In questa scheda vediamo degli esercizi sul prodotto (e quoziente) di radicali con lo stesso indice. Considereremo sia i casi di radicali numerici, sia i casi di radicali letterali.
Come abbiamo visto nella lezione teorica, la regola utilizzata negli esercizi sul prodotto di radicali con lo stesso indice si basa sulle proprietà delle potenze. In particolare, consideriamo la proprietà del prodotto tra potenze di uguale esponente. Ricordiamo infatti che è possibile riesprimere un radicale come una potenza ad esponente frazionario.
La regola pratica che utilizzeremo è la seguente: il prodotto tra radicali aventi lo stesso indice è uguale ad un radicale avente per radicando il prodotto dei radicandi. Inoltre, per il quoziente tra radicali vale una regola del tutto simile: il quoziente tra radicali con lo stesso indice è uguale ad un radicale avente per radicando il quoziente tra i radicandi.
Nel caso in cui i radicandi siano letterali, dovremo inoltre discutere le condizioni di esistenza, come mostreremo fra un istante.
Vediamo allora subito gli esercizi sul prodotto di radicali con lo stesso indice.
Esercizi svolti sul prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice
Prima parte: radicali con radicandi numerici
Esercizio 1
Calcolare il seguente prodotto fra radicali:
\sqrt{24} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{8}Abbiamo:
\sqrt{24} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{8}=\sqrt{24 \cdot 3 \cdot 8} = \sqrt{24^2} = 24Esercizio 2
Calcolare:
\sqrt{21} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{11}Abbiamo:
\sqrt{21} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{11}=\sqrt{21 \cdot 7 \cdot 33 \cdot 11}=Qui piuttosto che calcolare il prodotto conviene provare a scomporre in fattori primi ciascuna quantità:
=\sqrt{7 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 11} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2}=A questo punto applichiamo la proprietà del prodotto fra radicali con lo stesso indice nel senso inverso:
=\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{11^2} = 3 \cdot 7 \cdot 11 = 21 \cdot 11 = 210 + 21 = 231e siamo arrivati. Con le tecniche mostrate siamo riusciti ad arrivare al risultato finale senza l’utilizzo della calcolatrice.
Esercizio 3
Proseguiamo gli esercizi sul prodotto di radicali con lo stesso indice. Calcolare:
\sqrt[3]{-15} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{-9}Abbiamo:
\sqrt[3]{-15} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{-9}=\sqrt[3]{-15 \cdot 25 \cdot (-9)}=Osserviamo che è possibile portare fuori entrambi i segni meno dalla radice. Infatti:
\begin{align*} & =\sqrt[3]{\underbrace{(-1)^3 \cdot 15}_{-15} \cdot 25 \cdot \underbrace{(-1)^3 \cdot 9}_{-9}}=-1 \cdot (-1) \sqrt[3]{15 \cdot 25 \cdot 9}= \\ \\ & =\sqrt[3]{3\cdot 5 \cdot 5^2 \cdot 3^2 }=\sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} = 3 \cdot 5 =15\end{align*}Ancora una volta scomponendo le quantità in fattori ed utilizzando le proprietà delle potenze riusciamo a cavarcela con calcoli piuttosto immediati.
Esercizio 4
Calcolare:
\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}In questo caso abbiamo il rapporto tra due radicali. Vediamo di scrivere il quoziente corrispondente. Ricordiamo che il quoziente di due radicali con lo stesso indice è uguale ad un radicale con lo stesso indice e avente per radicando il rapporto tra i radicandi. Nel nostro caso:
\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{15}{3}}=\sqrt{5}Seconda parte: radicandi letterali
Passiamo ora ad esercizi sul prodotto di radicali con lo stesso indice ove i radicandi dipendono da una variabile.
Esercizio 5
Calcolare:
\sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1}Cominciamo dalle condizioni di esistenza dei singoli radicali:
a \geq 0, \qquad a-1 \geq 0 \iff a \geq 1
Affinché esista il prodotto tra i radicali devono valere contemporaneamente entrambe le condizioni. Quindi abbiamo per il prodotto la condizione di esistenza:
a \geq 1
Sotto tale condizione possiamo scrivere:
\sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1}= \sqrt{a(a-1)}Esercizio 6
Calcolare:
\sqrt{3-a} \cdot \sqrt{3+a}Per i singoli radicali abbiamo le condizioni di esistenza:
3-a \geq 0 \iff a \leq 3 , \qquad 3+a \geq 0 \iff a \geq -3
Dovendo valere entrambe le condizioni contemporaneamente abbiamo per il prodotto la condizione di esistenza:
-3 \leq a \leq 3
Sotto tale ipotesi possiamo scrivere:
\sqrt{3-a} \cdot \sqrt{3+a}=\sqrt{(3-a)(3+a)}=\sqrt{3^2-a^2}=\sqrt{9-a^2}Esercizio 7
Calcolare:
\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a(a+1)}}Per il radicale a numeratore abbiamo la condizione di esistenza:
\boxed{a \geq 0}Per il radicale a denominatore:
a(a+1) > 0
ovvero (ci chiediamo quando il prodotto {a(a+1)} è positivo):
\begin{cases}a< 0 \\ \\ a+1 < 0 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} a > 0 \\ \\ a+1 > 0 \end{cases}da cui:
\begin{cases}a < 0 \\ \\ a < -1 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} a > 0 \\ \\ a > -1\end{cases}e quindi:
\boxed{a < -1 \quad \vee \quad a > 0}NOTA: è ovviamente possibile in alternativa studiare il segno del prodotto {a(a+1)} per via grafica, come visto nella lezione teorica. Qui avendo due soli fattori abbiamo utilizzato il metodo algebrico, ricercando i valori della variabile per i quali i fattori nel prodotto sono tra loro concordi (stesso segno).
Inoltre, ricordiamo che il simbolo {\vee} significa “oppure”.
Così dovendo valere contemporaneamente entrambe le condizioni di esistenza del radicale a numeratore e a denominatore abbiamo per il quoziente la condizione di esistenza:
a > 0
Imponendo tale condizione possiamo in conclusione scrivere:
\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a(a+1)}}=\sqrt{\dfrac{a}{a(a+1)}}=\sqrt{\dfrac{1}{a+1}}Esercizio 8
Concludiamo questi esercizi sul prodotto e quoziente tra radicali con lo stesso indice con il seguente:
\sqrt{4+ \dfrac{1}{x}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2x}}Riscriviamo il primo radicale mettendo i termini sotto radice a denominatore comune:
\begin{align*} &\sqrt{4+ \dfrac{1}{x}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2x}}= \sqrt{\dfrac{4x+1}{x}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2x}}\end{align*}A questo punto imponiamo entrambi i radicandi non negativi:
\dfrac{4x+1}{x} \geq 0 \quad \wedge \quad \dfrac{1}{2x} \geq 0 Nota: il simbolo {\wedge} significa “e contemporaneamente”.
Cominciamo dalla prima condizione. Tenendo anche conto del fatto che dobbiamo escludere il valore {x=0} (i denominatori non possono essere nulli) abbiamo:
\begin{cases}4x+1 \leq 0 \\ \\ x < 0 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} 4x+1 \geq 0 \\ \\ x > 0 \end{cases}e quindi:
\begin{cases}x \leq -\dfrac{1}{4} \\ \\ x < 0 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} x \geq -\dfrac{1}{4}\\ \\ x > 0 \end{cases}ovvero:
\boxed{x \leq -\dfrac{1}{4} \quad \vee \quad x > 0}Per la seconda condizione abbiamo invece:
2x > 0 \iff \boxed{x > 0}E quindi dovendo valere entrambe le condizioni, otteniamo per il prodotto la condizione di esistenza:
x > 0
Sotto tale ipotesi abbiamo:
\begin{align*} &\sqrt{4+ \dfrac{1}{x}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2x}}= \sqrt{\dfrac{4x+1}{x}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2x}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{4x+1}{2x^2}}= \dfrac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{2x^2}} = \dfrac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{2} x}\end{align*}Osserviamo che al denominatore del risultato finale non abbiamo dovuto includere il fattore {x} entro il simbolo di modulo. Infatti vale la condizione {x > 0}.
Per quanto riguarda gli esercizi sul prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice è tutto. Buon proseguimento!
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