In questa scheda proponiamo una serie di esercizi sul prodotto tra polinomi. Per il calcolo del prodotto tra polinomi dovremo utilizzare le regole che abbiamo visto nella lezione sulla moltiplicazione tra polinomi. Negli esercizi a seguire ci limiteremo al caso del prodotto tra due soli polinomi, che è quello più ricorrente.
Ricordiamo che il prodotto tra due polinomi è esprimibile come somma di prodotti parziali, ove ciascun prodotto parziale è il prodotto del primo polinomio per uno dei termini del secondo polinomio. E chiaramente dovremo considerare un prodotto parziale per ciascun termine del secondo polinomio. Con questo approccio riusciamo ad effettuare la moltiplicazione tra due polinomi utilizzando al regola relativa al prodotto di un polinomio per un monomio.
Così ad esempio:
(a+b+c) \cdot (d+e) = (a+b+c) \cdot d + (a+b+c) \cdot e
A tal punto basterà calcolare i due prodotti fra un polinomio e un monomio, sommando poi tra loro tutti gli eventuali termini simili.
Vediamo allora subito nella pratica come si calcolano i prodotti tra polinomi svolgendo degli esercizi insieme.
Esercizi svolti sul prodotto tra polinomi (due polinomi)
Esercizio 1
Calcolare il seguente prodotto tra polinomi:
(1-x^2) \cdot (x-1)
Riesprimiamo il prodotto tra polinomi come somma dei prodotti parziali. Il primo prodotto parziale è dato dal prodotto del primo polinomio per il primo termine del secondo polinomio. Il secondo prodotto parziale è invece dato dal prodotto del primo polinomio per il secondo termine del secondo polinomio. Abbiamo quindi:
(1-x^2) \cdot (x-1)=(1-x^2) \cdot x + (1-x^2) \cdot (-1)=
A questo punto calcoliamo i due prodotti polinomio per monomio che compaiono nell’espressione appena scritta:
=1 \cdot x -x^2 \cdot x + 1 \cdot (-1) -x^2 \cdot (-1) = x-x^3-1+x^2=-x^3+x^2+x-1
e questo è il risultato finale del prodotto di partenza.
Esercizio 2
(4-5x) \cdot (1-2x)
In modo del tutto simile all’esercizio precedente abbiamo:
\begin{align*} &(4-5x) \cdot (1-2x) = 4 \cdot 1 - 5x \cdot 1 +4 \cdot (-2x)-5x \cdot (-2x) = \\ \\ & = 4-5x-8x+10x^2 =10x^2-13x+4\end{align*}Esercizio 3
(x+y) \cdot (x^2-xy+y^2)
In questo caso abbiamo il prodotto di un binomio per un trinomio. Se consideriamo il binomio come primo polinomio e il trinomio come secondo polinomio, scriveremo tre prodotti parziali, ciascuno dato dal prodotto del binomio per un termine del trinomio.
\begin{align*} &(x+y) \cdot (x^2-xy+y^2)=(x+y) \cdot x^2 + (x+y)\cdot(-xy) + (x+y) \cdot y^2 = \\ \\ & = x\cdot x^2+y\cdot x^2+x \cdot (-xy)+y \cdot (-xy) + x \cdot y^2 + y \cdot y^2 = \\ \\ & = x^3+\cancel{x^2y}-\cancel{x^2y}-\cancel{xy^2}+\cancel{xy^2}+y^3=x^3+y^3 \end{align*} Osserviamo che per la proprietà commutativa della moltiplicazione avremmo anche potuto considerare come primo polinomio il trinomio e come secondo polinomio il binomio. Ciò equivale in altre parole a considerare il prodotto di partenza come:
(x^2-xy+y^2) \cdot (x+y)
In questo modo dovremo considerare unicamente due prodotti parziali, ma otterremo lo stesso risultato finale:
\begin{align*} &(x^2-xy+y^2) \cdot (x+y) = (x^2-xy+y^2) \cdot x + (x^2-xy+y^2) \cdot y = \\ \\ & = x^2 \cdot x -xy \cdot x + y^2 \cdot x + x^2 \cdot y -xy \cdot y +y^2 \cdot y = \\ \\ & = x^3-\cancel{x^2y}+\cancel{xy^2}+\cancel{x^2y}-\cancel{xy^2}+y^3 =x^3+y^3\end{align*}E quindi possibile sfruttare la proprietà commutativa della moltiplicazione in modo da rileggere il prodotto tra polinomi da calcolare nella maniera che riesce più comoda.
Esercizio 4
(9x^2y^4-3xy^2+1) \cdot (3xy^2+1)
Stavolta procediamo in modo più spedito scrivendo direttamente i prodotti fra termini. Con questo approccio sarà possibile eseguire più rapidamente i calcoli relativi agli esercizi sul prodotto tra polinomi:
\begin{align*} & (9x^2y^4-3xy^2+1) \cdot (3xy^2+1) = \\ \\ & =27x^3y^6-\cancel{9x^2y^4}+\cancel{3xy^2}+\cancel{9x^2y^4}-\cancel{3xy^2}+1= \\ \\ & = 27x^3y^6+1 \end{align*}In pratica si tratta di sommare tra loro tutti i prodotti tra ciascun termine del primo polinomio e ciascun termine del secondo polinomio, secondo tutte le combinazioni possibili. Ciò si ottiene in questo caso sommando tra loro i seguenti prodotti:
- primo termine del primo polinomio per primo termine del secondo polinomio;
- secondo termine del primo polinomio per primo termine del secondo polinomio;
- terzo termine del primo polinomio per primo termine del secondo polinomio;
- primo termine del primo polinomio per secondo termine del secondo polinomio;
- secondo termine del primo polinomio per secondo termine del secondo polinomio;
- terzo termine del primo polinomio per secondo termine del secondo polinomio.
In altre parole moltiplichiamo tutti i termini del primo polinomio per il primo termine del secondo polinomio, quindi tutti i termini del primo polinomio per il secondo termine del secondo polinomio, sommando tra loro i vari prodotti via via scritti. In generale il processo termina quando abbiamo moltiplicato tra loro tutti i termini possibili.
E’ importante per gli esercizi sul prodotto tra polinomi tenere sempre in mente la seguente regola.
Un prodotto di un polinomio di m termini per un polinomio di n termini è esprimibile come somma di m \cdot n prodotti tra termini dei polinomi.
Così nel caso precedente il prodotto di un trinomio (tre termini) per un binomio (due termini) equivale alla somma di 3 \cdot 2 = 6 prodotti tra termini dei polinomi. Ciò è importante per poter controllare di aver scritto tutti i prodotti tra termini dei polinomi.
Esercizio 5
(x^2-3x+4) \cdot (x^2+3x+4)
Come nell’esercizio precedente, scriviamo direttamente i prodotti tra termini dei polinomi:
\small \begin{align*} &(x^2-3x+4) \cdot (x^2+3x+4) = \\ \\ & = x^2\cdot x^2 -3x \cdot x^2+4 \cdot x^2 +x^2 \cdot 3x - 3x \cdot 3x +4 \cdot 3x+x^2\cdot4-3x\cdot4+4\cdot4=\\ \\ & = x^4-\cancel{3x^3}+4x^2+\cancel{3x^3}-9x^2+\cancel{12x}+4x^2-\cancel{12x}+16=\\ \\ & = x^4+(4-9+4)x^2+16=x^4-x^2+16\end{align*}Osserviamo che nel passaggio evidenziato abbiamo nove prodotti tra termini dei polinomi. Ciò è corretto poiché effettivamente abbiamo il prodotto tra due polinomi di tre termini, e quindi 3 \cdot 3 = 9. Tale ricontrollo ci consente di affermare che non abbiamo dimenticato nessun prodotto tra termini dei polinomi.
In modo del tutto equivalente è anche possibile controllare il numero di termini che otteniamo dal calcolo del prodotto, prima di aver sommato tra loro i termini simili. E anche in questo caso, dovremo avere 3 \cdot 3 = 9 termini. E infatti, nel passaggio successivo a quello evidenziato abbiamo una somma di nove termini.
Esercizio 6
\left( \dfrac{2}{3}x^2-x+\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left( x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}\right)Come nell’esercizio precedente abbiamo un prodotto tra trinomi e di conseguenza dovremo scrivere nove prodotti tra termini dei polinomi. Ricordiamo che dovremo moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per il primo termine del secondo polinomio, quindi ciascun termine del primo polinomio per il secondo termine del secondo polinomio e così via.
\small \begin{align*} &\left( \dfrac{2}{3}x^2-x+\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left( x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}\right) = \\ \\ & =\dfrac{2}{3}x^2 \cdot x^2 - x \cdot x^2 +\dfrac{1}{3}\cdot x ^2 +\dfrac{2}{3}x^2 \cdot \dfrac{3}{2}x-x \cdot \dfrac{ 3}{2}x +\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{2}x+\dfrac{2}{3}x^2 \cdot \dfrac{1}{2}-x \cdot \dfrac{ 1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \\ \\ & =\dfrac{2}{3}x^4-\cancel{x^3}+\dfrac{1}{3}x^2+\cancel{x^3}-\dfrac{3}{2}x^2+\cancel{\dfrac{1}{2}x}+\dfrac{1}{3}x^2-\cancel{\dfrac{1}{2}x}+\dfrac{1}{6} = \\ \\ & = \dfrac{2}{3}x^4 +\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}\right)x^2+\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}x^4-\dfrac{5}{6}x^2+\dfrac{1}{6}\end{align*}Osserviamo che nel secondo passaggio abbiamo una somma tra 3 \cdot 3 = 9 termini. Per cui non abbiamo dimenticato nessuna coppia di termini nei prodotti.
Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sul prodotto tra polinomi è tutto. Per più esercizi: espressioni con somme e prodotti tra polinomi. Buono studio!
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