begin{align*} &\left\{ 1\right\}, \left\{ 3\right\}, \left\{ 7\right\},\left\{ 21\right\},\\ \\ & \left\{ 1,3\right\}, \left\{ 1,7\right\}, \left\{ 1,21\right\},\left\{ 3,7\right\}, \left\{ 3,21\right\}, \left\{ 7,21\right\}, \\ \\ & \left\{1,3,7 \right\}, \left\{ 1,7,21\right\}, \left\{ 3,7,21\right\}, \left\{ 1,3,21\right\}, \\ \\ & \left\{1,3,7,21 \right\}\end{align*}

Ora, dato che l’insieme {A} ha cardinalità {4} (ovvero è costituito da {4} elementi), il corrispondente insieme potenza {\mathscr{P}(A)} ha {2^4=16} elementi. Ma poiché non possiamo prendere l’insieme vuoto (essendo vuoto non contiene infatti gli elementi dispari di {A}), ci dovremo ritrovare con {16-1=15} sottoinsiemi. Ed effettivamente, i sottoinsiemi che abbiamo appena scritto sono in numero di {15}.

In forma compatta, l’insieme di tutti i sottoinsiemi che abbiamo elencato si può scrivere come:

\mathscr{P}(A) \setminus \emptyset

e tutti gli elementi appartenenti all’insieme differenza appena scritto sono le soluzioni del problema dato. Infatti, ciascun elemento di tale insieme è un sottoinsieme di {A} costituito da soli elementi dispari.

Esercizio 3

Dato l’insieme {A=\left\{ x | x =3n, 3<x<13, n \in \N \setminus \left\{ 0\right\}\right\}} determinare il sottoinsieme formato dai numeri pari, il sottoinsieme formato dai numeri primi e il sottoinsieme formato dai multipli di {2}.

Cominciamo con lo scrivere l’insieme {A} mediante rappresentazione per elencazione. Dobbiamo in particolare scrivere tutti i numeri naturali che sono il triplo di un certo numero naturale (escluso lo zero), e tali da essere compresi fra {3} e {13} (esclusi gli estremi). Abbiamo:

A=\left\{ 6,9,12\right\}

I sottoinsiemi cercati sono, infine:

\left\{ 6,12\right\}, \qquad \emptyset, \qquad \left\{ 6,12\right\}

Fra i sottoinsiemi figura anche l’insieme vuoto, poiché fra gli elementi di {A} non abbiamo alcun numero primo.

Esercizio 4

Scrivere l’insieme potenza dell’insieme {A=\left\{ 4,5\right\}}.

Ricordiamo che l’insieme potenza di {A} è dato da tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di {A}. Abbiamo:

\mathscr{P}(A)=\left\{\underbrace{ \left\{ 4\right\}, \left\{ 5\right\}}_{\text{sott. propri}}, \underbrace{\left\{ 4,5\right\}, \emptyset}_{\text{sott. impropri}}\right\}

Come prova, per la cardinalità dell’insieme potenza appena scritto abbiamo:

\text{card}\mathscr{P}(A)=2^2=4

Effettivamente abbiamo nell’insieme quattro elementi.

Esercizio 5

Scrivere l’insieme delle parti (o insieme potenza) dell’insieme {A=\left\{ 2\right\}}.

L’insieme potenza in questo caso è costituito da soli {2^1=2} elementi. Abbiamo:

\mathscr{P}(A)=\left\{ \left\{ 2\right\}, \emptyset\right\}

In questo particolare caso nell’insieme potenza figurano soltanto i sottoinsiemi impropri di {A}.

Esercizio 6

Dati gli insiemi {A=\left\{ 2,3,5\right\}} e {B=\left\{ 2,3,5,7\right\}}, indicare quale tra le seguenti relazioni di inclusione è vera: {A \subseteq B, \: A \subset B}.

Entrambe le relazioni di inclusione sono vere. Infatti, ogni elemento di {A} è anche elemento di {B}, quindi:

A \subseteq B

Infine, poiché l’elemento {7} appartiene a {B} ma non ad {A}, abbiamo che {A} è un sottoinsieme proprio di {B}:

A \subset  B

Per quanto riguarda questa scheda relativa agli esercizi sui sottoinsiemi è tutto. Buon proseguimento!