Esercizi sul cubo di un binomio

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Monomi e polinomi (superiori)

Proponiamo in questa scheda ulteriori esercizi sul cubo di un binomio, che si aggiungono a quelli già svolti nella lezione sul prodotto notevole cubo di un binomio.

Dopo aver svolto alcuni esercizi standard sul cubo di un binomio, presenteremo esercizi più sofisticati nei quali compaiono esponenti letterali e nei quali i termini del binomio sono a loro volta dei polinomi.

Cominciamo allora subito gli esercizi sul cubo di un binomio. Consigliamo, come sempre, di provare a risolvere gli esercizi da soli per poi confrontare successivamente il vostro svolgimento con quello proposto.

Esercizi svolti e commentati sul cubo di un binomio

Esercizio 1

(x^2+3y)^3

Calcoliamo il cubo del primo termine:

(x^2)^3=x^{2 \cdot 3} = x^6

Procediamo con il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine:

3 \cdot (x^2)^2 \cdot 3y=3 \cdot x^{2\cdot 2} \cdot 3y = 3 \cdot x^4\cdot 3y=9x^4y

A questo punto, calcoliamo il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine:

3 \cdot x^2 \cdot (3y)^2 = 3 \cdot x^2 \cdot 9y^2 = 27x^2y^2

Concludiamo, non dimentichiamo, con il cubo del secondo termine:

(3y)^3 = 3^3 \cdot y^3 = 27y^3

A questo punto sommiamo tra loro tutte le quantità scritte ottenendo in conclusione:

(x^2+3y)^3= x^6+9x^4y+27x^2y^2+27y^3

Esercizio 2

(y^3-4)^3

Ricordiamo che dobbiamo intendere l’espressione all’interno delle parentesi tonde come una somma algebrica:

(y^3-4)^3=[y^3+(-4)]^3

Per calcolare il cubo prendiamo allora ciascun termine con il suo segno:

• cubo del primo termine: {(y^3)^3=y^{3 \cdot 3} = y^9};
• triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine: {3 \cdot (y^3)^2 \cdot (-4) = -12y^6};
• triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine: {3 \cdot y^3 \cdot (-4)^2 = 48y^3};
• infine, cubo del secondo termine: {(-4)^3=-64}.

Attenzione. Il cubo di una quantità negativa è negativo.

Otteniamo così in conclusione, sommando tra loro tutte le quantità appena scritte:

(y^3-4)^3 = y^9 -12y^6+48y^3-64

Esercizio 3

Proseguiamo gli esercizi sul cubo di un binomio con il seguente:

(-2x^3+5y^4)^3

Abbiamo, svolgendo direttamente i passaggi:

\begin{align*} & (-2x^3+5y^4)^3= \\ \\ & =(-2x^3)^3+3 \cdot (-2x^3)^2 \cdot 5y^4+3 \cdot (-2x^3) \cdot (5y^4)^2+(5y^4)^3 =\\ \\ & =-8x^9+3 \cdot 4x^6\cdot5y^4-6x^3 \cdot 25y^8+125y^{12}= \\ \\ & =-8x^9+60x^6y^4-150x^3y^8+125y^{12}  \end{align*}

Nell’eseguire i calcoli letterali non commettiamo errori nell’applicare la proprietà delle potenze di potenze: prodotto degli esponenti. Invece, nel moltiplicare tra loro potenze aventi la stessa base interviene la somma degli esponenti. Tali proprietà intervengono rispettivamente nelle operazioni di potenze di monomi e nelle moltiplicazioni tra monomi.

Esercizio 4

(2x^5+y)^3

Abbiamo:

\begin{align*} & (2x^5+y)^3=(2x^5)^3+3 \cdot (2x^5)^2 \cdot y + 3 \cdot 2x^5 \cdot y^2+y^3= \\ \\ & = 8x^{15}+12x^{10}y+6x^5y^2+y^3\end{align*}

e siamo arrivati.

Gli esercizi a seguire sono di livello avanzato e mostrano come poter calcolare il cubo di un trinomio e di un quadrinomio utilizzando semplicemente le regole del cubo di un binomio e del quadrato di un binomio.

Esercizio 5

Calcolare il seguente cubo di un “binomio”:

[1-(x-y)]^3

Osserviamo che il termine binomio è virgolettato poiché effettivamente ciò che abbiamo all’interno delle parentesi quadre è un trinomio. Infatti:

1-(x-y)=1-x+y

Per cui il calcolo equivale al seguente cubo di un trinomio:

(1-x+y)^3

Come suggerisce il testo dell’esercizio è possibile effettuare il calcolo del cubo del trinomio a partire dalla forma:

[1-(x-y)]^3

operando le sostituzioni {A=1} e {B=-(x-y)}. In tal modo ci riduciamo a:

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=

e quindi risostituendo a ciascuna lettera la corrispondente espressione:

=1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot [-(x-y)]+ 3 \cdot 1 \cdot [-(x-y)]^2+[-(x-y)]^3 = 

Riducendo le parentesi:

=1^3+3(-x+y)+3 (-x+y)^2+(-x+y)^3=

Ora dobbiamo applicare le regole del quadrato e del cubo di un binomio, eseguendo poi i prodotti:

\begin{align*} & =1-3x+3y+3(x^2-2xy+y^2)+(-x^3+3x^2y-3xy^2+y^3)=\\ \\ & =1-3x+3y+3x^2-6xy+3y^2-x^3+3x^2y-3xy^2+y^3  \end{align*}

e questo è il risultato finale.

Possiamo dunque calcolare il cubo di un trinomio utilizzando le regole relative al quadrato e al cubo di un binomio. Utilizzando accorgimenti del tutto simili, è anche possibile calcolare il cubo di un quadrinomio (polinomio con quattro termini), come mostra l’esercizio seguente.

Esercizio 6

Calcolare il seguente cubo di un quadrinomio:

(x-2-y-a)^3

L’idea è quella di ridurci al caso del cubo di un binomio, a patto di riscrivere l’espressione da calcolare come:

[(x-2)+(-y-a)]^3

Ponendo {A=x-2} e {B=-y-a} effettivamente ci ritroviamo con il cubo di un binomio:

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=

Risostituendo alle lettere le corrispondenti espressioni:

\begin{align*} & =(x-2)^3+3 (x-2)^2 (-y-a) + 3 (x-2) (-y-a)^2 + (-y-a)^3 = \\ \\ & =x^3-6x^2+12x-8+3(x^2-4x+4)(-y-a)+3(x-2)(y^2+2ay+a^2)+\\ \\ & -y^3-3ay^2-3a^2y-a^3=\\ \\ & =x^3-6x^2+12x-8-3x^2y+12xy-12y-3ax^2+12ax-12a+\\ \\ & +3xy^2-6y^2+6axy-12ay+3a^2x-6a^2-y^3-3ay^2-3a^2y-a^3 \end{align*}

Non essendoci termini simili l’espressione scritta è il risultato finale.

Conclusioni

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sul cubo di un binomio è tutto.

Negli ultimi due esercizi abbiamo visto un trucco per poter calcolare dei cubi di un trinomio e di un quadrinomio utilizzando delle sostituzioni. Un altro modo per eseguire calcoli di questo tipo è presentato nella lezione sul cubo di un trinomio e sul cubo di un quadrinomio. Buon proseguimento!