Esercizi sulla razionalizzazione (denominatori di frazioni)

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Radicali

Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi sulla razionalizzazione dei radicali (nel caso dei denominatori di frazioni). Ci occuperemo così di effettuare la razionalizzazione dei denominatori delle frazioni. L’obiettivo è quello di riscrivere la frazione di partenza come una frazione equivalente a quella data ma priva di radice al denominatore.

Affronteremo sia il caso di termini numerici, sia il caso di termini letterali. E in particolare per gli esercizi sulla razionalizzazione dei radicali con termini letterali, dovremo imporre prima di tutto le opportune condizioni di esistenza della frazione di partenza. E tali condizioni dovranno valere anche per la frazione nella forma finale razionalizzata. Inoltre, dovremo giustificare ove necessario le operazioni che eseguiremo per la razionalizzazione.

Cominciamo allora subito questi esercizi sulla razionalizzazione dei radicali, nel caso della razionalizzazione del denominatore di una frazione.

Esercizi sulla razionalizzazione del denominatore di frazioni, svolti e commentati

Prima parte: termini numerici

Esercizio 1

Razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{4}{\sqrt{6}}

L’obiettivo è eliminare la radice al denominatore. Per farlo, dobbiamo fare in modo che il radicando risulti elevato ad esponente {2}. In tal modo, poiché la radice ha indice {2} sarà possibile semplificare il radicale, eliminando così il simbolo di radice.

L’idea è quella di sfruttare la proprietà del prodotto tra radicali con lo stesso indice, e la proprietà del prodotto tra potenze di uguale esponente. Così osservando che si ha:

\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6 \cdot 6} = \sqrt{6^2}=6

possiamo dire che moltiplicando il denominatore per {\sqrt{6}} riusciamo ad eliminare il simbolo di radice dal denominatore stesso, razionalizzandolo. Ma, poiché desideriamo che la frazione che otterremo dovrà essere equivalente a quella di partenza, non possiamo moltiplicare il solo denominatore per {\sqrt{6}}. Quello che allora dobbiamo fare è moltiplicare sia il numeratore, sia il denominatore per la quantità {\sqrt{6}}. In tal modo ciò che facciamo è moltiplicare la frazione di partenza per una quantità uguale a {1}, in modo da ottenere una frazione equivalente a quella data.

Così abbiamo:

\dfrac{4}{\sqrt{6}} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\cancel{4}^{2} \sqrt{6}}{\cancel{6}^{3}}=\dfrac{2 \sqrt{6}}{3}

Esercizio 2

Razionalizzare la seguente frazione:

\dfrac{12}{\sqrt{42}}

In modo del tutto simile al caso precedente, abbiamo:

\dfrac{12}{\sqrt{42}} \cdot \dfrac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}=\dfrac{\cancel{12}^6\sqrt{42}}{\cancel{42}^{21}}=\dfrac{\cancel{6}^2\sqrt{42}}{\cancel{21}^7}=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}

Esercizio 3

Razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{\sqrt{5}+1}{5\sqrt{5}}

Il ragionamento da fare è lo stesso dei casi precedenti. La presenza del fattore {5} al denominatore non comporta alcun cambiamento del metodo da seguire. Abbiamo:

\dfrac{\sqrt{5}+1}{5\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{(\sqrt{5}+1)\sqrt{5}}{5 \cdot 5}=

A questo punto calcoliamo i prodotti al numeratore e al denominatore. Al numeratore in particolare osserviamo che dobbiamo comportarci come nel caso del prodotto tra un binomio e un monomio. Abbiamo:

=\dfrac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 1 \cdot \sqrt{5}}{25}= \dfrac{5+\sqrt{5}}{25}

Abbiamo così visto come razionalizzare il denominatore della frazione di partenza.

Esercizio 4

Razionalizzare:

\dfrac{15}{\sqrt[3]{81}}

Diversamente dai casi precedenti ci ritroviamo al denominatore con una radice cubica. L’idea è comunque sempre quella di voler ritrovarci con un esponente al radicando uguale all’indice. Poiché al radicando abbiamo al momento esponente {1}, non resta che moltiplicare per un radicale avente la stessa base del radicando ma esponente {3-1=2}. In tal modo per le proprietà delle potenze ci ritroveremo con un esponente {3} al radicando, riuscendo quindi ad eliminare la radice. Abbiamo:

\begin{align*} & \dfrac{15}{\sqrt[3]{81}}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{81^2}}{\sqrt[3]{81^2}}=\dfrac{15 \sqrt[3]{81^2}}{\sqrt[3]{81 \cdot 81^2}}=\dfrac{15 \sqrt[3]{81^2}}{\sqrt[3]{81^3}}=\dfrac{15\sqrt[3]{81^2}}{81}= \\ \\ & =\dfrac{5\sqrt[3]{81^2}}{27}=\dfrac{5\sqrt[3]{(3^4)^2}}{27}=\dfrac{5\sqrt[3]{3^8}}{27} = \dfrac{5 \cdot 3^2\sqrt[3]{3^2}}{27} =\dfrac{5}{3}\sqrt[3]{9}\end{align*}

Osserviamo che oltre a razionalizzare abbiamo in più eseguito delle semplificazioni a croce, anche portando fuori dei fattori dal simbolo di radice. In tal modo abbiamo semplificato il più possibile il risultato finale.

Esercizio 5

Razionalizzare:

\dfrac{3}{\sqrt{5}-2}

Siamo nel caso di denominatore uguale ad una differenza tra termini dei quali almeno uno è un radicale.

Per razionalizzare il denominatore di frazioni di questo tipo l’idea è quella di sfruttare il prodotto notevole della somma per differenza. Infatti osserviamo che abbiamo:

(\sqrt{5}-2) \cdot (\sqrt{5}+2)=\left( \sqrt{5}\right)^2-(2)^2 = 5-4=1

Come possiamo vedere il simbolo di radice è scomparso. Così per razionalizzare la frazione di partenza dovremo moltiplicare per la quantità {\sqrt{5}+2} sia il numeratore, sia il denominatore della frazione stessa. Abbiamo:

\dfrac{3}{\sqrt{5}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{3\sqrt{5}+6}{1}=3(\sqrt{5}+2)

e ci siamo.

Esercizio 6

Razionalizzare:

\dfrac{6}{3+\sqrt{3}}

Ragionando in modo simile al caso precedente, dato che al denominatore abbiamo una somma di termini dovremo moltiplicare numeratore e denominatore per la differenza tra quegli stessi termini:

\dfrac{6}{3+\sqrt{3}}\cdot \dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}=\dfrac{18-6\sqrt{3}}{(3^2)-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{6(3-\sqrt{3})}{9-3}=3-\sqrt{3}

Esercizio 7

Razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{20}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7}}

Diversamente dai due esercizi precedenti, qui ci ritroviamo con più di due termini al denominatore. L’idea è quella di ricondurci comunque ad una somma o differenza di termini, in modo da poter ragionare con il prodotto notevole somma per differenza, come nei precedenti casi.

Possiamo allora riguardare la somma algebrica a denominatore ad esempio come una differenza tra quantità:

\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7}=\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}\right)-\sqrt{7}

In altre parole rileggiamo la somma algebrica a denominatore come la differenza tra la quantità {\sqrt{5}+\sqrt{2}} e la quantità {\sqrt{7}}. In altre parole si tratta di porre {A=\sqrt{5}+\sqrt{2}} e {B=\sqrt{7}}. Così abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7}=\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}\right)-\sqrt{7}=A-B \end{align*}

Ma allora possiamo cominciare a razionalizzare la quantità a denominatore moltiplicando numeratore e denominatore della frazione di partenza per {A+B}, ovvero {\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}\right)+\sqrt{7}}. Abbiamo quindi, tornando alla frazione di partenza:

\begin{align*} &\dfrac{20}{(\underbrace{\sqrt{5}+\sqrt{2})-\sqrt{7}}_{A-B}} \cdot \dfrac{(\overbrace{\sqrt{5}+\sqrt{2})+\sqrt{7}}^{A+B}}{\underbrace{(\sqrt{5}+\sqrt{2})+\sqrt{7}}_{A+B}} = \\ \\ & =\dfrac{20\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}{\underbrace{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2-(\sqrt{7})^2}_{A^2-B^2}} =\dfrac{20\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}{(\sqrt{5})^2+2\sqrt{5}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2-(\sqrt{7})^2}=\\ \\ & =\dfrac{20\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}{5+2\sqrt{5 \cdot 2}+2-7} = \dfrac{20\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}{2\sqrt{10}} =\end{align*}

Non abbiamo ancora razionalizzato del tutto il denominatore ma ci siamo ridotti ad un solo radicale. Ciò è dovuto all’aver sviluppato il quadrato {\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^2}. Possiamo ora completare la razionalizzazione procedendo come nei casi precedenti:

\begin{align*} &=\dfrac{20\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}{2\sqrt{10}}  \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}= \dfrac{20\sqrt{10}(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{2 \cdot 10} = \\ \\ & = \dfrac{\cancel{20} \sqrt{10}\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}{\cancel{20}} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{10}\cdot \sqrt{2} + \sqrt{10} \cdot \sqrt{7}= \\ \\ & =\sqrt{50}+\sqrt{20}+\sqrt{70}=\sqrt{5 ^2 \cdot 2}+\sqrt{2 ^2 \cdot 5 }+\sqrt{70} = \\ \\ & =5\sqrt{2}+2\sqrt{5}+\sqrt{70}\end{align*}

Esercizio 8

Proseguiamo gli esercizi sulla razionalizzazione dei radicali (razionalizzazione di denominatori) con il seguente:

\dfrac{6}{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}}

Ci ritroviamo con una differenza di radicali con indice {3}. In questo caso non avrebbe senso moltiplicare numeratore e denominatore per la somma degli stessi termini presenti a denominatore. Infatti, avendo radicali con indice {3} e non più {2}, non riusciremmo a liberarci di nessuna radice.

Osserviamo però che un prodotto notevole nel quale interviene una differenza tra termini è anche quello relativo alla differenza di cubi. In generale, ricordiamo, abbiamo:

(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3

Se allora attribuiamo alle lettere {A} e {B} dei radicali con indice {3}, è chiaro che i termini {A^3} e {B^3} saranno privi di radice. Possiamo allora razionalizzare il denominatore della frazione di partenza.

In particolare, nel nostro caso dovremo porre {A=\sqrt[3]{6}} e {B=\sqrt[3]{9}}. E si tratterà di moltiplicare numeratore e denominatore della frazione di partenza per la quantità {A^2+AB+B^2}. In tal modo ritroveremo la quantità {A^3-B^3} a denominatore, quantità priva di radici. Abbiamo:

\begin{align*} & \dfrac{6}{\underbrace{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}}_{A-B}} \cdot \dfrac{\overbrace{\left( \sqrt[3]{6}\right)^2+\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{9}+\left(\sqrt[3]{9} \right)^2}^{A^2+AB+B^2}}{\underbrace{\left( \sqrt[3]{6}\right)^2+\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{9}+\left(\sqrt[3]{9} \right)^2}_{A^2+AB+B^2}}= \\ \\ & = \dfrac{6 \cdot \left( \sqrt[3]{6^2}+\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{9^2}\right)}{\underbrace{\left( \sqrt[3]{6}\right)^3-\left( \sqrt[3]{9}\right)^3}_{A^3-B^3}} = \dfrac{6 \cdot \left( \sqrt[3]{6^2}+\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{9^2}\right)}{6-9} = \\ \\ & = -2\left( \sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{3 \cdot 2 \cdot 3^2}+\sqrt[3]{(3^2)^2}\right) =\\ \\ & =-2\left( \sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}+\sqrt[3]{3^4}\right)= \\ \\ & =-2\left( \sqrt[3]{36}+3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{3}\right)\end{align*}

E abbiamo così terminato.

Seconda parte: termini anche letterali

Nel caso in cui i numeratori e/o i denominatori delle frazioni dipendano da una o più variabili, occorre anzitutto determinare il campo di esistenza della frazione di partenza. La razionalizzazione del denominatore sarà così possibile soltanto imponendo le condizioni che definiscono tale campo di esistenza.

Esercizio 9

Razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{x-1}{1+\sqrt{x}}

Il radicale nella frazione esiste soltanto per {x \geq 0}. Inoltre, il denominatore della frazione non può essere nullo:

1+\sqrt{x} \neq 0 \iff \sqrt{x} \neq -1

Ma tale condizione è sempre verificata poiché {\sqrt{x}} è una quantità sempre positiva.

Sotto la condizione {x \neq 0} la frazione data esiste ed è possibile eseguire la razionalizzazione del relativo denominatore. Secondo le regole precedentemente viste, dato che al denominatore abbiamo una somma di termini dovremo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per la differenza di quegli stessi termini:

\begin{align*} &\dfrac{x-1}{1+\sqrt{x}}  \cdot \dfrac{ 1 - \sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\dfrac{(x-1)(1-\sqrt{x})}{1^2-\left( \sqrt{x}\right)^2} = \\ \\ & =\dfrac{x-x\sqrt{x}-1+\sqrt{x}}{1-x}=\dfrac{x-1-\overbrace{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}^{\text{radicali simili}}}{1-x}=\\ \\ & =\dfrac{-1(-x+1)+(-x+1)\sqrt{x}}{1-x}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{(-x+1)}(-1+\sqrt{x})}{\cancel{-x+1}}= \\ \\ & =\sqrt{x}-1, \qquad x \geq 0, \quad x \neq 1\end{align*}

Osserviamo che per semplificare i fattori {-x+1} abbiamo dovuto utilizzare la condizione {x \neq 1}.

Esercizio 10

Proseguiamo gli esercizi sulla razionalizzazione dei denominatori delle frazioni con il seguente. Razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{a^3-b^3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

Per le condizioni di esistenza, osserviamo che i radicali al denominatore esistono per {a \geq 0 } e per {b \geq 0}. Inoltre, imponendo il denominatore diverso da zero abbiamo la condizione {a \neq b}.

Procediamo effettuando la razionalizzazione del denominatore. Al denominatore stesso abbiamo una somma di termini, per cui dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore per la differenza di quegli stessi termini:

\begin{align*} &\dfrac{a^3-b^3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{(a^3-b^3)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2} =\\ \\ & =\dfrac{a^3\sqrt{a}-a^3\sqrt{b}-b^3\sqrt{a}+b^3\sqrt{b}}{a-b}= \\ \\ & =\dfrac{(a^3-b^3)\sqrt{a}-(a^3-b^3)\sqrt{b}}{a-b}=\dfrac{(a^3-b^3)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}=\end{align*}

Nei precedenti passaggi abbiamo sommato i radicali simili al numeratore per poi eseguire un raccoglimento. A questo punto procediamo scomponendo la differenza di cubi al numeratore:

=\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}=

Ora possiamo semplificare i fattori {a-b} tra loro. Osserviamo che abbiamo già posto la condizione {a \neq b} nelle condizioni di esistenza, per cui non occorre porre {a-b \neq 0}:

\begin{align*} & =\dfrac{\cancel{(a-b)}(a^2+ab+b^2)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\cancel{a-b}}=\\ \\ & =(a^2+ab+b^2)(\sqrt{a}-\sqrt{b}), \qquad a, b \geq 0, \: a \neq b \end{align*}

Esercizio 11

Razionalizzare il denominatore della frazione seguente:

\dfrac{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}

Per le condizioni di esistenza dei radicali presenti nella frazione abbiamo {x \geq 0 } e {y \geq 0}. Inoltre dobbiamo imporre il denominatore diverso da zero:

\sqrt{x}-2\sqrt{y} \neq 0 \iff \sqrt{x} \neq 2\sqrt{y} \iff x \neq 4y

Con tali condizioni possiamo razionalizzare il denominatore della frazione data come segue:

\begin{align*} & \dfrac{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}=\dfrac{\left( \sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2}{x-4y}=\\ \\ & =\dfrac{x+4\sqrt{xy}+4y}{x-4y}, \qquad x,y \geq 0, \: x \neq 4y \end{align*}

Esercizio 12

Concludiamo questa serie di esercizi sulla razionalizzazione del denominatore di frazioni con il seguente. Razionalizzare:

\dfrac{4}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}

Per le condizioni di esistenza dei radicali al denominatore abbiamo:

x+2 \geq 0 \iff x \geq -2 , \qquad x-2 \geq 0 \iff x \geq 2

Dovendo valere contemporaneamente entrambe le condizioni abbiamo:

x \geq 2

Inoltre dobbiamo imporre il denominatore della frazione diverso da zero:

\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2} \neq 0

Dobbiamo quindi escludere le soluzioni dell’equazione:

\sqrt{x+2} +\sqrt{x-2} = 0

ovvero:

\sqrt{x+2}=-\sqrt{x-2}

Elevando entrambi i membri al quadrato otteniamo:

x+2 = x-2

equazione evidentemente impossibile. Rimaniamo quindi con la sola condizione {x \geq 2}.

Osserviamo che abbiamo al denominatore della frazione una somma fra due radicali. Siamo quindi nel caso del denominatore dato da una somma di termini. Moltiplichiamo quindi numeratore e denominatore per la differenza di quegli stessi termini:

\begin{align*} & \dfrac{4}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}} \cdot \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}= \\ \\ & =\dfrac{4\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\right)}{x+2-(x-2)}=\dfrac{\cancel{4}\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\right)}{\cancel{4}}=\\ \\ & =\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}, \qquad x \geq 2\end{align*}

e abbiamo concluso.

Per quanto riguarda gli esercizi sulla razionalizzazione dei radicali (denominatori di frazioni) è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica!