Vediamo ora degli esercizi sulla rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi, svolti e commentati.
Nella prima parte ci occuperemo di esercizi nei quali, a partire dall’insieme rappresentato nella forma per proprietà caratteristica, dovremo elencare tutti gli elementi che appartengono all’insieme. In altre parole, dato un insieme si tratterà di passare dalla rappresentazione per proprietà caratteristica (o intensiva) alla rappresentazione per elencazione (o estensiva, o anche tabulare).
Nello svolgere gli esercizi sulla rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi è importante prestare particolare attenzione ai simboli utilizzati nel descrivere l’insieme dato. Nello specifico, stiamo attenti a distinguere sempre se un simbolo di disuguaglianza include anche l’uguale oppure no. Ad esempio, è ben diverso scrivere {x < 7} rispetto a {x \leq 7}. Così l’insieme:
A=\left\{ x \in \N \: | \: x < 7\right\}non comprende il numero {7}, mentre l’insieme:
B=\left\{ x \in \N \: | \: x \leq 7\right\}comprende anche il numero {7}.
Osserviamo che per indicare l’insieme universo è anche possibile utilizzare un metodo alternativo. Ad esempio, possiamo riesprimere l’insieme {B} precedente come:
B=\left\{ x | x=n, n \in \N , n \leq 7 \right\}La scrittura è un po’ più macchinosa poiché ricorre all’uguaglianza {x=n} senza precisare direttamente l’insieme universo del generico elemento {x}. Tuttavia, tale notazione è comunque corretta.
Esercizi svolti sulla rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi
Prima parte: dalla rappresentazione per proprietà caratteristica a quella per elencazione
Esercizio 1
Elencare gli elementi dell’insieme:
A=\left\{ x\: | \; x =n; n \in \N, \: n < 4\right\}Siamo di fronte all’insieme dei numeri naturali minori di {4}. Osserviamo che {4} è escluso poiché nella disuguaglianza abbiamo il simbolo di “minore” e non “minore o uguale”. Quindi procediamo elencando gli elementi dell’insieme come segue:
A=\left\{ 0,1,2,3\right\}Esercizio 2
Riscrivere per elencazione il seguente insieme:
A=\left\{ x \: | \: x = n, \: n \in \N, \: 3 < n < 7\right\}In questo caso abbiamo l’insieme dei numeri naturali compresi fra {3} e {7}, esclusi {3} e {7}. Infatti, abbiamo i simboli di “minore” e non “minore o uguale”.
Per maggiore chiarezza, osserviamo che la scrittura {3 < n < 7} equivale a richiedere contemporaneamente le due condizioni:
n > 3, \qquad n < 7
e quindi un numero che è allo stesso tempo maggiore di {3} e minore di {7} è compreso fra {3} e {7}.
Abbiamo quindi, procedendo alla rappresentazione per elencazione dell’insieme:
A=\left\{ 4,5,6\right\}Esercizio 3
Rappresentare per elencazione l’insieme:
A=\left\{ x \: | \: x=5+4n, \: n \in \N, \: 2 < x < 8\right\}Osserviamo che il generico elemento {x} è un numero naturale esprimibile come il quadruplo di un certo numero naturale sommato a {5}. Non viene detto esplicitamente che {x} è un numero naturale ma ciò è chiaro dal contesto. Infatti eseguendo soltanto somme e moltiplicazioni tra numeri naturali otteniamo necessariamente come risultato un numero naturale.
Così il nostro obiettivo è individuare numeri naturali esprimibili nella forma {5+4n}, con {n} numero naturale, e tali da essere compresi fra {2} e {8} (escludendo {2} e {8} poiché nella disuguaglianza abbiamo i simboli “minore” e non “minore o uguale”).
Cominciamo ponendo {n=0}. Abbiamo:
n=0, \qquad x=5+4 \cdot 0 = 5
Così intanto possiamo prendere per l’insieme l’elemento {5}. Infatti questo è compreso fra {2} e {8}.
Procediamo con {n=1}:
n=1, \qquad x=5+4\cdot 1 = 9>8
Dato che otteniamo un numero naturale maggiore di {8}, questo non può essere preso come elemento dell’insieme.
Ora, non ha senso continuare con i successivi valori di {n}. Infatti, comunque otterremmo degli {x} maggiori di {8}.
Così in conclusione l’insieme {A} è dato da un solo elemento:
A=\left\{ 5\right\}Esercizio 4
Elencare gli elementi del seguente insieme:
A=\left\{ x \in \R \: | \: x =2-3n, \: n \in \N, \quad 3 < n < 6\right\}Attenzione: l’esercizio è differente dal precedente. Infatti, in questo caso non è stabilito alcun limite per la {x}, ed è invece la variabile {n} a dover essere compresa entro due numeri.
Così, in questo caso dovremo semplicemente far variare {n} da {4} a {5} compresi e scrivere i corrispondenti {x}. Abbiamo:
\begin{align*} &n=4, \qquad x=2-3 \cdot 4 =-10 \\ \\ & n = 5, \qquad x=2-3\cdot5=-13 \end{align*}Così l’insieme {A} è esprimibile in forma estensiva (per elencazione) come:
A=\left\{ -10, - 13\right\}Abbiamo così elencato tutti gli elementi dell’insieme. 😉
Concludiamo questa prima parte degli esercizi sulla rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi con il seguente.
Esercizio 5
Rappresentare per elencazione il seguente insieme dato per proprietà caratteristica:
A=\left\{ x | x =n^2-n, \: n \in \N, \: 2 \leq n < 7\right\}Attenzione: oltre ai valori compresi tra {2} e {7}, dobbiamo prendere per la variabile {n} anche {n=2} e ricordarci di escludere {n=7}. Osserviamo infatti che nella condizione relativa ad {n} abbiamo un simbolo di “minore o uguale” che fa sì che il {2} sia compreso e un simbolo di “minore” che fa sì che il {7} venga escluso.
Così abbiamo:
\begin{align*} &n=2, \qquad x=4-2=2; \\ \\ & n=3, \qquad x=9-3=6; \\ \\ & n=4, \qquad x=16-4=12; \\ \\ & n=5, \qquad x=25-5=20; \\ \\ & n=6 , \qquad x=36-6=30\end{align*}Di conseguenza rappresentando per elencazione l’insieme dato abbiamo in conclusione:
A=\left\{ 2,6,12,20,30\right\}Seconda parte: dalla rappresentazione per elencazione a quella per proprietà caratteristica
Vediamo ora esercizi sulla rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi nei quali dovremo riesprimere in forma intensiva la rappresentazione di un insieme per elencazione. In altre parole, noti tutti gli elementi di un insieme, dovremo individuare la proprietà caratteristica che li individua. In tal modo sarà possibile riesprimere l’insieme utilizzando tale proprietà, evitando di dover elencarne gli elementi.
Esercizio 6
Rappresentare mediante la proprietà caratteristica il seguente insieme:
A=\left\{ 2,4,6,8,10\right\}Osserviamo che tutti gli elementi contenuti nell’insieme sono numeri naturali pari. Inoltre, i numeri presenti nell’insieme sono compresi fra {2} e {10} (estremi inclusi). E si tratta di tutti i numeri pari compresi in tale intervallo.
Di conseguenza, ciascun elemento {x} dell’insieme rispetta la condizione { 2 \leq x \leq 10}. Abbiamo quindi la seguente rappresentazione dell’insieme per proprietà caratteristica:
A= \left\{ x | x=2n, n \in \N, 2\leq x \leq 10 \right\}Esercizio 7
Rappresentare mediante proprietà caratteristica il seguente insieme:
A=\left\{ 1,3,5,7\right\}Osserviamo che tutti gli elementi contenuti nell’insieme sono dei numeri dispari. Di conseguenza, ciascun numero è della forma {2n+1}, con n numero naturale. Ed abbiamo tutti i numeri dispari compresi tra {1} e {7} (estremiinclujsi). Possiamo quindi scrivere:
A=\left\{ x|x=2n+1, n \in \N, 1\leq x \leq 7\right\}Esercizio 8
Proseguiamo gli esercizi sulla rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi con il seguente.
Riscrivere con la rappresentazione in forma intensiva il seguente insieme:
A=\left\{ 5, 10, 15,20\right\}Abbiamo tutti i multipli di {5} compresi fra {5} e {20} (compresi gli estremi). Quindi:
A=\left\{ x|x =5n, x \in \N, 5 \leq x \leq 20\right\}Esercizio 9
Rappresentare per proprietà caratteristica il seguente insieme:
A=\left\{ 1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{16},\dfrac{1}{25}, \dots\right\}Osserviamo prima di tutto che l’insieme dato è infinito. Infatti, dopo l’ultimo elemento a destra abbiamo dei puntini, i quali indicano la presenza di ulteriori infiniti elementi.
Guardiamo attentamente gli elementi contenuti nell’insieme, con particolare riferimento ai denominatori. Ciascun denominatore è il quadrato di un numero naturale. Di conseguenza, ogni elemento dell’insieme è il reciproco del quadrato di un numero naturale. Così possiamo scrivere:
A=\left\{ x \in \mathbb{Q} \: | \: x = \dfrac{1}{n^2}, n \in \N - \{0\}\right\}Osserviamo che abbiamo dovuto escludere lo zero dall’insieme dei numeri naturali, onde evitare un elemento con denominatore nullo.
Infine, abbiamo anche precisato che la {x} appartiene all’insieme dei numeri razionali. Infatti, ogni elemento di {A} è una frazione (compreso l’elemento {1} che può comunque essere visto come la frazione {\dfrac{1}{1}}).
Veniamo ora all’ultimo di questa serie di esercizi sulla rappresentazione degli insiemi per proprietà caratteristica.
Esercizio 10
Rappresentare per proprietà caratteristica il seguente insieme:
A=\left\{ \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{36}, \dfrac{1}{64}, \dots\right\}Osserviamo che negli elementi contenuti nell’insieme ciascun denominatore rappresenta il quadrato di un numero pari. Di conseguenza abbiamo:
A=\left\{ x \in \mathbb{Q} \: | \: x =\dfrac{1}{(2n)^2}, n \in \N-\{0\} \right\}Conclusioni
Qui termina questa serie di esercizi sulla rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi. In conclusione, se ci viene dato un insieme rappresentato per proprietà caratteristica, ottenerne la corrispondente rappresentazione per elencazione richiede soltanto di eseguire dei calcoli utilizzando le regole che la proprietà caratteristica o le proprietà caratteristiche indicate ci forniscono. Diversamente, se dobbiamo rappresentare per proprietà caratteristica un insieme inizialmente dato per elencazione, dobbiamo scoprire la legge che consente di ottenere ciascuno degli elementi dell’insieme.
Buon proseguimento a tutti voi! 🙂
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