Esercizi sulla definizione di monomio e prime proprietà

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Monomi e polinomi (superiori)

In questa scheda vi proponiamo degli esercizi sulla definizione di monomio e prime proprietà. Avrete così modo di testare quanto appreso nella lezione sulla definizione di monomio.

Gli esercizi sulla definizione di monomio qui proposti saranno utili per meglio comprendere le nozioni di monomi in forma normale, monomi simili, grado di un monomio, monomi opposti.

Cominciamo allora subito a svolgere insieme questi esercizi sulla definizione di monomio.

Esercizi sulla definizione di monomio e relative proprietà

Presentiamo gli svolgimenti degli esercizi in varie parti, ciascuna corrispondente ai temi trattati nella lezione teorica.

Riconoscere i monomi

Esercizio 1

Stabilire se le seguenti espressioni sono monomi:

5x^2, \quad \dfrac{7}{2}xy^2, \qquad 9x+7x^2y, \qquad \dfrac{2xy^2}{z}, \qquad a^2b^3c^5

L’espressione 5x^2 è un monomio poiché effettivamente compaiono solo moltiplicazioni.

Anche l’espressione \dfrac{7}{2}xy^2 è un monomio. La divisione riguarda infatti soltanto la parte numerica e non vi sono lettere al denominatore. Si tratta quindi di un monomio con coefficiente frazionario.

L’espressione 9x+7x^2y non è un monomio. Infatti, oltre alla moltiplicazione compare anche l’operazione di somma.

La quantità \dfrac{2xy^2}{z} non è un monomio, in quanto abbiamo una lettera al denominatore. Di conseguenza, compare l’operazione di divisione per una quantità letterale, incompatibile con la definizione di monomio.

Infine, l’espressione a^2b^3c^5 è un monomio. Apparentemente la parte numerica è mancante, di conseguenza l’espressione sembrerebbe non rispettare la definizione di monomio (si parla infatti di prodotto fra una parte numerica e una parte letterale). Tuttavia, osserviamo che nel monomio è sottinteso un coefficiente uguale ad 1. Per cui abbiamo:

a^2b^3c^5= 1 a^2b^3c^5

Tuttavia, la convenzione è quella di non indicare un coefficiente pari a 1, che quindi rimane sottinteso.

Esercizio 2

Stabilire se le seguenti espressioni sono un monomio:

5x^2y^2 z^{-3}, \qquad 24x^2 z^{\frac{3}{2}}

La prima espressione presenta la potenza letterale z^{-3}, che per le proprietà degli esponenti negativi equivale a \dfrac{1}{z^3}. Di conseguenza abbiamo:

5x^2y^2 z^{-3} = \dfrac{5x^2y^2}{z^3}

e data la presenza di una lettera al denominatore concludiamo che l’espressione non è un monomio.

La seconda espressione presenta la potenza letterale z^{\frac{3}{2}}. Osserviamo che per la proprietà delle potenze di potenze abbiamo:

z^{\frac{3}{2}}=z^{3  \cdot \frac{ 1}{2}}=\left( z^3\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{z^3}

Di conseguenza nell’espressione 24x^2 z^{\frac{3}{2}} abbiamo l’operazione dell’estrazione di radice quadrata relativa ad una quantità letterale e di conseguenza possiamo affermare che l’espressione stessa non è un monomio.

Esercizio 3

Stabilire quali fra le seguenti espressioni sono monomi ed indicarne parte letterale e parte numerica:

\sqrt{5}x^3y^5, \qquad \dfrac{3}{8}a^2b^3, \qquad \dfrac{9}{5}\dfrac{x^2y}{z^5}, \qquad 5 \pi x^7

Delle quattro espressioni proposte, soltanto la terza non è un monomio. Infatti, in essa compare una lettera al denominatore.

Nelle prime due espressioni compaiono operazioni diverse dalla moltiplicazione soltanto relativamente alla parte numerica. Di conseguenza le espressioni \sqrt{5}x^3y^5 e \dfrac{3}{8}a^2b^3 rappresentano dei monomi, rispettivamente aventi coefficiente irrazionale e razionale.

Per il monomio \sqrt{5}x^3y^5 abbiamo come parte numerica \sqrt{5} e come parte letterale x^3y^5.

Nel monomio \dfrac{3}{8}a^2b^3 abbiamo come parte numerica \dfrac{3}{8} e come parte letterale a^2b^3.

Infine, poiché il simbolo \pi rappresenta un numero, nel monomio 5 \pi x^7 abbiamo come parte numerica 5 \pi e come parte letterale x^7.

Monomi in forma normale (esercizi sulla definizione di monomio)

Esercizio 4

Stabilire quali fra i seguenti monomi sono in forma normale e ridurre in forma normale quelli che non lo sono.

5x^6y^3, \qquad 9x^3y^25z, \qquad a^2b^32cb^5

Il primo monomio è in forma normale. Abbiamo infatti un solo coefficiente numerico, inoltre nella parte letterale non si ripete nessuna lettera.

Il secondo monomio non è in forma normale poiché abbiamo due coefficienti numerici. Per ridurlo in forma normale basta riordinare i fattori che lo compongono moltiplicando tra loro i coefficienti numerici:

 9x^3y^25z = 9\cdot 5 \cdot x^3 \cdot y^2 \cdot z = 45 x^3y^2z

Anche il terzo monomio non è in forma normale. In questo caso infatti si ripete la lettera b. Si tratterà dunque di riordinare opportunamente i fattori per poi moltiplicare tra loro le potenze letterali aventi la stessa base, applicando le regole delle operazioni tra potenze. Abbiamo:

a^2b^32cb^5=2 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot b^5 \cdot c=2 \cdot a^2\cdot b^{3+5}\cdot c = 2a^2 b^8c

Esercizio 5

Ridurre in forma normale il seguente monomio:

\dfrac{1}{3}a^2b^3a^5c^3\dfrac{3}{7}z^5b^2

Come nei precedenti casi, riordiniamo prima di tutto i fattori. Successivamente, moltiplichiamo tra loro i coefficienti numerici e le potenze letterali aventi la stessa base. Abbiamo:

\begin{align*}&\dfrac{1}{3}a^2b^3a^5c^3\dfrac{3}{7}z^5b^2=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{7} \cdot a^2 \cdot a^5 \cdot b^3 \cdot b^2 \cdot c^3 \cdot z^5 = \\ \\ & = \dfrac{1}{7}a^{2+5}\cdot b^{3+2}\cdot c^3 \cdot z^5 = \dfrac{1}{7} a^7 b^5 c^3 z^5  \end{align*}

Grado di un monomio

Esercizio 6

Indicare il grado complessivo e il grado rispetto a ciascuna lettera del seguente monomio:

6x^2y^3z^5

Osserviamo che il monomio è in forma normale, per cui possiamo direttamente procedere a determinarne il grado. In particolare, il monomio ha grado complessivo pari a 2+3+5=10. Tale valore corrisponde alla somma di tutti gli esponenti che compaiono nella parte letterale.

Infine, il monomio è di secondo grado rispetto alla lettera x, di terzo grado rispetto alla lettera y e di quinto grado rispetto alla lettera z.

Esercizio 7

Indicare il grado del seguente monomio rispetto alle lettere a, b e c:

a^3b^5a^2

Osserviamo che prima di tutto è necessario ridurre il monomio alla forma normale:

a^3b^5a^2=a^3 \cdot a^2 \cdot b^5 = a^5 b^5 

Il monomio è di grado 5 rispetto alla lettera a ed è di quinto grado anche rispetto alla lettera b. Infine, poiché la lettera c non compare nel monomio, questo è di grado zero rispetto a tale lettera.

Monomi simili ed opposti (esercizi sulla definizione di monomio)

Esercizio 8

Stabilire quali fra i seguenti monomi sono simili, individuando i corrispondenti gruppi:

5x^2y^3, \quad 9x^2y^3z, \quad 10x^2y^2, \quad 47x^2y^3, \quad 2x^5y^6, \quad x^2y^2

Un primo gruppo di monomi simili è dato dai monomi aventi per parte letterale x^2y^3:

5x^2y^3, \qquad 47x^2y^3

Attenzione: il monomio 9x^2y^3z non è simile ai due monomi appena scritti. Infatti, la sua parte letterale condivide i fattori x^2 e y^3 con i due monomi, tuttavia è anche presente un ulteriore fattore che rende la parte letterale differente rispetto a quella degli altri monomi. Così x^2y^3 e x^2y^3z sono comunque parti letterali differenti, a prescindere dalla presenza di fattori in comune.

Infine, un secondo gruppo di monomi simili è dato dai monomi 10x^2y^2 e x^2y^2. Questi hanno infatti la stessa parte letterale.

Esercizio 9

Scrivere per ciascuno tra i seguenti monomi il monomio opposto:

4a^2b^3, \qquad -34k^5p^7, \qquad \dfrac{1}{8}x^5y

Dato un monomio, il corrispondente monomio opposto è un monomio avente la stessa parte letterale ma coefficiente opposto. In altre parole, si tratta di invertire il segno del coefficiente del monomio di partenza. Così abbiamo, rispettivamente:

-4a^2b^3, \qquad 34k^5p^7,\qquad -\dfrac{1}{8}x^5y

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sulla definizione di monomio e prime proprietà è tutto. Un saluto a tutti voi! 🙂