Esercizi sul prodotto di un polinomio per un monomio

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Monomi e polinomi (superiori)

Ci occupiamo in questa scheda di esercizi sul prodotto di un polinomio per un monomio. Nello svolgere gli esercizi utilizzeremo quanto appreso nella lezione teorica sul prodotto di un polinomio per un monomio.

Calcolare il prodotto di un polinomio per un monomio non è difficile e la corrispondente regola discende dalla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. In particolare, per moltiplicare un polinomio per un monomio ciò che facciamo è moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio, sommando tra loro i prodotti parziali via via ottenuti. Così il risultato del prodotto di un polinomio per un monomio è una somma di prodotti parziali. Ed avremo un prodotto parziale per ciascun termine del polinomio.

Fatti i richiami del caso vediamo subito gli esercizi su come calcolare il prodotto di un polinomio per un monomio.

Esercizi svolti su come calcolare il prodotto di un polinomio per un monomio

Esercizio 1

Calcolare il seguente prodotto tra un polinomio e un monomio:

(2x-y) \cdot 3ab

I prodotti parziali sono dati rispettivamente dal prodotto del primo termine del polinomio per il monomio:

2x\cdot3ab = 6abx

e dal prodotto del secondo termine del polinomio per il monomio:

-y \cdot 3ab=-3aby

Il risultato finale è dato dalla somma dei prodotti parziali appena scritti:

(2x-y) \cdot 3ab = 6abx - 3aby

Negli esercizi a seguire eviteremo di considerare separatamente i prodotti parziali. In questo esercizio lo abbiamo fatto soltanto per meglio chiarire il procedimento.

Esercizio 2

Calcolare il seguente prodotto tra un polinomio e un monomio:

\left( 3x-4y+2\right) \cdot (-2xy^2)

Abbiamo:

\begin{align*}& \left( 3x-4y+2\right) \cdot (-2xy^2)=3x \cdot (-2xy^2)-4y\cdot(-2xy^2)+2\cdot(-2xy^2)= \\ \\ & = -6x^2y^2+8xy^3-4xy^2\end{align*}

Esercizio 3

Calcolare il seguente prodotto:

\left( ax^4-3a^2x^3+4a^4x-a\right) \cdot (-2a^3x^3)

Ci ritroviamo con un polinomio di quattro termini (quadrinomio) ma nulla cambia rispetto agli esercizi precedenti. Dobbiamo soltanto stare attenti a non saltare dei termini. In altre parole, stiamo attenti a prendere tutti i prodotti parziali. Ricordiamo che dovremo avere tanti prodotti parziali quanti sono i termini nel polinomio.

\begin{align*}&  \left( ax^4-3a^2x^3+4a^4x-a\right) \cdot (-2a^3x^3) = \\ \\ & = ax^4 \cdot (-2a^3x^3) -3a^2x^3 \cdot (-2a^3x^3) + 4a^4x \cdot (-2a^3x^3)-a \cdot (-2a^3x^3) = \\ \\ & = -2a^4x^7+6a^5x^6-8a^7x^4+2a^4x^3\end{align*}

Esercizio 4

Calcolare il seguente prodotto:

(2ab+7a-5ab)\cdot 4a

Attenzione: il polinomio contiene dei termini simili. E’ quindi conveniente sommare prima i termini simili tra loro, per poi eseguire la moltiplicazione soltanto in un secondo momento. Intanto abbiamo:

(2ab+7a-5ab)\cdot 4a=(-3ab+7a) \cdot 4a

Così:

(-3ab+7a) \cdot 4a=-3ab \cdot 4a +7a \cdot 4a  = -12a^2b+28a^2

Esercizio 5

Calcolare il seguente prodotto di un polinomio per un monomio a termini frazionari:

\left( \dfrac{1}{2}ab^2+7ab-5a^2b^2\right) \cdot \dfrac{3}{4}b

Rispetto ai precedenti esercizi non cambia nulla. Dobbiamo soltanto ricordare le regole per la moltiplicazione di frazioni numeriche. Nel calcolare i prodotti parziali, è qui conveniente distinguere esplicitamente tra i prodotti tra i coefficienti e i prodotti tra le parti letterali.

\begin{align*}& \left( \dfrac{1}{2}ab^2+7ab-5a^2b^2\right) \cdot \dfrac{3}{4}b=   \\ \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot ab^2\cdot b + 7 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot ab \cdot b - 5 \cdot \dfrac{3}{4}\cdot a^2b^2 \cdot b = \\ \\ & = \dfrac{3}{8}ab^3+\dfrac{21}{4}ab^2-\dfrac{15}{4}a^2b^3\end{align*}

In questo modo riusciamo a lavorare comodamente con i prodotti tra frazioni evitando errori.

Per questi esercizi sul prodotto di un polinomio per un monomio è tutto. Per chi desidera allenarsi ulteriormente sono anche disponibili gli esercizi sulle espressioni con prodotti di polinomi per monomi. Ciao a tutti!