In questa scheda proponiamo degli esercizi relativi alla scomposizione con la regola del trinomio caratteristico (o trinomio particolare, o trinomio notevole con somma e prodotto).
Come abbiamo visto nella lezione sul trinomio caratteristico, il metodo di scomposizione riguarda trinomi del tipo {ax^2+bx+c} che non possono essere scomposti con la regola del quadrato di un binomio. Negli esercizi sulla scomposizione con il trinomio caratteristico di questa scheda, ci occuperemo sia del caso in cui sia {a=1}, sia del caso in cui sia {a \neq 1}. A seconda che il coefficiente del termine di secondo grado sia {1} o diverso da {1}, la tecnica da utilizzare per scomporre il trinomio infatti cambia.
Svolgeremo infine a conclusione della scheda alcuni esercizi sulla scomposizione con il trinomio caratteristico nel caso di trinomi aventi più lettere.
Esercizi sul trinomio caratteristico: coefficiente del termine di secondo grado unitario
Cominciamo con degli esercizi sulla scomposizione del trinomio caratteristico relativi al caso di coefficiente del termine di secondo grado uguale ad {1}. In altre parole scomporremo trinomi della forma:
x^2+bx+c
Ricordiamo che il nostro obiettivo è, se possibile, scomporre il polinomio dato come:
x^2+bx+c=(x+m)(x+n)
ove {m} e {n} sono due numeri tali che:
m+n=b, \qquad m\cdot n = c
ovvero due numeri la cui somma è uguale al coefficiente della {x} e il cui prodotto è uguale al termine noto {c}.
Se i due numeri non esistono concluderemo che il trinomio non può essere scomposto con la regola del trinomio caratteristico.
Esercizio 1
Scomporre:
x^2-3x+2
Il coefficiente del termine in {x} è uguale a {-3}, mentre il termine noto è uguale a {2}. Così dobbiamo cercare due numeri {m} e {n} tali che {m+n=-3} e {m \cdot n = 2}. Ricerchiamo i due numeri tra le coppie formate da numeri presi tra tutti i possibili divisori del termine noto, ovvero:
\pm 1, \quad \pm 2
Quindi ricercheremo i due numeri tra le coppie {1, \: 2}, {-1, \: 2}, {1, \: -2} e così via.
Osservazione. Scritture del tipo {\pm n} indicano entrambi i valori positivi e negativi del numero {n}. Così ad esempio con la scrittura {\pm 1} intendiamo entrambi i valori {1} e {-1}.
Il metodo più semplice consiste nell’individuare due numeri che abbiano somma (algebrica) uguale al coefficiente del termine in {x}, e quindi verificare che il loro prodotto sia uguale al termine noto del trinomio. Talvolta può essere comunque più conveniente ragionare partendo dal prodotto dei termini, quindi verificando la loro somma.
Nel nostro caso osserviamo che {-2+(-1)=-3} e che {-2 \cdot (-1)=2}. Di conseguenza abbiamo {m=-2} e {n=-1}. Così a partire dalla relazione generale:
x^2+bx+c=(x+m)(x+n), \qquad m+n=b, \quad m\cdot n = c
per il trinomio che dobbiamo scomporre possiamo scrivere:
x^2-3x+2 = (x-2)(x-1)
e questa è la scomposizione del trinomio caratteristico assegnato.
E’ utile specialmente quando si è all’inizio verificare il risultato ottenuto:
(x-2)(x-1)=x^2-2x-x+2=x^2-3x+2
e ritroviamo correttamente il trinomio di partenza.
Esercizio 2
x^2+11x+30
Ricerchiamo due numeri la cui somma sia {11} e il cui prodotto sia {30}. Osserviamo che {6+5=11} e che {6 \cdot 5 = 30}. Così abbiamo {m=6} e {n=5}. Possiamo allora scrivere la scomposizione:
x^2+11x+30=(x+6)(x+5)
Esercizio 3
Proviamo a scomporre il seguente trinomio caratteristico:
x^2+9x+18
Ricerchiamo i due numeri tra tutti i possibili divisori del termine noto:
\pm1, \: \pm 2, \; \pm 3, \: \pm 6, \: \pm 9, \: \pm18
Possiamo costruire le coppie prendendo prima il primo e l’ultimo termine, poi il secondo e il penultimo termine e così via. In questo caso conviene subito prestare attenzione ai termini centrali, ovvero {\pm3} e {\pm 6}. Attenzione: il metodo per costruire le possibili coppie è indicativo e dobbiamo comunque prestare attenzione a considerare tutte le possibili coppie. Ovviamente ci fermeremo una volta trovata la coppia che soddisfa i requisiti.
Abbiamo {6+3=9} e {6 \cdot 3 = 18}. Per cui i numeri cercati sono {m=6} e {n=3}. Possiamo allora scomporre il trinomio come:
x^2+9x+18=(x+6)(x+3)
Esercizio 4
Proseguiamo gli esercizi sulla scomposizione con il trinomio caratteristico con il seguente:
x^2+12x+11
Osserviamo che {11+1=12} e che {11 \cdot 1 = 11}. Così abbiamo {m=11} e {n=1} e possiamo scrivere:
x^2+12x+11=(x+11)(x+1)
Esercizio 5
Concludiamo gli esercizi sul trinomio caratteristico con coefficiente del termine di secondo grado uguale a {1} con il seguente. Passeremo poi al caso di trinomi con coefficiente del termine di secondo grado diverso da {1}.
x^2+x-56
Dobbiamo trovare due numeri la cui somma sia uguale a {1} e il cui prodotto sia uguale a {56}. Abbiamo {-7 +8 = 1} e {-7 \cdot 8 = 56}. Di conseguenza i due numeri cercati sono {m=-7} e {n=8}. Possiamo quindi scrivere:
x^2+x-56=(x-7)(x+8)
Con l’esperienza è possibile trovare rapidamente i due numeri {m} e {n}. Tuttavia, in caso di difficoltà basta scrivere come già sappiamo tutti i divisori di {-56} e testare le possibili coppie.
\pm 1, \: \pm4, \: \pm 7, \: \pm 8 , \: \pm 14, \: \pm28, \: \pm 56
E come visto esaminando i numeri {\pm7, \: \pm 8} è possibile trovare la coppia cercata.
Esercizio 6
Proseguiamo gli esercizi sulla scomposizione con il trinomio caratteristico con il seguente.
x^2+3x-4
Ricerchiamo due numeri la cui somma sia {3} e il cui prodotto sia {-4}. Osserviamo che {4-1=3} e {4 \cdot (-1) = 4}. Quindi abbiamo {m=4} e {n=-1}. Di conseguenza possiamo scrivere la scomposizione:
x^2+3x-4=(x+4)(x-1)
Esercizi sul trinomio caratteristico: coefficiente del termine di secondo grado diverso da 1
Passiamo ora ad esercizi sulla scomposizione del trinomio caratteristico (trinomio particolare, trinomio notevole somma prodotto) nei quali il coefficiente del termine di secondo grado è diverso da {1}. Vogliamo cioè scomporre ora trinomi della forma più generale:
ax^2+bx+c, \qquad a \neq 1
L’idea è quella di ricercare due numeri {h} e {k} tali che si abbia {h+k=b} e {k= a \cdot c}. In altre parole dobbiamo cercare due numeri la cui somma (algebrica) sia uguale al coefficiente del termine in {b} e il cui prodotto sia uguale al prodotto del termine noto per il coefficiente del termine in {x^2}.
Trovati i due numeri dovremo riscrivere il trinomio come:
ax^2+(h+k)x+c=ax^2+hx+kx+c
e quindi operare due raccoglimenti parziali seguiti da un raccoglimento totale.
Se non è possibile trovare i due numeri {h} e {k} vuol dire che il trinomio non è caratteristico e non può quindi essere scomposto con la regola appena esposta.
Esercizio 7
Scomporre il seguente trinomio caratteristico:
6x^2+23x+7
Ricerchiamo due numeri {h} e {k} tali che {h+k=23} e {h \cdot k = 6\cdot7= 42}.
In questo caso conviene partire dal prodotto {42}. Osserviamo che {42} è divisibile per {2} e in particolare {21 \cdot 2 = 42}. Poiché abbiamo inoltre {21+2=23}, concludiamo che abbiamo {h=21} e {k=2}. Così possiamo scrivere:
6x^2+23x+7=6x^2+(21+2)x+7=6x^2+21x+2x+7=
Conviene riordinare i termini dell’ultima espressione scritta come segue:
=6x^2+2x+21x+7=
Ciò deriva dal fatto che il coefficiente di {21x} è multiplo del termine noto {7}. Con questa scelta è possibile eseguire due raccoglimenti parziali come segue:
=2x(3x+1)+7(3x+1)=
e concludiamo con un raccoglimento totale per la quantità {3x+1}:
=(3x+1)(2x+7)
Così in conclusione abbiamo la scomposizione:
6x^2+23x+7=(3x+1)(2x+7)
Esercizio 8
Proseguiamo gli esercizi sul trinomio caratteristico con coefficiente del termine di secondo grado diverso da {1} con il seguente:
8x^2+2x-15
Ricerchiamo due numeri {h} e {k} aventi per somma {2} e per prodotto {8 \cdot (-15) = -120}. Poiché {-120=12 \cdot (-10)} e {12+(-10)=2} i due numeri cercati sono {h=12} e {k=-10}. Abbiamo quindi:
8x^2+2x-15=8x^2+(12-10)x-15=8x^2+12x-10x-15=
Eseguiamo i raccoglimenti parziali:
=4x(2x+3)+5(-2x-3)=
Osserviamo che le quantità dentro le parentesi tonde sono una l’opposta dell’altra. Non possiamo quindi al momento eseguire il raccoglimento totale. Basta tuttavia eseguire ad esempio il secondo raccoglimento parziale per il termine {-5} e non {5}:
=4x(2x+3)-5(2x+3)=
A questo punto sì, è possibile eseguire il raccoglimento totale:
=(2x+3)(4x-5)
Possiamo quindi scrivere in conclusione:
8x^2+2x-15=(2x+3)(4x-5)
Esercizi sul trinomio caratteristico con più lettere
Veniamo ora all’ultima casistica di esercizi sul trinomio caratteristico, occupandoci del caso di trinomi con più lettere.
Come già visto nella lezione teorica, l’idea è quella di attribuire ad una lettera il significato di variabile, attribuendo all’altra lettera o alle altre lettere il significato di parametri. Con tale approccio ci ritroveremo in pratica con un trinomio a coefficienti parametrici. E in altre parole dovremo trattare tutte le lettere diverse dalla varabile scelta come numeri.
Per il resto, continueremo ad applicare né più né meno le regole viste negli esercizi precedenti. In alcuni casi se possibile la scelta della variabile dovrà essere fatta in modo tale da assicurarsi di ricadere nel più semplice caso di trinomio caratteristico con coefficiente del termine di secondo grado uguale a {1}.
Esercizio 9
Scomporre il seguente trinomio caratteristico (trinomio particolare o trinomio notevole) con più lettere:
-120z^2-y^2+22yz
Osserviamo che il coefficiente del termine in {z^2} è diverso da {1}, mentre il termine in {y^2} è uguale a {1} (a meno del segno). Per cui conviene considerare come variabile la {y}, in modo da ricadere nel caso più semplice. Riscriviamo allora il trinomio riordinandolo per potenze decrescenti della {y}.
-y^2+22yz-120z^2
In questo modo il grado dei termini dovrà essere inteso rispetto alla variabile {y}. E i coefficienti dei termini del trinomio dipendono dal parametro {z}. Per maggiore chiarezza, evidenziamo i coefficienti e il termine noto nel trinomio:
\boxed{-1}y^2\boxed{+22z }y\boxed{-120z^2}Osserviamo che abbiamo riscritto il termine {22yz} come {22zy} in modo da poter meglio evidenziare il coefficiente parametrico {22z}.
Poiché per utilizzare il metodo più semplice il coefficiente del termine di secondo grado deve essere {1} (e non {-1}), in questo caso dobbiamo raccogliere il trinomio per {-1} (così facendo si dice che evidenziamo un segno meno):
-1(y^2-22zy+120z^2)
A questo punto possiamo scomporre il trinomio dentro le parentesi tonde, ricercando due quantità aventi per somma {-22z} e per prodotto {120z^2}. Osserviamo che {120=-12 \cdot (-10)} e che {-12+(-10)=-22}. Inoltre se il prodotto è di secondo grado rispetto a z, i singoli fattori dovranno essere di primo grado rispetto a {z}. Così in conclusione abbiamo le due quantità {m=-12z} e {n=-10z}. Possiamo quindi scrivere:
-1(y^2-22zy+120z^2)=-1(y-12z)(y-10z)=(12z-y)(y-10z)
Così abbiamo in conclusione la scomposizione:
-120z^2-y^2+22yz=(12z-y)(y-10z)
Esercizio 10
Veniamo all’ultimo di questa serie di esercizi sul trinomio caratteristico. Scomporre:
-x^2+14ax-33a^2
Conviene considerare il trinomio nella variabile {x}, raccogliendo un segno meno:
-(x^2-14ax+33a^2)
Ragioniamo sul trinomio dentro le parentesi. Dobbiamo trovare due quantità {m} e {n} tali che {m+n=-14a} e {m\cdot n=33a^2}. Osserviamo che {-11a \cdot (-3a) = 33a^2 } e inoltre {-11a+(-3a)=-14a}. Allora possiamo scrivere:
-(x^2-14ax+33a^2)=-(x-11a)(x-3a)=(11a-x)(x-3a)
e quindi in conclusione:
-x^2+14ax-33a^2=(11a-x)(x-3a)
Conclusioni
Per quanto riguarda gli esercizi sul trinomio caratteristico (o trinomio notevole con somma e prodotto, o trinomio particolare) è tutto. Abbiamo visto le varie casistiche per cui con le informazioni qui contenute dovreste essere in grado di risolvere tutti gli esercizi. Buon proseguimento!
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