Esercizi sul completamento di quadrati

 - 

Monomi e polinomi (superiori)

Proseguiamo gli esercizi sul quadrato di un binomio con esercizi di tipo specifico relativi al completamento di quadrati.

L’obiettivo degli esercizi sul completamento di quadrati è quello di scrivere a partire da due termini dati il termine mancante per avere lo sviluppo del quadrato di un binomio.

Ad esempio, dati due termini che rappresentano il quadrato di certe quantità si tratterà di scrivere il loro doppio prodotto. La somma dei quadrati e del doppio prodotto sarà uguale al quadrato di un binomio.

Cominciamo subito questa serie di esercizi sul completamento di quadrati.

Esercizi svolti sul completamento di quadrati (regola del quadrato di un binomio)

Esercizio 1

Completare il seguente quadrato di un binomio:

x^2-4xy+ \dots

Osserviamo che {x^2} è il quadrato di {x}. Così il binomio che stiamo cercando ha sicuramente come primo termine la quantità {x}. Quanto a {-4xy} questo non è sicuramente il quadrato di nessun monomio poiché è un monomio di primo grado rispetto a ciascuna lettera. Di conseguenza {-4xy} è il doppio prodotto tra il monomio {x} e un altro termine incognito. Indicato con {X} il termine da ricercare si tratterà di risolvere l’equazione:

2 \cdot \underbrace{x}_{\substack{\tiny\text{primo} \\ \text{\tiny termine}}} \cdot X = \underbrace{-4xy}_{\substack{\text{doppio} \\  \text{ prodotto}}}

Per isolare la {X} basterà dividere entrambi i membri per {2x} (supponendo chiaramente che {x} sia una quantità diversa da zero). Otteniamo eseguendo una semplice divisione tra monomi:

X = -4xy : (2x) = -2y

Così il secondo termine del binomio è {-2y}. Ciò significa che, tornando ai due termini che avevamo in partenza:

x^2-4xy+ \dots

mettendo al posto dei puntini il quadrato del termine {-2y} otteniamo un trinomio che corrisponde al quadrato di un binomio:

x^2-4xy+ (-2y)^2 = x^2-4xy+4y^2

Ora, poiché il primo termine del binomio è {x} mentre il secondo è {-2y} (lo abbiamo ricavato risolvendo la precedente equazione), possiamo anche in conclusione scrivere:

 x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2

Abbiamo quindi scritto la scomposizione in fattori del polinomio {x^2-4xy+4y^2}.

Esercizio 2

Completare il seguente quadrato di un binomio:

16x^2y^2+1+ \dots 

Osserviamo che {16x^2y^2} è il quadrato di {4xy}. Il termine {1} non è altri che il quadrato di {1}. Non può essere per certo un doppio prodotto in quanto non contiene nessuna lettera.

Così ciò che manca in questo caso è il doppio prodotto tra i due termini {4xy} e {1}:

2 \cdot 4xy \cdot 1 = 8xy

Così in conclusione lo sviluppo completo del quadrato di un binomio in questo caso è:

16x^2y^2+1+8xy

e per quanto detto suoi termini del binomio:

16x^2y^2+1+8xy = (4xy+1)^2

Esercizio 3

\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{16}{81}y^2+\dots

Osserviamo che:

\left( \dfrac{x}{3}\right)^2 = \dfrac{x^2}{9}

e che:

\left( \dfrac{4}{9}y\right)^2 = \dfrac{16}{81}y^2

Così i due termini dati sono i quadrati rispettivamente dei monomi {\dfrac{x}{3}} e {\dfrac{4}{9} y}. Il doppio prodotto di tali due termini è:

2 \cdot \dfrac{x}{3} \cdot \dfrac{4}{9}y=\dfrac{8}{27}xy

Così in conclusione il quadrato completo è:

\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{16}{81}y^2+\dfrac{8}{27}xy

e corrisponde al quadrato di un binomio:

\left( \dfrac{x}{3}+\dfrac{4}{9}y\right)^2

Esercizio 4

Vediamo un altro di questi esercizi sul completamento dei quadrati. Completiamo il seguente quadrato:

axy+49y^2

Partiamo dal secondo termine, per il quale deduciamo immediatamente che è il quadrato del monomio {7y}.

Veniamo ora al primo termine. Poiché il monomio {axy} è di primo grado rispetto a ciascuna lettera, sicuramente non è il quadrato di nessun monomio ed è quindi il doppio prodotto. Di conseguenza, esattamente come nel primo esercizio di questa scheda dovremo risolvere l’equazione:

2 \cdot  7y \cdot X = axy

da cui dividendo entrambi i membri per {14y} (supposto {y \neq 0}) otteniamo:

X = axy:(14y) = \dfrac{1}{14}ax

Il quadrato completo è quindi:

axy+49y^2+\left( \dfrac{1}{14}ax\right)^2 = axy+49y^2+\dfrac{1}{196}a^2x^2

e in conclusione:

axy+49y^2+\dfrac{1}{196}a^2x^2=\left( 7y+\dfrac{1}{14}ax\right)^2

Suggerimento. Per calcolare rapidamente il quadrato di {14}: {14^2 = (7\cdot 2)^2 = 7^2 \cdot 2^2 = 49 \cdot 4 = 196}

Esercizio 5

Veniamo all’ultimo di questi esercizi sul completamento di quadrati. Completare il quadrato dato dai seguenti due termini:

a^4n^2+7a^2n

Sicuramente {a^4n^2} è un quadrato di un monomio, ed in particolare si tratta del quadrato del monomio {a^2n}. Per quanto riguarda il termine {7a^2n} questo non è sicuramente un quadrato di un monomio poiché è di primo grado rispetto alla lettera {n}. E, come sappiamo, un monomio contenente nella parte letterale la quantità {\sqrt{n}} non è un monomio. Per cui il fatto che {\sqrt{n}^2 = n} non ci è di nessun aiuto.

Così {7a^2n} e il doppio prodotto e dobbiamo risolvere l’equazione:

2 \cdot a^2n \cdot X = 7a^2n

da cui:

X  = 7a^2n:(2a^2n)=\dfrac{7}{2}

e questo è il termine mancante. In conclusione il quadrato di partenza completo è quindi:

a^4n^2+7a^2n+\left( \dfrac{7}{2}\right)^2=a^4n+7a^2n+\dfrac{49}{4} = \left( a^2n + \dfrac{7}{2} \right)^2

Conclusioni

Per quanto riguarda questi esercizi sul completamento di quadrati è tutto. Per ulteriori esercizi sul quadrato di un binomio è disponibile la scheda con le espressioni con il quadrato di un binomio.

Approfondimento. Proponiamo a seguire per i più volenterosi un ultimo esercizio che sarà utile per l’ultimo anno delle superiori e sicuramente per esami universitari di Analisi Matematica.

Esprimere il seguente polinomio come somma di un quadrato di un binomio e di una costante:

x^2+2x+7

Il primo passo consiste nel considerare i soli due termini {x^2} e {2x} (ovvero escludere il termine noto) e completare il quadrato come fatto per gli esercizi precedenti. In altre parole, dobbiamo completare il quadrato di un binomio avente i due termini:

x^2+2x+ \dots

Ora, sicuramente {x^2} è il quadrato di {}x. Il termine {2x} poiché di primo grado è sicuramente un doppio prodotto. Risolviamo allora l’equazione:

2 \cdot x \cdot X = 2x

da cui:

X = 2x :(2x) = 1

Per cui la forma completa del quadrato è:

x^2+2x+1 = (x+1)^2 

Ora, dovremo esprimere il trinomio di partenza {x^2+2x+7} come somma del quadrato {(x+1)^2} e di una costante da determinare. Indicata con {k} tale costante dovrà valere l’equazione:

(x+1)^2 + k = x^2+2x+7

ovvero, sviluppando il quadrato e cancellando i termini uguali membro a membro:

\cancel{x^2}+\cancel{2x}+1+k=\cancel{x^2}+\cancel{2x}+7

e quindi:

k=7-1=6

Per cui in conclusione in risposta al quesito iniziale possiamo scrivere:

x^2+2x+7=(x+1)^2+6

In tal modo abbiamo espresso il polinomio di partenza come somma di un quadrato di un binomio (quadrato perfetto) ed una costante.

Con questa ultima informazione concludiamo gli esercizi di questa scheda. Buon proseguimento!