Esercizi sulla somma di radicali simili

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Radicali

In questa scheda vediamo degli esercizi sulla somma di radicali simili. Precisiamo che intendiamo la somma in senso algebrico. Di conseguenza, incontreremo sia l’operazione di addizione, sia l’operazione di sottrazione.

Negli esercizi sulla somma di radicali simili è fondamentale ovviamente saper riconoscere i radicali simili. E, ricordiamo, due o più radicali sono tra loro simili se sono tutti della forma {k \cdot \sqrt[n]{a}}, ove {k} è un qualsiasi numero reale mentre {a} è il radicando in comune a tutti i radicali simili. Precisiamo che affinché dei radicali siano simili questi devono anche avere lo stesso indice.

Osserviamo inoltre che spesso sarà necessario portare fuori dei fattori dal simbolo di radice in modo da riconoscere dei radicali simili.

Fatte le dovute premesse, mettiamo subito in pratica i concetti esposti svolgendo insieme degli esercizi sulla somma di radicali simili.

Esercizi svolti e commentati sulla somma di radicali simili

Prima parte: radicali con radicandi numerici

Esercizio 1

Calcolare la seguente somma tra radicali:

\sqrt{162}-\sqrt{98}+\sqrt{32}

Apparentemente i radicali non sono tra loro simili. Infatti pur condividendo lo stesso indice hanno diverso radicando. Proviamo allora a portare fuori degli opportuni fattori dal simbolo di radice in modo da riconoscere, se possibile, dei radicali simili. Il primo passo consiste nello scomporre in fattori primi ciascun radicando.

\sqrt{162}-\sqrt{98}+\sqrt{32}=\sqrt{2 \cdot 3^4}-\sqrt{2 \cdot 7^2}+\sqrt{2^5}=

Portiamo fuori i fattori:

=3^2 \sqrt{2} - 7\sqrt{2}+2^2 \sqrt{2} =9\sqrt{2}-7\sqrt{2}+4\sqrt{2}

Ora i radicali sono tutti simili poiché abbiamo radici con lo stesso indice e stesso radicando. Si tratterà quindi di sommare i radicali tra loro come se fossero dei monomi. In pratica i fattori a moltiplicare la quantità sotto radice rappresentano i coefficienti dei monomi, mentre la quantità {\sqrt{2}} rappresenta la parte letterale. Abbiamo, proseguendo i passaggi:

9\sqrt{2}-7\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(9-7+4)\sqrt{2}=6\sqrt{2}

e abbiamo terminato.

Per meglio giustificare quanto fatto, possiamo immaginare di sostituire alla quantità {\sqrt{2}} una lettera, ad esempio ponendo {\sqrt{2}=A}. In tal modo ripartendo dalla somma di radicali abbiamo:

9\sqrt{2}-7\sqrt{2}+4\sqrt{2}=9A-7A+4A=(9-7+4)A=6A

In questo modo vediamo ancor meglio che per eseguire la somma basta seguire le regole per la somma di monomi. Infine, risostituendo alla {A} la quantità {\sqrt{2}} ritroviamo il risultato precedentemente ottenuto.

Esercizio 2

Calcolare la seguente somma tra radicali simili:

5\sqrt{80}-6\sqrt{20}-7\sqrt{45}

Portiamo fuori dei fattori dal simbolo di radice in modo da poter poi riconoscere dei radicali simili, quindi procediamo sommandoli tra loro:

\begin{align*} & 5\sqrt{80}-6\sqrt{20}-7\sqrt{45}=5\sqrt{2^4 \cdot 5 }-6 \sqrt{2^2 \cdot 5}-7\sqrt{3^2 \cdot 5}= \\ \\ & =5 \cdot 2^2 \sqrt{5}-6 \cdot 2 \sqrt{5}-7 \cdot 3 \sqrt{5} = 20 \sqrt{5}-12\sqrt{5}-21\sqrt{5} = \\ \\ & =(20-12-21)\sqrt{5}=-13\sqrt{5} \end{align*}

Abbiamo terminato.

Esercizio 3

Calcolare la seguente somma:

\dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{64}{3}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{3}}

Riconosciamo ai numeratori dei radicandi dei primi due termini delle potenze di {2}:

\dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{64}{3}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{2^2}{3}}-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2^6}{3}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{3}}=

Ora portiamo fuori i fattori:

=\dfrac{1}{5} \cdot 2 \cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\dfrac{1}{3} \cdot 2^3 \sqrt{\dfrac{1}{3}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{5}\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\dfrac{8}{3}\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{3}}=

A questo punto sommiamo i radicali simili tra loro:

=\left( \dfrac{2}{5}-\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{2}\right)\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\left( \dfrac{12-80-15}{30}\right)\sqrt{\dfrac{1}{3}}=-\dfrac{83}{30}\sqrt{\dfrac{1}{3}}

Esercizio 4

Procediamo con gli esercizi sulla somma di radicali simili con il seguente:

3\sqrt{5}+2-4\left( \sqrt{125}-\sqrt{45}\right)

Cominciamo sviluppando anzitutto il prodotto:

\begin{align*} &3\sqrt{5}+2-4\left( \sqrt{125}-\sqrt{45}\right)=  \\ \\ & = 3\sqrt{5}+2-4\sqrt{125}+4\sqrt{45}=\end{align*}

A questo punto scomponiamo in fattori i radicandi, ove possibile:

=3\sqrt{5}+2-4\sqrt{5^3}+4\sqrt{3^2 \cdot 5}=

Ora portiamo fuori dalle radici gli opportuni fattori, quindi sommiamo tra loro i radicali simili:

\begin{align*} & 3\sqrt{5}+2-4 \cdot 5 \sqrt{5}+4 \cdot 3 \sqrt{5} = 3\sqrt{5}+2-20\sqrt{5}+12\sqrt{5} =\\ \\ & =(3-20+12)\sqrt{5} +2=-5\sqrt{5}+2 \end{align*}

Esercizio 5

Calcolare:

\sqrt[4]{\dfrac{256}{81}}-3 \sqrt{\dfrac{8}{9}}+\sqrt{\dfrac{200}{16}}-\sqrt[6]{64}

Scomponiamo in fattori i numeratori e i denominatori delle frazioni all’interno delle radici:

\begin{align*} &\sqrt[4]{\dfrac{256}{81}}-3 \sqrt{\dfrac{8}{9}}+\sqrt{\dfrac{200}{16}}-\sqrt[6]{64}= \\ \\ & =\sqrt[4]{\dfrac{2^8}{3^4}}-3\sqrt{\dfrac{2^3}{3^2}}+\sqrt{\dfrac{2^3 \cdot 5^2}{2^4}}-\sqrt[6]{2^6}=\end{align*}

A questo punto portiamo dei fattori fuori dal simbolo di radice, sia ai numeratori, sia ai denominatori. Semplifichiamo inoltre il primo e l’ultimo radicale:

=\dfrac{2^2}{3}-3 \cdot \dfrac{2}{3}\sqrt{2}+\dfrac{2 \cdot 5}{2^2}\sqrt{2}= \dfrac{4}{3}-2\sqrt{2}+\dfrac{5}{2}\sqrt{2} -2= 

Concludiamo l’esercizio sommando i radicali simili:

\begin{align*} & =\dfrac{4}{3}+\left(-2+\dfrac{5}{2} \right)\sqrt{2}-2=\dfrac{4}{3}+\left( \dfrac{-4+5}{2}\right)\sqrt{2}-2= \\ \\ & =\dfrac{4}{3}-2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\end{align*}

A questo punto osserviamo che possiamo sommare tra loro i termini che non contengono radicali:

=\dfrac{4-6}{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}

e questo è il risultato della somma di partenza.

Esercizio 6

Calcolare:

(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2+\sqrt{24}-4\sqrt{54}

Prima di tutto sviluppiamo il quadrato di un binomio:

\begin{align*} &(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2+\sqrt{24}-4\sqrt{54} = \\ \\ & =\left[ 2^2 \cdot \left( \sqrt{3}\right)^2\right]-2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} +\left( \sqrt{2}\right)^2 +\sqrt{24}-4\sqrt{54}= \\ \\ & =4 \cdot 3 -4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2+\sqrt{24}-4\sqrt{54}=\end{align*}

Ora osserviamo che per le proprietà delle potenze si ha {\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3^{1/2} \cdot 2^{1/2} = (3 \cdot 2)^{1/2} = 6^{1/2} = \sqrt{6}} (vedremo la regola rapida per moltiplicare radicali dello stesso indice tra loro nella prossima lezione). Portiamo inoltre fuori i fattori dai radicali, ove possibile:

\begin{align*} & =12-4\sqrt{6}+2+\sqrt{2^3 \cdot 3}-4 \sqrt{2 \cdot 3^3}= \\ \\ & =12-4\sqrt{6}+2+2\sqrt{6}-4 \cdot 3 \sqrt{6}=\\ \\ & =12-4\sqrt{6}+2+2\sqrt{6}-12\sqrt{6}=\end{align*}

Ora non resta che sommare i termini simili tra loro, eseguendo poi un raccoglimento:

12+2+(-4+2-12)\sqrt{6}=14-14\sqrt{6}=14(1-\sqrt{6})

Ancora una volta abbiamo sommato tra loro i termini contenenti lo stesso radicale e i termini privi di radicale.

Seconda parte: esercizi con somme tra radicali simili con radicandi variabili

Esercizio 7

Passiamo ora ad esercizi sulla somma di radicali simili con radicandi dipendenti da una variabile.

Calcolare:

\sqrt{242x}+3 \sqrt{50x}-\sqrt{32x}-5\sqrt{288x}

Osserviamo che la condizione di esistenza dell’espressione è {x \geq 0}. Infatti abbiamo dei radicali con indice pari. E tutti i radicandi saranno positivi o nulli se e solo se la {x} è positiva o al più nulla.

Cominciamo scomponendo i coefficienti della {x} in fattori primi. Quindi, procediamo portando fuori gli opportuni fattori dalle radici:

\begin{align*} &\sqrt{242x}+3 \sqrt{50x}-\sqrt{32x}-5\sqrt{288x} = \\ \\ & =\sqrt{2 \cdot 11^2 \cdot x}+3 \sqrt{2 \cdot 5^2 \cdot x}-\sqrt{2^5 \cdot x}-5 \sqrt{2^5 \cdot 3^2 \cdot x}= \\ \\ & =11 \sqrt{2x}+ 3 \cdot 5 \sqrt{2x}-2^2 \sqrt{2x}-5 \cdot 2^2\cdot3\sqrt{2x}= \\ \\ & =11 \sqrt{2x}+15\sqrt{2x}-4\sqrt{2x}-60\sqrt{2x}=\end{align*}

A questo punto non resta che sommare tra loro i radicali simili:

= (11+15-4-60)\sqrt{2x} = -38\sqrt{2x}

Osserviamo che il risultato finale ottenuto ha la stessa condizione di esistenza dell’espressione di partenza.

Esercizio 8

Calcolare:

\left( \sqrt{2x^3}-x\sqrt{6x}\right)^2

La condizione di esistenza dell’espressione è {x \geq 0}. Infatti abbiamo radicali tutti con indice pari e di conseguenza richiediamo che i radicandi siano positivi o al più nulli.

Cominciamo svolgendo il quadrato:

\begin{align*} &\left( \sqrt{2x^3}-x\sqrt{6x}\right)^2 = \\ \\ & =\left( \sqrt{2x^3}\right)^2-2 \cdot \sqrt{2x^3} \cdot x \cdot \sqrt{6x}+\left( -x\sqrt{6x}\right)^2 = \\ \\ & =2x^3-2x\sqrt{2x^3} \cdot\sqrt{6x}+x^2\cdot6x = \end{align*}

A questo punto portiamo fuori dei fattori dalle radici ove possibile:

=2x^3-2x \cdot x\sqrt{2x}\cdot\sqrt{6x}+6x^3=8x^3-2x^2\sqrt{2x}\sqrt{6x}=

Ora osserviamo che {\sqrt{2x} \cdot \sqrt{6x} = (2x)^{1/2} \cdot (6x)^{1/2} = (2x \cdot 6x)^{1/2} = \sqrt{12x^2}}. Così:

\begin{align*} & =8x^3-2x^2\sqrt{12x^2}=8x^3-2x^2\cdot x \sqrt{12} = \\ \\ & = 8x^3-2x^3\sqrt{12}= 8x^3-2x^3 \cdot \sqrt{2^2 \cdot 3}= \\ \\ & =8x^3-2x^3 \cdot 2 \sqrt{3}=8x^3-4x^3\sqrt{3}=x^3(8-4\sqrt{3}) =4x^3(2-\sqrt{3}) \end{align*}

Imponiamo anche per l’espressione finale la condizione di esistenza dell’espressione di partenza. Solo in tal modo infatti abbiamo l’equivalenza tra il risultato ottenuto e l’espressione di partenza.

Osserviamo infine che nei passaggi abbiamo portato fuori dalla radice un fattore {x} senza porlo entro il simbolo di modulo. Ciò è dovuto proprio alla condizione di esistenza dell’espressione.

Per quanto riguarda gli esercizi sulla somma di radicali simili è tutto. Buon proseguimento!