Esercizi sul quadrato di un binomio

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Monomi e polinomi (superiori)

Presentiamo una serie di esercizi sul prodotto notevole quadrato di un binomio, svolti e commentati. Gli esercizi sono tarati per difficoltà crescente e consentono di acquisire dimestichezza con il calcolo del quadrato di un binomio, dagli esempi più semplici fino a quelli più elaborati.

Come nella lezione teorica sul quadrato di un binomio intenderemo la somma {a+b} nell’espressione generale del quadrato di un binomio come somma algebrica. Così ad esempio:

\begin{align*}  &(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2; \\ \\ &  (a-b)^2 = [a+(-b)]^2  = \\ \\ & =  a^2+ 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2 = a^2 -2ab + b^2; \\ \\ & (-a+b)^2 = (-a)^2 + 2 \cdot (-a) \cdot b+(b)^2 = a^2-2ab+b^2; \\ \\ & (-a-b)^2 = (-a)^2 - 2 \cdot (-a) \cdot (-b) + (-b)^2 = a^2+2ab+b^2\end{align*}

Tale approccio rende più agevole lo svolgimento degli esercizi sul quadrato di un binomio poiché consente di utilizzare una sola formula. Infatti è possibile utilizzare l’unica regola {(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2} a patto di prendere sempre i termini {a} e {b} con il loro segno.

Fatte le dovute premesse vediamo subito gli esercizi sul quadrato di un binomio.

Esercizi svolti e commentati sul quadrato di un binomio

Esercizio 1

(3x^2+2)^2

Il primo termine nel binomio è {3x^2} mentre il secondo termine è {2}. I loro quadrati sono rispettivamente {(3x^2)^2=\boxed{9x^4}} e {2^2=\boxed{4}}. Non dimentichiamo il loro doppio prodotto:

2 \cdot 3x^2 \cdot 2 = \boxed{12x^2}

Così sommando tutte le quantità evidenziate possiamo scrivere:

(3x^2+2)^2=9x^4+12x^2+4

In pratica abbiamo applicato la regola{(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2} con {a=3x^2} e {b=2}.

Attenzione a non farsi ingannare. Come abbiamo visto il termine {3x^2} deve essere elevato al quadrato (e non è da intendersi già elevato al quadrato come in apparenza potrebbe sembrare).

Esercizio 2

(3xy-4y)^2

Il quadrato del primo termine è {(3xy)^2 = \boxed{9x^2y^2}}. Il quadrato del secondo termine è {(-4y)^2=(-4)^2 \cdot (y)^2 = \boxed{16y^2}} (prestiamo attenzione al fatto che il quadrato di un termine negativo è positivo). Per il doppio prodotto:

2 \cdot 3xy \cdot (-4y) = \boxed{-24xy^2}

così otteniamo in conclusione:

(3xy-4y)^2 = 9x^2y^2-24xy^2+16y^2

Osserviamo che il doppio prodotto è negativo poiché i termini nel binomio di partenza sono discordi. In altre parole, se nel binomio da elevare al quadrato un termine è positivo ed uno è negativo, il corrispondente doppio prodotto dovrà essere necessariamente negativo. Quindi nello svolgere gli esercizi attenzione ai segni.

Esercizio 3

\left( \dfrac{5}{3}x-\dfrac{2}{3}y^3\right)^2

Abbiamo:

\begin{align*} &\left( \dfrac{5}{3}x-\dfrac{2}{3}y^3\right)^2 = \left( \dfrac{5}{3}\right)^2x^2+2 \cdot \dfrac{5}{3}x \cdot \left( -\dfrac{2}{3}y^3 \right)+\left( -\dfrac{2}{3}y^3\right)^2 = \\ \\ & =\dfrac{25}9{x^2-\dfrac{20}{9}}xy^3+\dfrac{4}{9}y^6 \end{align*}

Esercizio 4

Proseguiamo gli esercizi sul quadrato di un binomio con il seguente:

\left( \dfrac{a^3+6b}{3}\right)^2

Ci ritroviamo con un binomio espresso sotto forma di frazione. Osserviamo che non abbiamo al denominatore nessuna lettera per cui ci ritroviamo ancora nell’insieme dei polinomi.

Qui possiamo procedere in due modi. Il primo modo consiste nell’applicare la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione, scrivendo:

\begin{align*} &\left( \dfrac{a^3+6b}{3}\right)^2 = \left( \dfrac{a^3}{3}+\dfrac{6b}{3}\right)^2= \\ \\ & =\left( \dfrac{a^3}{3}\right)^2+2 \cdot \dfrac{a^3}{3}\cdot \dfrac{6b}{3}+\left(2b\right)^2=\dfrac{a^6}{9}+\dfrac{4}{3}a^3b+4b^2 \end{align*}

L’altro metodo consiste nell’applicare la regola della potenza di una frazione, elevando al quadrato numeratore e denominatore:

\begin{align*} &\left( \dfrac{a^3+6b}{3}\right)^2 =\dfrac{\left( a^3+6b\right)^2}{3^2}=\dfrac{(a^3)^2+2\cdot a^3 \cdot 6b + (6b)^2}{9} = \\ \\ & =\dfrac{a^6+12a^3b+36b^2}{9}=\dfrac{a^6}{9}+\dfrac{12}{9}a^3b+\dfrac{36}{9}b^2 =\dfrac{a^6}{9}+\dfrac{4}{3}a^3b+4b^2\end{align*}

Esercizio 5

(a^n-1)^2

In questo caso ci ritroviamo con un esponente letterale. Nulla cambia in realtà rispetto ai casi differenti, se non il fatto di dover lasciare indicate le somme ed i prodotti tra esponenti nei quali interviene l’esponente letterale. In generale avremo ad esempio:

a^n \cdot a^2 = a^{n+2}; \qquad (a^n)^2=a^{n \cdot 2}=a^{2n}

Così nel nostro caso:

(a^n-1)^2=(a^n)^2+2 \cdot a^n \cdot (-1) +(-1)^2 = a^{2n}-2a^n+1

Esercizio 6

\left( x^{n+2}-x^2\right)^2

Per le considerazioni generali sugli esponenti letterali date nell’esercizio precedente abbiamo:

\small \left( x^{n+2}-x^2\right)^2=\left( x^{n+2}\right)^2+2 \cdot x^{n+2} \cdot (-x^2)+(-x^2)^2 = x^{2n+4}-2x^{n+4}+x^4

Osserviamo separatamente cosa succede per ciascuna singola quantità in modo da chiarire i passaggi appena eseguiti:

\begin{align*} &\left( x^{n+2}\right)^2 = x^{(n+2)\cdot2} = x^{2n+4} ; \\ \\ &2  \cdot x^{n+2}\cdot (-x^2)=2 \cdot x^{n+2} \cdot (-1) \cdot x^2 = -2 x^{n+2+2} = -2x^{n+4}; \\ \\ &(-x^2)^2 = \left(-1 \cdot x \right)^2 = (-1)^2 \cdot (x^2)^2 = x^4 \end{align*}

Abbiamo in pratica calcolato al rallentatore il quadrato del primo termine, il doppio prodotto e il quadrato del secondo termine, sfruttando passo per passo tutte le proprietà delle potenze applicabili.

Esercizio 7

Calcolare il seguente quadrato di un quadrinomio:

(ab+2a^2b-7ab^2+8a^3b^2)^2

Come abbiamo visto nella lezione teorica correlata, il trucco è riscrivere il quadrinomio come somma algebrica di due binomi. Nel nostro caso abbiamo:

ab+2a^2b-7ab^2+8a^3b^2=(ab+2a^2b)+(-7ab^2+8a^3b^2)

Di conseguenza si tratterà di calcolare il seguente quadrato di un “binomio”:

\left[ (ab+2a^2b)+(-7ab^2+8a^3b^2)\right]^2

ponendo {A=ab+2a^2b} e {B=-7ab^2+8a^3b^2)} utilizzando ovviamente la regola {(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2}.

Abbiamo:

\begin{align*} &\big[ \underbrace{(ab+2a^2b)}_{A}+\underbrace{(-7ab^2+8a^3b^2)}_{B}\big]^2  =\\ \\ & =\underbrace {(ab+2a^2b)^2}_{A^2}+\underbrace{2 \cdot (ab+2a^2b) \cdot (-7ab^2+8a^3b^2)}_{2AB} +\underbrace{(-7ab^2+8a^3b^2)^2}_{B^2} = \end{align*}

Ora non resta che calcolare i quadrati dei binomi e il prodotto tra binomi relativo al doppio prodotto:

\small \begin{align*} &=a^2b^2+4a^3b^2+4a^4b^2+2\left(-7a^2b^3-14a^3b^3+8a^4b^3+16a^5b^3 \right)+\\ \\ & +49a^2b^4-112a^4b^4+64a^6b^4 = \\ \\ & =a^2b^2+4a^3b^2+4a^4b^2-14a^2b^3-28a^3b^3+16a^4b^3+\\ \\ & +32a^5b^3+49a^2b^4-112a^4b^4+64a^6b^4 \end{align*}

Esercizio 8

Proseguiamo con questa scheda di esercizi sul quadrato di un binomio con la seguente espressione:

\left[ (x-2y)^2+4xy\right]^2

E’ qui conveniente provare a sviluppare il quadrato di un binomio all’interno delle parentesi quadre e vedere se è poi possibile sommare dei termini simili. La speranza è quella di ridurci al quadrato di un binomio.

\left[ (x-2y)^2+4xy\right]^2 = (x^2-\cancel{4xy}+4y^2+\cancel{4xy})^2 =(x^2+4y^2)^2  

A questo punto procediamo in maniera immediata:

(x^2+4y^2)^2 = (x^2)^2 +2 \cdot x^2 \cdot 4y^2 + (4y^2)^2 = x^4+8x^2y^2+16y^4

Esercizio 9

Concludiamo questa serie di esercizi sul quadrato di un binomio con il seguente:

[a-(1-b)^2]^2

Proviamo a sviluppare il quadrato di un binomio dentro alle parentesi quadre:

[a-(1-b)^2]^2=\left[ a-(1-2b+b^2)\right]^2=(a-1+2b-b^2)^2

Come possiamo vedere non abbiamo termini simili e ci siamo ridotti al caso del quadrato di un quadrinomio (vedi esercizio 7 di questa scheda). Abbiamo:

(a-1+2b-b^2)^2=[(a-1)+(2b-b^2)]^2

e ponendo {A=a-1} e {B=2b-b^2} possiamo scrivere:

\begin{align*} & [\underbrace{(a-1)}_{A}+\underbrace{(2b-b^2)}_{B}]^2  = A^2 + 2AB + B^2 = \\ \\ & =(a-1)^2+2(a-1)(2b-b^2)+(2b-b^2)^2=\\ \\ & =a^2-2a+1+2(2ab-2b-ab^2+b^2)+4b^2-4b^3+b^4=\\ \\ & =a^2-2a+1+4ab-4b-2ab^2+2b^2+4b^2-4b^3+b^4=\\ \\ & =a^2-2a+1+4ab-4b-2ab^2+6b^2-4b^3+b^4\end{align*}

Conclusioni

Per quanto riguarda gli esercizi sul quadrato di un binomio per questa scheda è tutto. Gli esercizi qui presentati consentono già di avere una preparazione completa sul quadrato di un binomio. Ulteriori approfondimenti sono comunque disponibili nella scheda relativa agli esercizi sul completamento di quadrati e alla scheda sulle espressioni con quadrati di binomi. Buono studio!