Esercizi sulla regola di Cartesio

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In questa scheda vediamo degli esercizi che richiedono l’uso della regola di Cartesio. Come sappiamo dalla lezione teorica, tale regola permette di determinare il segno delle eventuali soluzioni reali di un’equazione di secondo grado, senza calcolare. Tuttavia, come vedremo tra un istante la regola di Cartesio permette in alcuni casi di determinare anche il numero di soluzioni reali di un’equazione algebrica di grado superiore al secondo, senza calcolarle.

La regola di Cartesio è quindi utile per le equazioni di secondo grado ma può essere utilizzata anche per equazioni di grado superiore al secondo. Tuttavia, in questa serie di esercizi ci occuperemo unicamente del caso delle equazioni trinomie.

Cominciamo allora subito questa serie di esercizi sulla regola di Cartesio.

Esercizi svolti e commentati sulla regola di Cartesio

Prima parte: determinare il segno delle eventuali soluzioni reali di un’equazione di secondo grado

Esercizio 1

Determinare il segno delle eventuali soluzioni reali dell’equazione:

-x^2+x-4=0

L’equazione è già in forma normale per cui possiamo tranquillamente controllare le permanenze e le variazioni. Ricordiamo che abbiamo una permanenza se il segno di un termine è uguale al segno del termine successivo. Abbiamo invece una variazione se il segno di un termine è diverso dal segno del termine successivo. Il controllo avviene esaminando i coefficienti dell’equazione in forma normale, da sinistra verso destra.

Ricordiamo inoltre che in base alle permanenze e/o variazioni presenti è possibile determinare il segno delle eventuali soluzioni reali di un’equazione di secondo grado, secondo la seguente tabella:

esercizi sulla regola di Cartesio

Nel caso dell’equazione data, ovvero:

-x^2+x-4=0

abbiamo due variazioni. Infatti, il segno cambia nel passare dal coefficiente del termine di grado massimo (negativo) al coefficiente del grado immediatamente inferiore (che è positivo). E questa è una prima variazione. Inoltre, abbiamo anche un’altra variazione poiché dal segno positivo del termine di primo grado passiamo al segno negativo del termine noto.

Dalla tabella, avendo due variazioni deduciamo che l’equazione data avrà eventualmente due soluzioni reali entrambe positive.

Ora, controlliamo il discriminante per vedere se effettivamente abbiamo soluzioni reali:

\Delta=b^2-4ac=1^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)=1-16<0

L’equazione è impossibile e non ha dunque nessuna soluzione reale. Di conseguenza dobbiamo trascurare in questo caso le considerazioni sui segni.

Esercizio 2

Determinare il segno delle eventuali soluzioni della seguente equazione:

4x^2-7x+1=0

Controlliamo subito il discriminante, in modo da non studiare inutilmente i segni. Abbiamo:

\Delta = b^2-4ac=49-4 \cdot 1=45>0

Il discriminante è positivo e siamo quindi certi che l’equazione ammette soluzioni reali. Procediamo determinando il segno delle soluzioni.

Nell’equazione abbiamo due variazioni. Infatti, il segno del termine di grado massimo è positivo mentre il termine di grado immediatamente inferiore è negativo. Infine, il segno del termine noto è positivo, quindi opposto al segno del termine di primo grado.

Così in conclusione per l’equazione abbiamo due soluzioni reali entrambe positive.

Esercizio 3

Determinare il segno delle eventuali soluzioni dell’equazione:

8x^2+x-1=0

Abbiamo {\Delta = b^2-4ac=1-4 \cdot 8 \cdot (-1) >0}. Di conseguenza l’equazione ammette due soluzioni reali ed ha senso determinarne il segno.

Applichiamo la regola di Cartesio. Nell’equazione abbiamo una permanenza e una variazione, pertanto abbiamo due soluzioni di segno discorde (una soluzione positiva ed una soluzione negativa). Inoltre, grazie alla tabella riportata all’inizio della scheda possiamo anche trarre ulteriori conclusioni. E per fare ciò basta osservare i segni dei coefficienti {a}, {b} e {c} nell’equazione.

In particolare, dato che {a} e {c} sono discordi ed {a} e {b} sono concordi, il valore assoluto della soluzione negativa sarà maggiore della soluzione positiva.

Come verifica, risolvendo l’equazione otteniamo le soluzioni:

x_{1,2}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 8 \cdot (-1)}}{2 \cdot 8}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{33}}{16}

le quali effettivamente rispettano le condizioni dettate dalla regola di Cartesio.

Importante: gli esercizi a seguire sono destinati unicamente a chi già conosce le equazioni di grado superiore al secondo.

Seconda parte: determinare il numero delle soluzioni di un’equazione trinomia (e anche biquadratica) senza calcolarle

Ricordiamo che per risolvere le equazioni trinomie ricorriamo ad una sostituzione del tipo:

x^n=t, \qquad n \in \mathbb{N}

ritrovandoci con un’equazione di secondo grado nella variabile {t}. Così, se il determinante di tale equazione è non negativo, dai segni delle soluzioni reali nella variabile {t} sarà possibile capire quante soluzioni reali ha l’equazione trinomia di partenza.

In particolare, se l’esponente {n} che compare nella sostituzione è dispari, ad ogni soluzione {t} corrisponderà una soluzione nella variabile {x}. Invece, se l’esponente {n} è pari, ad ogni soluzione in {t} corrisponderanno due soluzioni in {x} se e solo se {t} è un valore positivo. Invece, a {t} negativi (sempre con {n} pari) non corrisponderà alcuna soluzione in {x}. Infatti, nei reali non è possibile estrarre la radice con indice pari di una quantità negativa.

Ma vediamo subito di mettere in pratica le considerazioni fatte finora.

Esercizio 4

Determinare senza calcolarle il numero delle soluzioni della seguente equazione trinomia:

5x^4+7x^2-2=0

Per risolvere l’equazione occorre porre la sostituzione:

x^2=t

ottenendo un’equazione di secondo grado nella variabile {t}.

Per ricavare le soluzioni in {x} occorre infine risolvere le equazioni che si ottengono sostituendo alla {t} nella precedente uguaglianza le soluzioni dell’equazione di secondo grado nella variabile {t}. Tuttavia, come detto il nostro obiettivo è determinare il numero delle soluzioni senza calcolarle. Ma per fare questo è comunque necessario tenere ben presente il metodo per calcolare le soluzioni.

Ora, è evidente che per valori negativi della {t} l’equazione binomia {x^2=t} è impossibile. Invece, se la {t} è positiva otterremo due soluzioni in {x}, del tipo {\pm\sqrt{t}}.

Ma allora utilizzando la regola di Cartesio relativamente all’equazione di secondo grado nella variabile {t} possiamo determinare il numero di soluzioni dell’equazione di partenza.

Operando la sostituzione {x^2=t} nell’equazione {5x^4+7x^2-2=0} otteniamo l’equazione di secondo grado:

5t^2+7t-2=0

Si ha {\Delta = b^2-4ac = 7^2-4 \cdot 5 \cdot (-2) >0}, quindi l’equazione ammette due soluzioni reali in {t}. Ha dunque senso determinare i segni delle soluzioni con la regola di Cartesio.

L’equazione ha una permanenza ed una variazione (vedi regola di Cartesio), di conseguenza avremo una soluzione positiva ed una soluzione negativa. Alla soluzione negativa non corrispondono soluzioni nella variabile {x}. Infatti, se {t} è negativo l’equazione {x^2=t} non ammette soluzioni. Alla soluzione positiva corrispondono invece due soluzioni nella variabile {x}. Infatti, se {t} è positiva l’equazione {x^2=t} ammette due soluzioni. Così, in conclusione l’equazione di partenza ammette due soluzioni.

Esercizio 5

Determinare il numero delle soluzioni della seguente equazione:

x^4-3x^2+1=0

Effettuando la sostituzione {x^2=t} ci ritroviamo con l’equazione di secondo grado:

t^2-3t+1=0

che ha discriminante non negativo e che presenta due variazioni. Di conseguenza, avremo due soluzioni in {t} entrambe positive. E dato che nella sostituzione {x^2=t} l’esponente della {x} è pari, ad ogni soluzione in {t} corrispondono due soluzioni in {x}.

Quindi in conclusione l’equazione di partenza ammette quattro soluzioni reali.

Esercizio 6

Proseguiamo questa serie di esercizi sulla regola di Cartesio con il seguente:

x^{10}+6x^5+8=0

Ponendo {x^5=t} otteniamo l’equazione:

t^2+6t+8=0

avente discriminante non negativo (infatti, {\Delta = 6^2-4 \cdot 1 \cdot 8 =36-32>0}). L’equazione presenta due permanenze e quindi due soluzioni in {t} negative.

Ora, attenzione. Nella sostituzione {x^5=t} l’esponente della {x} è dispari. Di conseguenza, se la {t} è positiva o anche negativa (come in questo caso) avremo comunque una soluzione. E dato che per l’equazione in {t} abbiamo due soluzioni negative, per l’equazione di partenza avremo due soluzioni in {x}.

Esercizio 7

Concludiamo gli esercizi sulla regola di Cartesio con la seguente equazione trinomia:

2x^8-x^4-4=0

Con la sostituzione {x^4=t} otteniamo l’equazione:

2t^2-t-4=0

Si ha {\Delta=b^2-4ac=1-4 \cdot 2 \cdot (-4) > 0}. Così per l’equazione avremo due soluzioni reali. Avendo una variazione e una permanenza, avremo una soluzione negativa e una positiva.

Nella sostituzione {x^4=t} l’esponente della {x} è pari. Di conseguenza, alla soluzione in {t} negativa non corrisponderanno soluzioni in {x}, mentre alla soluzione positiva in {t} corrisponderanno due soluzioni in {x}. Così in conclusione l’equazione di partenza ammette due soluzioni.

Conclusioni

Per quanto riguarda gli esercizi sulla regola di Cartesio per questa scheda è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica!


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