Esercizi sulla rappresentazione per elencazione

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In questa scheda ci occupiamo di esercizi sulla rappresentazione per elencazione degli insiemi. Ricordiamo che la rappresentazione per elencazione degli insiemi (o rappresentazione estensiva, o esplicita) consiste nell’elencare uno ad uno tutti gli elementi contenuti nel dato insieme. E come evidente, una tale rappresentazione è utile soltanto per insiemi finiti e con un numero di elementi contenuto.

Negli esercizi sulla rappresentazione estensiva degli insiemi a seguire partiremo da una descrizione a parole dell’insieme, dalla quale dovremo risalire a tutti gli elementi contenuti nello stesso insieme. A quel punto sarà possibile scrivere l’insieme elencando i suoi elementi. Ad esempio, se una dato insieme {A} ha come elementi i numeri {3,4,5,9} scriveremo:

A = \left\{ 3,4,5,9\right\}

e questa è la rappresentazione per elencazione dell’insieme dato.

Nello svolgere gli esercizi sulla rappresentazione per elencazione degli insiemi metteremo in evidenza la regole da seguire e gli errori da evitare. Nonostante la non particolare difficoltà dell’argomento, vi invitiamo comunque a svolgere con attenzione gli esercizi, per poi confrontare il vostro svolgimento con quello qui proposto. La rappresentazione degli insiemi per elencazione ha infatti la sua utilità pratica. Essa consente infatti di rappresentare le soluzioni di un’equazione o di un problema in generale, elencandone tutti gli elementi che appartengono al suo insieme delle soluzioni. Buon lavoro!

Esercizi svolti sulla rappresentazione per elencazione o estensiva degli insiemi

Esercizio 1

Rappresentare per elencazione l’insieme dei numeri naturali maggiori di {5} e minori di {9}.

Prestiamo intanto subito attenzione al fatto che non è scritto nella traccia dell’esercizio “numeri naturali maggiori o uguali/minori o uguali” ma soltanto “numeri naturali maggiori/minori”. Di conseguenza dovremo escludere dall’insieme i numeri {5} e {9}, ovvero gli estremi.

Ora, per l’insieme devono valere contemporaneamente le seguenti condizioni:

  • i suoi elementi sono numeri naturali;
  • ogni elemento deve essere maggiore di 5;
  • ogni elemento deve essere minore di 9.

Di conseguenza, l’insieme sarà dato da tutti i numeri naturali compresi fra {5} e {9} (estremi esclusi). In alternativa, possiamo esprimere tale insieme come l’insieme dei numeri naturali maggiori o uguali a {6} e minori o uguali a {8}. Abbiamo così, indicando con {A} l’insieme in esame:

A=\left\{ 6,7,8\right\}

Esercizio 2

Scrivere l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano comprese fra la {c} e la {f} (includendo anche le lettere {c} ed {f}).

Abbiamo, indicando ancora con {A} l’insieme in esame:

A=\left\{c,d,e,f \right\}

Esercizio 3

Rappresentare i numeri naturali il cui quadrato è maggiore di 1 e minore di 16.

Si tratterà di calcolare i quadrati dei numeri naturali dal 2 in poi, arrestandoci una volta che incontriamo un quadrato maggiore o uguale a 16 (questo andrà scartato). Osserviamo che partiamo dal numero naturale 2 poiché i quadrati dei numeri che lo precedono sono sicuramente non maggiori di 1.

Abbiamo:

2^2=4; \quad3^2=9; \quad 4^2=16

Ora, il numero {4} deve essere scartato poiché il suo quadrato non è minore di {16} ma bensì uguale. Così possiamo prendere per l’insieme, che ancora chiameremo {A}, i soli elementi {2} e {3}:

A=\left\{ 2,3\right\}

Esercizio 4

Scrivere l’insieme dei numeri relativi il cui cubo è maggiore di -27 e minore di 5.

Qui è prima di tutto fondamentale ricordare che un numero negativo è maggiore di un altro numero negativo quando il primo numero presenta valore assoluto minore del valore assoluto del secondo numero. Ad esempio, dati i numeri {-50} e {-25} abbiamo:

-25 > -50

infatti:

\underbrace{|-25|}_{25}<\underbrace{|-50| }_{50}

Ora, il cubo di {-3} è uguale a {-27}. Dovremo quindi per prima cosa trovare quei numeri relativi negativi che hanno cubo minore di {-27}, ovvero che hanno come cubo un numero negativo il cui valore assoluto è minore del valore assoluto di {-27}. Abbiamo:

(-2)^3=-8; \quad (-1)^3=-1

Entrambi i cubi sono maggiori di {-27} e nel contempo minori di {5}, per cui fanno parte dell’insieme in esame.

Ora, consideriamo i numeri naturali dallo zero in poi, fermandoci una volta che il cubo del numero preso in considerazione è maggiore di {5}:

0^3=0, \quad 1^3=1, \quad 2^3=8 \quad \text{stop!}

Quindi fra i numeri appena scritti possiamo prendere come elementi dell’insieme da determinare soltanto {0} e {1}. Infatti il cubo di {2} è maggiore di {5}, e quindi {2} va scartato.

Abbiamo quindi in conclusione, mettendo insieme tutti gli elementi per l’insieme in esame sin qui considerati:

A=\left\{ -2,-1,0,1\right\}

Concludiamo gli esercizi sulla rappresentazione degli insiemi per elencazione con il seguente.

Esercizio 5

Scrivere l’insieme dei numeri naturali divisori del numero 24.

Ricordiamo che un divisore per un certo numero {n} è un numero tale che il numero {n} è un suo multiplo intero. In altre parole, se moltiplichiamo il divisore per un certo numero intero otteniamo il numero {n}.

Vediamo quali sono i numeri naturali divisori di {24}:

\begin{align*} &24/1=24; \quad 24/2=12; \quad 24/3 = 8; \quad 24/4=6; \quad 24/6=4;  \\ \\ & 24/8=3; \quad 24/12=2; \quad 24/24=1 \end{align*}

Osserviamo che poiché il risultato di ciascun divisione è intero, {24} è multiplo di ciascuno dei divisori scritti. E ciò si giustifica osservando che il prodotto fra il divisore e il quoziente esatto restituisce il dividendo.

Così in conclusione l’insieme cercato è dato da:

A= \left\{1,2,3,4,6,8,12,24 \right\}

Per quanto riguarda questa serie di esercizi sulla rappresentazione degli insiemi per elencazione (o estensiva) è tutto. Non perdetevi anche l’esercitazione correlata alla lezione sulla rappresentazione degli insiemi per proprietà caratteristica (o rappresentazione intensiva). Ciao!


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