Esercizi sulla definizione di radicale

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Radicali

In questa scheda vediamo degli esercizi sulla definizione di radicale. Ci occupiamo quindi dei primi esercizi sui radicali, in modo da prendere familiarità con le definizioni fondamentali.

In particolare, vedremo come calcolare il valore dei radicali e come esprimerli nella forma di potenza con esponente frazionario. Viceversa, vedremo anche come passare da una espressione nella forma con esponente frazionario al corrispondente radicale.

Vediamo allora subito questi primi esercizi sui radicali (esercizi sulla definizione di radicale).

Esercizi svolti e commentati sui radicali (definizione di radicale)

Esercizio 1

Scrivere i seguenti radicali nella forma {a^{\frac{1}{n}}}:

\sqrt{7}; \qquad \sqrt[4]{23}; \qquad \sqrt[4]{\dfrac{5}{3}}

Cominciamo dal primo radicale:

\sqrt{7}

Ricordiamo che se in una radice l’indice non viene indicato esplicitamente, è sottinteso un indice uguale a {2}.

In generale abbiamo:

\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}, \qquad n \in \mathbb{Z}^{+} \setminus \{0\}

ovvero l’indice del radicale {n} è un numero intero positivo non nullo.

Così abbiamo nel nostro particolare caso:

\sqrt{7}=\sqrt[2]{7}=7^{\frac{1}{2}}

Abbiamo così riscritto il radicale di partenza come una potenza ad esponente frazionario, ove l’esponente è il reciproco dell’indice della radice.

Procedendo allo stesso modo, per gli altri due radicali abbiamo:

 \qquad \sqrt[4]{23} = 23^{\frac{1}{4}}

e infine:

\sqrt[4]{\dfrac{5}{3}}=\left( \dfrac{5}{3}\right)^{\frac{1}{4}}=

Volendo possiamo sviluppare ulteriormente i passaggi ottenendo:

=\dfrac{5^{1/4}}{3^{1/4}}=\dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}

Ricordiamo infatti che la potenza di una frazione si calcola elevando a quella stessa potenza il numeratore e il denominatore della frazione stessa.

Esercizio 2

Scrivere nella forma {a^{\frac{1}{n}}} i seguenti radicali:

\sqrt{15}; \qquad \sqrt{\dfrac{9}{5}}; \qquad \sqrt[3]{7}; \qquad \sqrt[5]{2^3}

Abbiamo rispettivamente:

\begin{align*} &\sqrt{15} = 15^{1/2} ; \\ \\ &\sqrt{\dfrac{9}{5}} = \left( \dfrac{9}{5}\right) ^{1/2}; \\ \\ & \sqrt[3]{7}=7^{1/3}; \\ \\ &  \sqrt[5]{2^3} = 2^{3/5}\end{align*}

Per l’ultimo caso ricordiamo che in generale si ha:

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

ovvero il denominatore dell’esponente frazionario corrisponde all’indice della radice, mentre il numeratore dell’esponente frazionario corrisponde all’esponente {m} del radicando {a}.

Esercizio 3

Calcolare i seguenti radicali:

\sqrt{25}; \quad \sqrt{49}; \quad \sqrt[3]{81}; \quad \sqrt[5]{32}; \quad \sqrt[4]{\dfrac{16}{81}}

In tutti i casi si tratta di trovare un numero tale che, elevato alla potenza con esponente uguale all’indice della radice, restituisca il radicando di partenza. Abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{25} = 5, \qquad \text{infatti } 5^2=25; \\ \\ & \sqrt{49}=7, \qquad \text{infatti } 7^2 = 49; \\ \\ & \sqrt[3]{27} = 3, \qquad \text{infatti }3^3 = (3^2) \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27; \\ \\ & \sqrt[5]{32} = 2, \qquad \text{infatti }2^5 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 = 4 \cdot 4 \cdot 2 = 16 \cdot2 = 32; \\ \\ & \sqrt[4]{\dfrac{16}{81}} = \left( \dfrac{16}{81} \right)^{\frac{1}{4}}=\dfrac{16^{1/4}}{81^{1/4}}=\dfrac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}=\dfrac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}}= \dfrac{2}{3} \\ \\ & \text{infatti } \left( \dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{2^4}{3^4}= \dfrac{16}{81}\end{align*}

Esercizio 4

Giustificare tramite le proprietà delle potenze il seguente risultato:

\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}

Riscriviamo i fattori come potenze ad esponente frazionario:

\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}=

A questo punto ci ritroviamo con il prodotto di potenze aventi lo stesso esponente:

=\left( 2 \cdot 3\right)^{\frac{1}{2}}=6^{\frac{1}{2}}=

Ora non resta che esprimere la potenza ottenuta in forma di radicale:

=\sqrt{6}

Abbiamo terminato. Sulla base di queste considerazioni è possibile stabilire una regola per il prodotto di radicali aventi lo stesso indice, come vedremo in una prossima lezione.

Esercizio 5

Calcolare:

\sqrt[5]{-\dfrac{32}{1024}}

Il radicando è negativo ma poiché l’indice del radicale è dispari non abbiamo problemi:

\sqrt[5]{-\dfrac{32}{1024}}=-\sqrt[5]{\dfrac{32}{1024}}=-\sqrt[5]{\dfrac{2^5}{(2^5)^2}}=-\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^5}}=-\dfrac{1}{2}

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sulla definizione di radicale è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica!