Esercizi sulle disequazioni di secondo grado

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In questa scheda ci occupiamo di esercizi sulle disequazioni di secondo grado, svolti e commentati. In particolare, vedremo come risolvere le disequazioni di secondo grado utilizzando sia il metodo algebrico (disequazioni prodotto), sia il metodo della parabola.

Il metodo algebrico per gli esercizi sulle disequazioni di secondo grado si basa sullo studio dei segni del prodotto al primo membro di una disequazione di secondo grado in forma normale. Si tratterà quindi di ridurre se necessario la disequazione data alla forma normale, scomporre il polinomio di secondo grado al primo membro e quindi studiare il segno del polinomio stesso mediante lo studio del segno di ciascun fattore presente nella sua scomposizione. In tal modo, sarà possibile individuare l’insieme delle soluzioni della disequazione individuando i valori che soddisfano la condizione sul polinomio al primo membro posta dalla disequazione stessa.

Ad esempio, data una disequazione del tipo

P(x)>0

occorrerà scegliere come insieme delle soluzioni tutti i valori che rendono il polinomio {P(x)} positivo.

Il metodo della parabola consente di effettuare rapidamente lo studio del segno del polinomio di secondo grado {P(x)} ragionando sulla parabola {y=P(x)} ovvero, indicando esplicitamente i coefficienti reali del polinomio:

y=ax^2+bx+c

Tale parabola avrà concavità rivolta verso l’alto se il coefficiente {a} è positivo, verso il basso se invece il coefficiente {a} è negativo. Come visto nella lezione teorica, possiamo immaginare una parabola come un bicchiere contenente acqua. Se il coefficiente {a} è positivo l’acqua rimane nel bicchiere, se invece il coefficiente {a} è negativo l’acqua cade dal bicchiere.

Ora, se l’equazione di secondo grado associata {ax^2+bx+c=0} ammette soluzioni reali, la parabola si intersecherà con l’asse delle {x} proprio in corrispondenza dei valori della {x} uguali a tali soluzioni. Così, ragionando sulla concavità della parabola possiamo affermare che se il coefficiente {a} è positivo, il grafico della parabola starà al di sopra dell’asse delle {x} per valori esterni agli zeri (ovvero alle soluzioni dell’equazione associata). E così, potremo affermare che il polinomio {P(x)} è positivo per valori esterni agli zeri dell’equazione associata.

Ma allora, se ad esempio la disequazione da risolvere è del tipo

P(x) > 0

dovremo semplicemente prendere come insieme delle soluzioni della disequazione tutti i valori della {x} che rendono il polinomio {P(x)} positivo, ovvero tutti i valori della {x} esterni agli zeri {x_1} e {x_2}, soluzioni dell’equazione di secondo grado associata. Avremo quindi in tal caso un insieme delle soluzioni per la disequazione di partenza individuato dalla condizione:

x < x_1 \quad \vee \quad x > x_2

ove il simbolo “{\vee}” indica “oppure”.

Sempre tenendo presente quanto visto nella lezione teorica, è possibile adattare i ragionamenti precedenti anche nel caso in cui sia {a< 0} e nel caso in cui si abbiano nella disequazione di partenza simboli di disuguaglianza qualsiasi.

Ma vediamo subito caso per caso come svolgere gli esercizi sulle disequazioni di secondo grado. Nella prima parte utilizzeremo il metodo algebrico, mentre nella seconda parte presenteremo esercizi sulle disequazioni di secondo grado svolti utilizzando il metodo della parabola.

Prima parte: metodo algebrico

Nell’utilizzare il metodo algebrico l’idea è quello di vedere le disequazioni di secondo grado come delle disequazioni prodotto. Vediamo subito degli esercizi.

Esercizio 1

Risolvere la seguente disequazione:

x^2+8x+15 < 0

Scomponiamo anzitutto il polinomio al primo membro (regola del trinomio caratteristico):

(x+3)(x+5)<0

Effettuiamo lo studio del segno di ciascun fattore su di uno stesso diagramma. Lo studio del segno del prodotto discenderà immediatamente dalle regole sull’algebra dei segni.

esercizi sulle disequazioni di secondo grado

In particolare dallo studio dei segni emerge che il prodotto {(x+3)(x+5)} è positivo per {x< -5} e per {x > -3}, mentre è negativo per {x} compreso fra {-5} e {-3}.

Ora, dato che nella disequazione di partenza è presente il simbolo di “minore”, ciò che viene richiesto è che il polinomio al primo membro sia negativo. Ma quindi il prodotto {(x+3)(x+5)} dovrà essere negativo. La disequazione sarà allora soddisfatta dai valori della {x} che rendono negativo il prodotto al primo membro, ovvero:

-5 < x < -3 

Osserviamo che i valori {-5} e {-3} sono esclusi dall’insieme delle soluzioni della disequazione. Infatti il simbolo di “minore” non include l’uguaglianza tra i membri della disequazione stessa.

Esercizio 2

Proseguiamo questa serie di esercizi sulle disequazioni di secondo grado con il seguente:

x^2-10x+24 \leq 0

Scomponiamo il polinomio al primo membro in fattori:

(x-4)(x-6) \leq 0 

Come nel caso precedente effettuiamo lo studio dei segni:

esercizi sulle disequazioni di secondo grado

Stavolta la disequazione richiede che il polinomio al primo membro sia minore o anche uguale a zero. Di conseguenza, dovremo prendere come soluzioni della disequazione i valori della {x} che rendono il polinomio negativo o anche nullo:

4 \leq  x \leq 6

Esercizio 3

Vediamo come risolvere la seguente disequazione di secondo grado:

x^2-12x+32 \geq 0

Ormai il procedimento è chiaro. Scomponiamo il polinomio al primo membro:

(x-8)(x-4) \geq 0 

Ora effettuiamo lo studio del segno:

La disequazione di partenza richiede che il prodotto {(x-8)(x-4)} sia positivo o al più nullo. Ma ciò come possiamo vedere dal diagramma avviene per {x \leq 4} e per {x \geq 8}. Di conseguenza la disequazione data è soddisfatta per

x \leq 4 \quad \vee \quad x \geq 8

Seconda parte: risolvere le disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

Esercizio 4

Vediamo come risolvere la seguente disequazione con il metodo della parabola:

x^2-12x-28 \leq 0 

La disequazione è della forma {P(x) \leq 0 }, con {P(x)} polinomio di secondo grado. Dobbiamo allora ragionare con la parabola di equazione {y=P(x)}, ovvero

y=x^2-12x-28 

Poiché il coefficiente della {x^2} è positivo, la parabola ha concavità rivolta verso l’alto. Vedendo la parabola come un bicchiere contenente acqua, l’acqua rimane nel bicchiere.

Ora, vediamo se la parabola si interseca con l’asse delle {x}. Per fare questo, risolviamo l’equazione di secondo grado associata:

x^2-12x-28 = 0

Otteniamo le soluzioni:

x_1 = -2, \qquad x_2 = 14

Quindi il grafico della parabola si interseca con l’asse delle {x}, e data la sua concavità il grafico si troverà al di sopra dell’asse delle {x} per valori esterni agli zeri, e al di sotto dell’asse delle {x} per valori interni agli zeri.

esercizi sulle disequazioni di secondo grado

Di conseguenza, il polinomio {x^2-12x-28} sarà positivo per valori esterni agli zeri e negativo per valori interni. E dato che la disequazione di partenza richiede che tale polinomio sia negativo o al più nullo, questa sarà soddisfatta per

-2  \leq x \leq  14

Osserviamo che abbiamo compreso nell’insieme delle soluzioni della disequazione anche gli zeri. Infatti, nella disequazione stessa è presente il simbolo di “minore o uguale“, ed è dunque ammessa anche l’uguaglianza tra i membri della disequazione.

Esercizio 5

Risolvere la seguente disequazione di secondo grado (metodo della parabola):

x^2+16x+28 \geq 0

Il coefficiente della {x^2} è positivo per cui la parabola di equazione {y=x^2+16x+28 } ha concavità rivolta verso l’alto (come nell’esercizio precedente). Per cui la disequazione sarà soddisfatta per valori esterni agli zeri dell’equazione associata, compresi in questo caso anche gli zeri (abbiamo un simbolo di maggiore o uguale).

Risolvendo l’equazione associata

x^2+16x+28 = 0

otteniamo le soluzioni

x_1=-14, \qquad x_2=-2

Di conseguenza la disequazione sarà verificata per:

x \leq -14 \quad \vee \quad x \geq -2

Veniamo ora all’ultimo di questi esercizi sulle disequazioni di secondo grado.

Esercizio 6

Risolvere la disequazione:

-x^2+8x-7 < 0

Il coefficiente della {x^2} è negativo, di conseguenza la parabola di equazione {y = -x^2+8x-7 } stavolta ha concavità rivolta verso il basso. Ciò significa che immaginando la parabola come un bicchiere, il bicchiere è rovesciato e l’acqua fuoriesce.

L’equazione associata

-x^2+8x-7 = 0

ha per soluzioni

x_1 =1, \qquad x_2=7

Dunque il grafico della parabola {y = -x^2+8x-7} (con concavità rivolta verso il basso) si intersecherà con l’asse delle {x} in due punti:

esercizi sulle disequazioni di secondo grado

Ora, veniamo a quanto richiesto dalla disequazione di partenza. In particolare, il polinomio a primo membro deve essere minore di zero. Ma come possiamo vedere, ciò si verifica per i valori della {x} ove la parabola si trova al di sotto dell’asse delle {x}. Di conseguenza, la disequazione è soddisfatta per valori esterni agli zeri:

x < 1 \quad \vee \quad x > 7

Gli zeri sono esclusi dall’insieme delle soluzioni della disequazione poiché nella disequazione stessa abbiamo il simbolo di “minore” e non “minore o uguale”.

Osservazione. Sfruttando le proprietà delle disequazioni è possibile riscrivere la disequazione di partenza in modo del tutto equivalente invertendo il segno di tutti i suoi termini e il suo verso. Così in alternativa nel caso in esame avremmo potuto risolvere pervenendo allo stesso insieme delle soluzioni la disequazione {x^2-8x+7 > 0}.


Per quanto riguarda come risolvere gli esercizi sulle disequazioni di secondo grado è tutto. Un saluto a tutti voi e buono studio!


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