Esercizi sul minimo comune multiplo di monomi

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Monomi e polinomi (superiori)

In questa scheda ci occupiamo di esercizi sul minimo comune multiplo di monomi (due o più monomi). Avremo quindi modo di mettere ulteriormente in pratica quanto appreso sulla lezione relativa al minimo comune multiplo di monomi.

Nel determinare il minimo comune multiplo (mcm) di due o più monomi terremo conto della definizione di minimo comune multiplo che già conosciamo dall’aritmetica. Ricordiamo che il minimo comune multiplo di due o più numeri si ottiene a partire dalla scomposizione in fattori primi dei numeri stessi, prendendo tutti i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente.

Passiamo subito all’azione con gli esercizi sul mcm di monomi, come al solito svolti e commentati.

Esercizio 1

Determinare il mcm dei seguenti monomi:

3a^2b^3, \qquad 6abc^2

Ricordiamo che per scrivere il minimo comune multiplo di un monomio dobbiamo determinarne il coefficiente e la parte letterale.

In questo caso abbiamo coefficienti interi per i monomi di partenza, per cui possiamo prendere come coefficiente del mcm il minimo comune multiplo tra i coefficienti:

\text{mcm}\left( 3, \: 6\right)=6

Infatti considerando le scomposizioni in fattori primi abbiamo 3=3 e 6=2\cdot3, di conseguenza avremo in questo caso il prodotto di tutti i fattori presenti nelle scomposizioni.

Per quanto riguarda la parte letterale, dovremo prendere tutte le lettere presenti nei monomi. E ciascuna lettera dovrà avere il più grande esponente con il quale compare nei monomi. Per cui nel nostro caso abbiamo in conclusione:

\text{mcm}\left( 3a^2b^3, \: 6abc^2\right)=6a^2b^3c^2

Attenzione a non confonderci con il massimo comune divisore: nel minimo comune multiplo dobbiamo sempre prendere tutte le lettere che compaiono nei monomi di partenza. Per non confonderci, ricordiamo sempre che il minimo comune multiplo è tale da essere sempre divisibile per ciascuno dei monomi di partenza. Nel nostro caso abbiamo infatti:

6a^2b^3c^2:(3a^2b^3)=2c^2; \qquad 6a^2b^3c^2:\left( 6abc^2\right)=ab^2

In entrambi i casi le divisioni sono effettivamente eseguibili ed otteniamo quindi come risultato un monomio. Se ci fossimo sbagliati ad applicare la regola, non avremmo ritrovato questo risultato.

Esercizio 2

Determinare il mcm dei seguenti monomi:

9p^4q^3, \qquad -18p^2q^3t

Per quanto riguarda il coefficiente del mcm, osserviamo che 18 è il doppio di 9 per cui possiamo scrivere direttamente:

\text{mcm}\left( 9, -18\right)=18

Osserviamo che in alternativa avremmo anche potuto prendere il segno meno.

Veniamo ora alla parte letterale. Ricordiamo sempre che dobbiamo prendere tutte le lettere che compaiono nei monomi, con il massimo esponente. Così abbiamo in conclusione:

\text{mcm}\left( 9p^4q^3; \: -18p^2q^3t\right)=18p^4q^3t

Esercizio 3

Determinare il mcm dei seguenti monomi:

-36m^4, \quad -18m^3n^2, \quad 16m^3n

Poiché valgono le scomposizioni in fattori primi:

36=3^2\cdot2^2; \quad 18=2\cdot3^2; \quad 16=2^4

abbiamo per il coefficiente del mcm del monomio:

\text{mcm}\left( -36, -18, 16\right)=2^4\cdot 3^2=16 \cdot 9 =144

In alternativa possiamo anche prendere il segno meno.

Per la parte letterale consideriamo come al solito tutte le lettere prese con il massimo esponente con il quale si presentano in tutti i monomi. Abbiamo in conclusione:

\text{mcm}\left( -36m^4; \: -18m^3n^2; \: 16m^3n\right) = 144m^4n^2

Come al solito attenzione a non confondersi con il massimo comune divisore. Dobbiamo prendere tutte le lettere che compaiono nei monomi, comuni e non comuni. Per cui la lettera n va comunque presa anche se non compare nel primo monomio.

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sul minimo comune multiplo di monomi è tutto.