Veniamo ora ad una serie di esercizi svolti sulla scomposizione con il cubo di un binomio. Faremo riferimento alla regola vista sulla lezione relativa a come scomporre un polinomio utilizzando la regola del prodotto notevole del cubo di un binomio.
Per scomporre un polinomio con la regola della scomposizione con il cubo di un binomio dovremo anzitutto individuare dei termini che sono cubi di certe quantità. Fatto ciò, dovremo verificare che i rimanenti termini del polinomio da scomporre sono i tripli prodotti della quantità individuate.
Fatti i dovuti richiami, vediamo subito questa scheda di esercizi svolti sulla scomposizione con il cubo di un binomio.
Esercizi svolti sulla scomposizione con il cubo di un binomio
Esercizio 1
Scomporre mediante la regola del cubo di un binomio il seguente polinomio:
-a^6b^3+3a^4b^2-3a^2b+1
Ricerchiamo prima di tutti dei termini che siano i cubi di certe quantità. E’ immediato ritrovare nel termine {1} il cubo di {\boxed{1}}. Per trovare l’altro cubo dobbiamo ragionare con la proprietà delle potenze di potenze.
In particolare, un monomio sarà il cubo di un altro monomio solamente se gli esponenti delle sue lettere sono tutti divisibili per {3}. L’unico termine fra quelli rimanenti che rispetta un tale requisito è {-a^6b^3}, che infatti è il cubo di {-a^{6:3}b^{3:3}=\boxed{-a^2b}}. Attenzione al segno: il cubo di una quantità negativa è negativo.
Ora verifichiamo che i tripli prodotti costruiti con le quantità {1} e {-a^2b} coincidono con i rimanenti termini del polinomio da scomporre. Abbiamo:
- triplo prodotto del quadrato della prima quantità per la seconda quantità: {3 \cdot 1^2 \cdot (-a^2b) = -3a^2b};
- triplo prodotto della prima quantità per il quadrato della seconda quantità: {3 \cdot 1 \cdot (-a^2b)^2 = 3a^4b^2}.
Effettivamente i due tripli prodotti coincidono con i rimanenti termini del polinomio da scomporre. Riconosciamo quindi un cubo di un binomio ed in particolare scriviamo in conclusione:
-a^6b^3+3a^4b^2-3a^2b+1=(-a^2b+1)^3
Esercizio 2
Scomporre in fattori il seguente polinomio:
ax^6-3a^2x^4+3a^3x^2-a^4
Come nel caso precedente, dobbiamo prima eseguire un raccoglimento a fattore comune:
ax^6-3a^2x^4+3a^3x^2-a^4=a(x^6-3ax^4+3a^2x^2-a^3)
E’ ora possibile scomporre il polinomio dentro le parentesi utilizzando il cubo di un binomio. Infatti, abbiamo i termini {x^6} e {-a^3} che sono rispettivamente i cubi delle quantità {x^{6:3}=\boxed{x^2}} e {-a^{3:3}=\boxed{-a}}.
Controlliamo a questo punto che i rimanenti termini del polinomio da scomporre siano uguali ai tripli prodotti costruiti con le due quantità appena trovate. Abbiamo:
- triplo prodotto del quadrato della prima quantità per la seconda quantità: {3 \cdot (x^2)^2 \cdot (-a) = -3 \cdot ax^4 };
- triplo prodotto della prima quantità per il quadrato della seconda quantità: {3 \cdot x^2 \cdot (-a)^2 = 3a^2x^2}.
Effettivamente le due quantità appena calcolate sono uguali ai rimanenti termini del polinomio da scomporre. Per cui in conclusione possiamo scrivere:
ax^6-3a^2x^4+3a^3x^2-a^4=a(x^2-a)^3
Esercizio 3
-y^8+6y^6-12y^4+8y^2
Osserviamo che possiamo raccogliere tutti i termini per {y^2}:
-y^8+6y^6-12y^4+8y^2=y^2(-y^6+6y^4-12y^2+8)
A questo punto è possibile riconoscere fra le parentesi il cubo del binomio {-y^2+2}. Le verifiche sui tripli prodotti dovranno essere eseguite come nei casi precedenti. Le omettiamo per brevità.
Per cui in conclusione possiamo scrivere:
-y^8+6y^6-12y^4+8y^2=y^2(-y^2+2)^3
Proseguiamo questi esercizi sulla scomposizione con il cubo di un binomio presentando un altro esercizio che richiede un previo raccoglimento a fattore comune totale.
Esercizio 4
Scomporre in fattori il seguente polinomio:
x^7-12x^5y+48x^3y^2-64xy^3
Anche in questo caso si rende necessario un raccoglimento:
x\left( x^6-12x^4y+48x^2y^2-64y^3\right)
Riconosciamo con non troppa difficoltà nel polinomio tra parentesi i cubi delle quantità {x^2} e {-4y}. Per quest’ultimo basta osservare che {(-4)^3=-64}.
Così dopo aver verificato i tripli prodotti come nei casi precedenti possiamo scrivere in conclusione:
x^7-12x^5y+48x^3y^2-64xy^3=x(x^2-4y)^3
Concludiamo questa serie di esercizi sulla scomposizione con il cubo di un binomio con un polinomio contenente dei termini frazionari.
Esercizio 5
Scomporre:
\dfrac{8abx^3y^3}{3}+4abx^2y^2
+2abxy+\dfrac{ab}{3}Cominciamo eseguendo un raccoglimento totale con il termine {\dfrac{1}{3}ab}:
\begin{align*} &\dfrac{8abx^3y^3}{3}+4abx^2y^2
+2abxy+\dfrac{ab}{3} = \\ \\ & =\dfrac{1}3{ab\left(8x^3y^3+\overbrace{12x^2y^2}^{4abx^2y^2:\left( \frac{1}{3}ab\right)}+\underbrace{6xy}_{2abxy:\left( \frac{1}{3}ab\right)}+1 \right)=}\end{align*}Nell’eseguire il raccoglimento serve particolare attenzione per alcuni termini, come evidenziato. Se servono chiarimenti: divisione tra monomi.
Ragioniamo ora sul polinomio dentro le parentesi. Due termini sono chiaramente i cubi: {8x^3y^3} e {1}, rispettivamente i cubi delle quantità {\boxed{2xy}} e {\boxed{1}}. Verifichiamo i tripli prodotti, rispettivamente {3 \cdot (2xy)^2 \cdot 1 = 12x^2y^2} e {3 \cdot 2xy \cdot 1 = 6xy}. Effettivamente coincidono con i rimanenti termini del polinomio per cui abbiamo in conclusione:
\dfrac{8abx^3y^3}{3}+4abx^2y^2
+2abxy+\dfrac{ab}{3}=\dfrac{1}{3}ab\left( 2xy+1\right)^3Osservazione. Inizialmente avremmo anche potuto ridurre tutti i termini del polinomio a denominatore comune. In tal modo il raccoglimento risulta più semplice da eseguire.
Per quanto riguarda gli esercizi sulla scomposizione in fattori dei polinomi utilizzando il cubo di un binomio è tutto. Buon proseguimento!
| « Lezione precedente | Esercizi correlati | Lezione successiva » |
| Ulteriori esercizi |