Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi sulla definizione di insieme. Si tratta di esercizi nei quali rifletteremo sulla definizione di insieme stabilendo ad esempio se un dato elemento appartiene ad un certo insieme oppure no.
Come abbiamo visto nella lezione teorica sulla definizione di insieme, in un insieme è possibile stabilire con certezza se un elemento appartiene o no all’insieme. Di conseguenza, sarà possibile riconoscere se dei gruppi di oggetti (matematici e non) rappresentano effettivamente un insieme oppure no. In particolare, un insieme dovrà essere costruito utilizzando le regole della logica e della matematica, e non certo dei criteri personali. Ad esempio, l’insieme dei numeri naturali è un insieme in senso matematico, mentre l’insieme delle belle ragazze non è un insieme in senso matematico.
Vediamo allora di mettere in pratica i concetti richiamati svolgendo insieme degli esercizi relativi alla definizione di insieme.
Esercizi svolti sulla definizione di insieme
Esercizio 1
Stabilire se il seguente è un insieme:
le lettere dell’alfabeto greco.
E’ sicuramente possibile stabilire senza ombra di dubbio se una lettera appartiene all’alfabeto greco. Ad esempio, la lettera {\alpha} appartiene all’alfabeto greco, mentre la lettera a no. Inoltre, ciascuna lettera dell’alfabeto greco è distinta dall’altra.
Di conseguenza, l’insieme delle lettere dell’alfabeto greco è costituito da elementi distinti tra loro per i quali è possibile stabilire con certezza l’appartenenza all’insieme. Quindi in conclusione, l’insieme delle lettere dell’alfabeto è un insieme in senso matematico.
Esercizio 2
Stabilire se il seguente è un insieme:
gli alunni bravi della tua scuola.
Apparentemente il criterio di “alunno bravo” richiamerebbe un concetto abbastanza oggettivo. Infatti, un “alunno bravo” è ad esempio un alunno che ha tutti voti sufficienti, mentre chi ha delle insufficienze generalmente non può essere ritenuto un “alunno bravo”. Tuttavia, è anche bravo un alunno che ha tutti sei, oppure per essere bravo occorre avere almeno tutti sette? E ancora, un alunno che ha tutti otto è bravo allo stesso modo di un alunno che ha tutti sette?
Di conseguenza, il concetto di “alunno bravo” è troppo generico e suscettibile di interpretazioni personali.
Quindi, in conclusione, l’insieme degli alunni bravi non rispetta la definizione di insieme, e quindi non è un insieme in senso matematico.
Esercizio 3
L’insieme degli alunni degli istituti tecnici è un insieme?
Sicuramente, poiché è possibile stabilire con certezza se uno studente frequenta un istituto tecnico oppure no. Dunque l’insieme dato rispetta la definizione di insieme.
Esercizio 4
L’insieme dei numeri interi il cui quadrato è minore di {16} è un insieme?
Osserviamo che è possibile stabilire con certezza se un numero intero è tale da avere il quadrato minore di {16} oppure no. Ad esempio, il quadrato del numero {3} è minore di {16} ({3^2=9 < 16}). Invece, il quadrato del numero {5} è maggiore di {16} ({5^2=25>16}). Quindi {3} appartiene all’insieme, mentre {5} no.
Di conseguenza l’insieme dato è un insieme in senso matematico.
Esercizio 5
Proseguiamo con gli esercizi sulla definizione di insieme, proponendo ancora esercizi nello stile dei precedenti.
Stabilire se l’insieme delle frazioni decimali è un insieme.
Osserviamo che per ciascuna frazione è possibile stabilire con certezza se questa è decimale oppure no. Basta infatti osservare se il denominatore della frazione è {10} oppure una potenza di {10}. Ma allora, l’insieme delle frazioni decimali è un insieme.
NOTA: negli esercizi 3,4 e 5 chiaramente tutti gli elementi degli insiemi sono distinti tra loro.
Esercizio 6
Stabilire se il seguente elenco di colori è un insieme:
\left\{ \text{rosso}, \text{verde}, \text{arancione}, \text{fucsia}, \text{amaranto}, \text{verde}\right\}Osserviamo che nell’elenco è presente una ripetizione (il colore verde compare due volte). Per cui tale elenco di colori non rappresenta un insieme in senso matematico.
Esercizio 7
L’insieme delle più grandi capitali d’America è un insieme in senso matematico?
La risposta è no poiché il concetto di “grande” è relativo: grande per numeri di abitanti? O per estensione? O per prestigio in un determinato ambito?
Di conseguenza, l’insieme delle più grandi capitali d’America non è un insieme.
Passiamo ora ad una tipologia di esercizi sulla definizione di insieme che consistono nello stabilire se un certo elemento appartiene ad un dato insieme oppure no.
Esercizio 8
L’elemento {x=17} appartiene all’insieme dei numeri primi?
L’elemento {x = 17} è un numero primo e quindi appartiene all’insieme dei numeri primi. Possiamo quindi scrivere:
x \in P
con {P} insieme dei numeri primi.
Esercizio 9
Un qualunque numero naturale esprimibile come il doppio di un certo numero naturale appartiene all’insieme dei numeri naturali pari?
Se dato un qualsiasi numero naturale (pari o dispari che sia) ne calcoliamo il doppio, otteniamo sempre un numero pari. Quindi, un qualunque numero naturale del tipo indicato è un numero pari:
x = 2 \cdot n, \quad n \in \N \quad \Rightarrow \quad x \in A
con {A} insieme dei numeri pari.
Esercizio 10
L’elemento {x=-4} appartiene all’insieme dei numeri interi relativi aventi per quadrato {16}?
Osserviamo che dato {x=-4} si ha {x^2=(-4)^2=16}. Di conseguenza indicato con {B} l’insieme dei numeri interi relativi aventi per quadrato {16}, abbiamo:
x \in B
Quindi l’elemento in esame appartiene all’insieme considerato.
Esercizio 11
Concludiamo gli esercizi sulla definizione di insieme con il seguente:
l’elemento {x=4} appartiene all’insieme dei numeri dispari minori di {6}?
Osserviamo che il numero {4} è minore di {6} ma non è dispari. Per cui l’elemento {x=4} non appartiene all’insieme dei numeri dispari minori di {6}. Indicato tale insieme con {C}, abbiamo:
x \not \in C
Conclusioni
Per quanto riguarda gli esercizi sulla definizione di insieme per questa scheda è tutto. Osserviamo che per un corretto svolgimento degli esercizi è fondamentale avere ben presente la definizione di insieme, nella quale ci siamo occupati nella lezione teorica correlata (vedi link in basso).
Capiterà spesso di dover stabilire se un dato oggetto matematico appartiene ad un certo insieme oppure no. Quindi è bene far comunque tesoro di quanto appreso nella presente esercitazione, anche se di livello di difficoltà piuttosto base. Buon proseguimento a tutti voi! 🙂
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