Esercizi sul massimo comune divisore di monomi

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Monomi e polinomi (superiori)

In questa scheda risolveremo insieme degli esercizi sul massimo comune divisore di monomi. Metteremo così in pratica le regole viste nella lezione sul massimo comune divisore di monomi.

Presenteremo inizialmente degli esercizi sul massimo comune divisore di monomi relativo a coppie di monomi. Successivamente determineremo anche il MCD di terne di monomi (massimo comune divisore di tre monomi).

Esercizio 1

Determinare il massimo comune divisore dei seguenti monomi:

5x^4, \quad 2x^2y

Poiché i coefficienti dei monomi sono interi, possiamo prendere come coefficiente del massimo comune divisore il MCD dei coefficienti dei monomi. Così abbiamo:

\text{MCD} (5, 2) = 1

Osserviamo che in questo particolare caso i coefficienti sono entrambi numeri primi, perciò il loro massimo comune divisore non può essere che l’unità.

Per quanto riguarda la parte letterale, dobbiamo prendere soltanto le lettere presenti in entrambi i monomi, elevandole al più piccolo tra gli esponenti con i quali compaiono nei monomi. Così dovremo prendere la sola lettera x con esponente 2, che è il più piccolo tra gli esponenti 2 e 4.

Così abbiamo in conclusione:

\text{MCD}\left( 5x^4;\:2x^2y\right)=x^2

Osserviamo che non indichiamo esplicitamente il coefficiente 1, lasciandolo sottinteso.

Esercizio 2

Determinare il massimo comune divisore della seguente coppia di monomi:

12q^4t^2, \quad -24pqt

Per il coefficiente del MCD abbiamo:

\text{MCD}(12, -24) = 12

Precisiamo che avremmo potuto prendere anche il valore negativo.

Per quanto riguarda la parte letterale del MCD, osserviamo che le sole lettere in comune ad entrambi i monomi sono q e t. La lettera p va dunque esclusa.

Per la lettera q prenderemo l’esponente 1, il più piccolo fra gli esponenti 4 e 1. Per la lettera t prenderemo il più piccolo tra gli esponenti 2 e 1, ovvero 1. Così abbiamo in conclusione:

\text{MCD}\left(12q^4t^2;\:-24pqt \right)=12qt

Esercizio 3

Determinare il MCD della seguente terna di monomi:

20a, \quad 25a^2, \quad 40a

Cominciamo con il coefficiente:

\text{MCD}(20, \: 25, \: 40)=\text{MCD}(2^2\cdot5, \: 5^2, \: 2^3\cdot5) = 5

Per trovare agevolmente il MCD abbiamo considerato le scomposizioni in fattori primi dei coefficienti dei monomi.

Per la parte letterale il discorso è immediato. Abbiamo infatti un’unica lettera comune a tutti i monomi, e l’esponente più piccolo col quale compare è 1. Così abbiamo:

\text{MCD}\left( 20a, \: 25a^2, \: 40a\right) = 5a

Esercizio 4

Determinare il massimo comune divisore dei seguenti monomi:

\dfrac{7}{2}x^2yz, \quad -3xz, \quad -4yz

Poiché un monomio ha coefficiente non intero prendiamo come coefficiente del massimo comune divisore la quantità 1.

Per quanto riguarda la parte letterale, osserviamo che l’unica lettera in comune a tutti i tre monomi è la z. Poiché compare con lo stesso esponente in tutti e tre i monomi la scelta dell’esponente per il MCD è ovvia ed abbiamo:

\text{MCD}\left( \dfrac{7}{2}x^2yz; \: -3xz; \:-4yz\right)=z

Esercizio 5

Determinare il massimo comune divisore tra i seguenti monomi:

5a^2b^3cd^5, \qquad 10a^3bc, \qquad 20abcd^6

Per il coefficiente del MCD possiamo prendere il MCD tra i coefficienti dei monomi, ovvero 5.

Per la parte letterale, osserviamo che l’unica lettera che non è comune a tutti i monomi è la d, che va scartata (questa manca nel secondo monomio).

In conclusione abbiamo:

\text{MCD}\left( 5a^2b^3cd^5; \: 10a^3bc;\:20abcd^6\right)=5abc

Esercizio 6

Concludiamo questa serie di esercizi sul massimo comune divisore di monomi con un caso particolare.

Calcolare il MCD dei monomi:

-3ax^4, \quad -9y^3, \quad \dfrac{1}{4}z^3

Osserviamo che i coefficienti non sono tutti interi, per cui prendiamo come coefficiente del MCD la quantità 1.

Per quanto riguarda la parte letterale osserviamo che nei monomi non abbiamo lettere in comune. Di conseguenza la parte letterale sarà priva di lettere.

Per tutto quanto detto abbiamo in conclusione:

\text{MCD} \left( -3ax^4; \: -9y^3; \:\dfrac{1}{4}z^3\right)=1

Il risultato può essere visto come un monomio con coefficiente unitario ed esponenti della parte letterale tutti nulli.

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sul MCD di monomi è tutto. Buono studio a tutti voi.