Con questa scheda presentiamo una serie di esercizi sulla divisione di un polinomio per un monomio. Ricordiamo che la divisione di un polinomio per un monomio si basa sulla proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione. In altre parole, dovremo sommare tra loro i quozienti tra ciascun termine del polinomio e il monomio.
Interviene quindi nella divisione di un polinomio per un monomio l’operazione di divisione tra monomi. Di essa ci siamo occupati nella lezione sulle operazioni con i monomi.
Così ad esempio volendo eseguire la divisione:
(ab+a^2b+2a^2b^3-3a^3):a
considereremo i seguenti quozienti:
- quoziente della divisione tra il primo termine del polinomio e il monomio: {ab:a = b};
- quoziente della divisione tra il secondo termine del polinomio e il monomio {5a}: {a^2b:a = ab};
- il quoziente della divisione tra il terzo termine del polinomio e il monomio {5a}: {2a^2b^3:a=2ab^3};
- infine, il quoziente della divisione tra il quarto termine del polinomio e il monomio {5a}: {-3a^3:a=-3a^2}.
Con riferimento all’ultimo quoziente calcolato, osserviamo che il polinomio dividendo deve essere inteso come una somma algebrica di termini. Di conseguenza, ciascun termine deve essere preso con il suo segno.
A questo punto, calcolati i quozienti non resta che sommarli tra loro, ottenendo in conclusione:
(ab+a^2b+2a^2b^3-3a^3):a=b+ab+2ab^3-3a^2
Osserviamo infine che il risultato della divisione tra un polinomio e un monomio è ancora un monomio. E affinché l’operazione possa essere eseguita, ciascun termine del polinomio dovrà essere divisibile per il monomio. Ciò significa che ciascuna lettera presente nel monomio deve essere presente anche in ciascun termine del polinomio, con esponente maggiore uguale all’esponente che accompagna quella stessa lettera nel monomio. Ciò discende dal concetto di divisibilità tra monomi.
Ora che abbiamo ripassato la regola, vediamo subito gli esercizi sulla divisione di un polinomio per un monomio. Come sempre, vi consigliamo di provare a svolgere gli esercizi da soli, per poi verificare il vostro svolgimento con quello proposto.
Esercizi svolti e commentati sulla divisione di un polinomio per un monomio
Esercizio 1
Calcolare la seguente divisione di un polinomio per un monomio:
(8a^4-4a^3+3a^2):(5a)
Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio {5a}, sommando tra loro i quozienti via via ottenuti. Consideriamo per questo primo esercizio ciascun quoziente:
- quoziente della divisione tra il primo termine del polinomio, {8a^4} e il monomio {5a}: {8a^4:(5a)=\dfrac{8}{5}a^{4-1}=\dfrac{8}{5}a^3};
- quoziente della divisione tra il secondo termine del polinomio, {-4a^3}, e il monomio: {-4a^3:(5a)=-\dfrac{4}{5}a^{3-1}=-\dfrac{4}{5}a^2};
- il quoziente della divisione tra il terzo termine del polinomio, {3a^2} e il monomio: {3a^2:(5a)=\dfrac{3}{5}a^{2-1}=\dfrac{3}{5}a}.
Ricordiamo che un monomio può avere un coefficiente anche frazionario. Così ad esempio il primo quoziente ottenuto, {\dfrac{8}{5}a^3}, è ancora un monomio.
Ora, il risultato della divisione è dato dalla somma algebrica di tutti i quozienti che abbiamo scritto. In altre parole si tratterà di scrivere i quozienti uno di seguito all’altro ciascuno sempre con il proprio segno. Quindi:
(8a^4-4a^3+3a^2):(5a)=\dfrac{8}{5}a^3-\dfrac{4}{5}a^2+\dfrac{3}{5}aEsercizio 2
Proseguiamo gli esercizi sulla divisione di un polinomio per un monomio con il seguente:
(27x^3y^4+4x^2y^3-7x^2y^2):(3xy)
Scriviamo direttamente i passaggi:
\begin{align*} &(27x^3y^4+4x^2y^3-7x^2y^2):(3xy)=\\ \\ & =27x^3y^4:(3xy)+4x^2y^3:(3xy)-7x^2y^2:(3xy)= \\ \\ & =\dfrac{27}{3}x^{3-1}y^{4-1}+\dfrac{4}{3}x^{2-1}y^{3-1}-\dfrac{7}{3}x^{2-1}y^{2-1}= \\ \\ & =9x^2y^3+\dfrac{4}{3}xy^2-\dfrac{7}{3}xy\end{align*}Come nel caso precedente, nonostante la presenza di coefficienti frazionari il risultato ottenuto è un polinomio.
Esercizio 3
Calcolare:
(10a^2x^3-5ax^4+25a^3x^2):(5ax^2)
Procedendo come nei casi precedenti abbiamo:
\begin{align*} & (10a^2x^3-5ax^4+25a^3x^2):(5ax^2)= \\ \\ & = 10a^2x^3:(5ax^2)-5ax^4:(5ax^2)+25a^3x^2:(5ax^2)=\\ \\ & =\dfrac{10}{5}a^{2-1}x^{3-2}-\dfrac{5}{5}a^{1-1}x^{4-2}+\dfrac{25}{5}a^{3-1}x^{2-2}=\\ \\ & =2ax-x^{2}+5a^{2} \end{align*}Per meglio chiarire i calcoli svolti, ricordiamo che ad esempio {a^{1-1}=a^0=1}. Quindi una lettera che si ritrova con esponente zero nella pratica non compare nel risultato.
Esercizio 4
Passiamo ora ad esercizi sulla divisione di un polinomio per un monomio con termini a coefficienti frazionari. Calcoliamo:
\left( 3a^4b^3-\dfrac{2}{5}a^3b^3+6a^2b^2\right):\left( -\dfrac{3}{5}ab^2\right)Osserviamo che nel polinomio dividendo abbiamo un termine con un coefficiente frazionario. Anche il monomio divisore presenta un coefficiente frazionario.
Le regole da seguire sono le stesse degli esercizi precedenti. Dobbiamo soltanto ricordare che per dividere una frazione per una seconda frazione dobbiamo moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda. E il reciproco di una frazione si ottiene scambiando tra loro il numeratore e il denominatore.
Ricordata questa regola possiamo svolgere l’esercizio:
\begin{align*} &\left( 3a^4b^3-\dfrac{2}{5}a^3b^3+6a^2b^2\right):\left( -\dfrac{3}{5}ab^2\right)= \\ \\ & = 3 \cdot \left( -\dfrac{5}{3}\right)a^{4-1}b^{3-2}-\dfrac{2}{5}\cdot\left( -\dfrac{5}{3}\right)a^{3-1}b^{3-2}+6 \cdot \left( -\dfrac{5}{3}\right) a^{2-1}b^{2-2}=\\ \\ & =-5a^3b+\dfrac{2}{3}a^2b-10a\end{align*}Il trucco per svolgere esercizi di questo tipo è anche ricordarsi la regola della semplificazione incrociata nella moltiplicazione tra frazioni. Ad esempio:
-\dfrac{2}{\cancel{5}}\cdot \left( -\dfrac{\cancel{5}}{3}\right)=+\dfrac{2}{3}Esercizio 5
\left( 3a^2b^4-2a^2b^2+\dfrac{1}{4}a^7b^2\right):\left( \dfrac{1}{7}ab^2\right)Procediamo come nel caso precedente:
\begin{align*} &\left( 3a^2b^4-2a^2b^2+\dfrac{1}{4}a^7b^2\right):\left( \dfrac{1}{7}ab^2\right) = \\ \\ & =3\cdot7a^{2-1}b^{4-2}-2 \cdot 7 a^{2-1}b^{2-2} +\dfrac{1}{4}\cdot7a^{7-1}b^{2-2}=\\ \\ & =21ab^2-14a+\dfrac{7}{4}a^{6}\end{align*}Esercizio 6
Concludiamo questa serie di esercizi sulla divisione di un polinomio con un monomio con un esercizio contenente esponenti letterali:
\left( \dfrac{1}{2}x^{n+3}-2x^{n+2}-3x^{n+1} \right): \left( \dfrac{1}{4}x^{n-1}\right)La presenza di esponenti letterali richiede comunque di rispettare le stesse regole utilizzate per gli esercizi precedenti. Dovremo semplicemente in questo caso calcolare gli esponenti dei termini nel risultato utilizzando le regole del calcolo letterale.
\begin{align*} & \left( \dfrac{1}{2}x^{n+3}-2x^{n+2}-3x^{n+1} \right): \left( \dfrac{1}{4}x^{n-1}\right) =\\ \\ & =\dfrac{1}{2}\cdot 4 x^{n+3-(n-1)}-2 \cdot 4 x^{n+2-(n-1)}-3 \cdot 4 x^{n+1-(n-1)} = \\ \\ & =2x^{n+3-n+1}-8x^{n+2-n+1}-12x^{n+1-n+1}= \\ \\ & =2x^{4}-8x^3-12x^{2}\end{align*}Per quanto riguarda gli esercizi sulla divisione di un polinomio per un monomio è tutto. Buon proseguimento!
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