In questa scheda presentiamo degli esercizi sulla divisione tra polinomi svolti e commentati. Ci occuperemo in particolare di esercizi relativi alla divisione tra polinomi con polinomi di una sola lettera. Questo infatti è il caso più frequente ed è quello che più vi sarà utile nel prosieguo dei vostri studi, con particolare riferimento al calcolo degli integrali fratti (argomento solitamente del quinto anno delle scuole superiori).
Ricordiamo comunque l’importanza di saper eseguire anche la divisione tra polinomi con più lettere. Di questo caso ci siamo occupati nella lezione teorica.
Proprio come sguardo al futuro, precisiamo che la relazione:
P(x)=Q(x) \cdot D(x) + R(x)
relativa alla divisione {P(x):D(x)} può essere anche riscritta come:
P(x):D(x)=Q(x)+R(x):D(x)
In pratica abbiamo diviso ciascun membro dell’uguaglianza precedente per {D(x)}. Così, il rapporto tra i polinomi {P(x)} e {D(x)} è esprimibile come somma del quoziente e del rapporto tra il resto e il divisore.
L’operazione tra polinomi che prendiamo in considerazione è la cosiddetta divisione con quoziente e resto, ed infatti l’obiettivo è proprio determinare il quoziente {Q(x)} e il resto {R(x)}. E se la divisione è eseguita correttamente, tali quantità dovranno soddisfare una delle due precedenti relazioni scritte. Così, dovremo verificare che a partire dal quoziente e dal resto calcolati è possibile riottenere il polinomio dividendo {D(x)}.
Ricordiamo le operazioni preliminari alla divisione tra polinomi:
- ordinare entrambi i polinomi dividendo e divisore per potenze decrescenti della variabile {x};
- controllare se il polinomio dividendo è completo e, se non lo è, aggiungere un monomio con coefficiente zero per ogni potenza della {x} che è mancante.
Così ad esempio per eseguire la divisione:
(3x^3+9x+x^4):(2x^2+7x^3)
dobbiamo anzitutto ordinare entrambi i polinomi come segue:
(x^4+3x^3+9x):(7x^3+2x^2)
Inoltre dobbiamo anche riesprimere in forma completa il polinomio dividendo:
(x^4+3x^3+0x^2+9x+0):(7x^3+2x^2)
Entrambi questi passaggi sono fondamentali. Attenzione quindi a preparare adeguatamente i polinomi prima di precipitarsi ad eseguire la divisione.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito alcuni esercizi sulla divisione tra polinomi.
Esercizi sulla divisione tra polinomi svolti e commentati
Esercizio 1
Eseguire la divisione:
(x^2+3x+2):(x+1)
Entrambi i polinomi sono ordinati ed inoltre il polinomio dividendo è completo (compaiono infatti tutte le potenze della {x} dall’esponente più grande a quello più piccolo).
Costruiamo allora la tabella per la divisione:
Cominciamo evidenziando il primo termine del polinomio dividendo e il primo termine del polinomio divisore:
Dividiamo tra loro i due termini appena evidenziati (eseguendo una divisione tra monomi). Scriviamo il risultato nella parte destra della tabella, proprio sotto il primo termine del divisore:
Quello appena scritto è il primo termine del quoziente.
Proseguiamo moltiplicando il primo termine del quoziente per il primo termine del divisore ({x \cdot x = x^2}). Invertiamo il segno del risultato (quindi {-x^2}) e scriviamolo sotto il primo termine del dividendo:
Ora moltiplichiamo sempre il primo termine del quoziente stavolta per il secondo termine del divisore ({x \cdot 1 = x}). Invertiamo il segno del risultato ottenuto (quindi {-x}) e scriviamolo sotto il secondo termine del dividendo:
Ora tiriamo una riga e sommiamo algebricamente i termini del dividendo con i termini simili sottostanti:
Osserviamo che al di sotto del termine {2} del dividendo non è presente nessun termine, per cui ci siamo limitati semplicemente a riportare il termine {2} stesso.
Ora, i termini appena scritti rappresentano il primo resto parziale. Il grado del resto ottenuto è uguale a quello del divisore, quindi non inferiore. La divisione allora continua. Evidenziamo il primo termine del resto parziale:
Ora, dividiamo il primo termine del resto parziale per il primo termine del divisore. Il risultato ottenuto (attenzione, con il suo segno) sarà il secondo termine del quoziente:
Ora moltiplichiamo l’ultimo termine scritto per il primo termine del divisore ({2 \cdot x}). Invertiamo il segno del risultato (quindi {-2x}) e scriviamolo sotto il primo termine del resto parziale:
Ora moltiplichiamo sempre il secondo termine del quoziente stavolta per il secondo termine del divisore (quindi {2 \cdot 1 = 2}), invertiamo il segno del risultato ottenuto (quindi {-2}) e scriviamolo sotto il secondo termine del resto parziale:
Per finire, tiriamo una riga e sommiamo algebricamente tra loro ciascuno degli ultimi termini scritti con i termini simili al di sopra di essi:
Osserviamo che il resto parziale ottenuto, ovvero {0}, è banalmente di grado inferiore rispetto al divisore {x+1} (infatti è un numero). La divisione è quindi terminata ed abbiamo ottenuto quoziente e resto rispettivamente:
Q(x)=x+2, \qquad R(x)=0
Verifichiamo la correttezza dei risultati ottenuti. In particolare, controlliamo se viene soddisfatta la relazione:
P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)
Nel nostro caso abbiamo:
\begin{align*} P(x) &=(\underbrace{x+2}_{Q(x)})(\underbrace{x+1}_{D(x)})+\underbrace{0}_{R} = \\ \\ & = x^2+2x+x+2=\boxed{x^2+3x+2}\end{align*}Effettivamente abbiamo ritrovato il dividendo. Quindi il quoziente e il resto ottenuti sono corretti.
Importante. Come descritto nella procedura, bisogna invertire il segno soltanto dei prodotti tra i termini del quoziente e i termini del polinomio divisore. Negli altri calcoli bisogna invece considerare i risultati con il loro segno.
Esercizio 2
(4x^2-3x+2):(2-x)
Il polinomio dividendo è ordinato ed è completo. Invece, il polinomio divisore non è ordinato e dobbiamo di conseguenza riscriverlo come {-x+2} (attenzione a non commettere errori di segno nel riordinare i polinomi). Riscriviamo così la divisione di partenza come:
(4x^2-3x+2):(-x+2)
Possiamo a questo punto procedere con la divisione. Presentiamo lo svolgimento completo senza passaggi intermedi poiché l’esercizio è molto simile al precedente. Vi invitiamo a provare a svolgere la divisione da soli, per poi confrontare il vostro svolgimento con quello proposto.
Otteniamo così:
Q(x)=-4x-5, \qquad R=12
Eseguiamo la verifica:
\begin{align*} P(x) &=Q(x) \cdot D(x) + R(x) = (-4x-5)\cdot(-x+2)+12= \\ \\ & =4x^2+5x-8x-10+12=\boxed{4x^2-3x+2}\end{align*}Abbiamo ritrovato il dividendo, per cui il quoziente e il resto calcolati sono corretti.
Esercizio 3
Proseguiamo gli esercizi sulla divisione tra polinomi con un esercizio nel quale intervengono dei polinomi con più termini rispetto ai precedenti. Osserviamo in ogni caso che le regole da seguire sono sempre le stesse. L’unica differenza è data dal fatto che otteniamo più resti parziali. Poco importa: una volta scritto un nuovo resto parziale, basterà ripetere la procedura seguita per il primo resto parziale. E come al solito, la divisione si arresta quando il resto parziale ottenuto è di grado inferiore rispetto al divisore.
Calcoliamo la divisione tra polinomi:
(-8x^3 +16x^2-31x+20):(4x-5)
Osserviamo che entrambi i polinomi sono ordinati ed inoltre il polinomio dividendo è completo. Possiamo allora procedere con la divisione:
Otteniamo quindi in conclusione {Q(x)=-2x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{47}{8}} e {R=-\dfrac{75}{8}}. Osserviamo che nell’eseguire la divisione abbiamo ottenuto un primo resto parziale pari a {6x^2-31x+20} e un secondo resto parziale uguale a {-\dfrac{47}{2}x+20}.
Verifichiamo anche in questo caso il risultato ottenuto:
\begin{align*} P(x) & = Q(x) \cdot D(x) + R = \\ \\ & =\left( -2x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{47}{8}\right) \cdot (4x-5)-\dfrac{75}{8}= \\ \\ & =-8x^3+6x^2-\dfrac{47}{2}x+10x^2-\dfrac{15}{2}x+\dfrac{235}{8}-\dfrac{75}{8}=\\ \\ & =\boxed{-8x^3 +16x^2-31x+20}\end{align*}Avendo ritrovato il dividendo possiamo affermare che abbiamo eseguito la divisione correttamente.
Per quanto riguarda gli esercizi sulla divisione tra polinomi con una lettera è tutto. Buon proseguimento!
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