Esercizi sulle equazioni binomie

 - 

Equazioni (superiori)

Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi svolti e commentati sulle equazioni binomie, nel caso delle equazioni di grado superiore al secondo.

Ci siamo occupati già delle equazioni binomie nella lezione teorica ad esse dedicata. L’obiettivo della presente scheda è così quello di mettere in pratica quanto visto nella teoria in modo da risolvere le equazioni binomie.

Ricordiamo che la forma normale di un’equazione binomia è :

x^n=a, \qquad n \in \mathbb{N} \setminus\{0\}, \qquad a \in \mathbb{R}

Se {n} è dispari, l’equazione ammette sempre l’unica soluzione reale {x=\sqrt[n]{a}} qualunque sia {a \in \mathbb{R}}.

Invece, nel caso in cui {n} è pari, l’equazione è determinata (ovvero ammette soluzioni) soltanto nel caso in cui sia {a \geq 0}. Ciò ovviamente riferendoci al caso della ricerca delle sole soluzioni reali. In particolare abbiamo:

x_{1,2}=\pm \sqrt[n]{a}, \qquad n \: \text{pari}, \quad a \geq 0

Così se {n} è pari ed abbiamo {a < 0} l’equazione si dirà impossibile.

Precisiamo infine che nel caso in cui sia {a=0} l’equazione ammetterà sempre {n} soluzioni coincidenti tutte uguali a zero.

Richiamati i concetti fondamentali, mettiamoci subito al lavoro con gli esercizi sulle equazioni binomie di grado superiore al secondo, svolti e commentati.

Esercizi svolti e commentati sulle equazioni binomie

Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione:

x^3=-8

L’equazione è binomia ed è già in forma normale. Infatti è del tipo {x^n=a}, con {n=3} ed {a=-8}. In particolare, osserviamo che siamo nel caso di esponente {n} dispari. Di conseguenza, l’equazione ammetterà un’unica soluzione, uguale a:

x= \sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2

Esercizio 2

Risolvere la seguente equazione binomia:

\dfrac{x^4}{32}=1

Prima di tutto dobbiamo ricondurre l’equazione alla forma normale. L’equazione non è infatti in forma normale poiché abbiamo un coefficiente del termine in {x^n} diverso da {1}. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per {32} abbiamo:

\dfrac{x^4}{32}\cdot32=1 \cdot 32

e quindi:

x^4=32

Ora l’equazione è in forma normale con {n=4} e {a=32}. Poiché l’esponente {n=4} è pari e il secondo membro è positivo, l’equazione è determinata. E’ infatti possibile estrarre la radice con indice pari di un numero negativo. Otteniamo così le soluzioni:

x_{1,2}=\pm \sqrt[4]{32}=\pm \sqrt[4]{2^5}=\pm 2\sqrt[4]{2}

Esercizio 3

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione:

8x^3+1=0

Riduciamo l’equazione alla forma normale {x^n=a}:

8x^3=-1; \qquad x^3=-\dfrac{1}{8}

Poiché abbiamo per la {x} un esponente dispari, anche se il termine al secondo membro è negativo otteniamo comunque per l’equazione la seguente soluzione:

x=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2^3}}=-\dfrac{1}{2}

Esercizio 4

Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni binomie con la seguente:

27x=\left( \dfrac{1}{x}\right)^2

Riconduciamo l’equazione prima di tutto alla forma normale. Calcoliamo come primo passo la potenza al secondo membro. Ricordiamo che la potenza n-esima di una frazione si calcola elevando all’esponente {n} sia il numeratore, sia il denominatore della frazione stessa. Così abbiamo:

27x=\dfrac{1^2}{x^2}

e quindi:

27x=\dfrac{1}{x^2}

Possiamo moltiplicare entrambi i membri per {x^2} ma a patto di porre {x \neq 0}. Ciò per rispettare il secondo principio di equivalenza, che richiede che la quantità per la quale moltiplichiamo entrambi i membri di un’equazione sia diversa da zero. Inoltre, per {x=0} la frazione algebrica al secondo membro non avrebbe significato. Otteniamo in questo modo:

27x \cdot x^2 = \dfrac{1}{x^2} \cdot x^2, \qquad x \neq 0

ovvero:

27x^3=1

A questo punto isoliamo la {x^3}:

x^3=\dfrac{1}{27}

Otteniamo infine la soluzione:

x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{1}{3}

Esercizio 5

Risolvere:

6x^4+\dfrac{1}{36}=0

Appare subito evidente che l’equazione è impossibile. Infatti, la quantità {6x^4} è positiva per ogni valore della {x}. Infatti, abbiamo una potenza pari. Inoltre, anche la quantità {\dfrac{1}{36}} è banalmente positiva per ogni valore della {x} (si tratta infatti di una costante). Così, il primo membro non potrà essere mai nullo e quindi l’equazione non sarà mai verificata.

Comunque, procedendo i passaggi abbiamo:

6x^4=-\dfrac{1}{36}, \qquad x_{1,2}=\pm\sqrt[4]{-\dfrac{1}{36}}= \text{non esiste}

Non possiamo far altro che fermarci poiché nell’insieme dei numeri reali la radice con indice dispari di un numero negativo non esiste. Concludiamo quindi nuovamente che l’equazione è impossibile.

Esercizio 6

Risolvere l’equazione:

25x^4-49=0

Riducendo l’equazione alla forma normale otteniamo:

x^4=\dfrac{49}{25}

e quindi in conclusione:

x_{1,2}=\pm \sqrt[4]{\dfrac{49}{25}}=\pm \sqrt{\dfrac{7^2}{5^2}}=\pm \sqrt{\dfrac{7}{5}}

In questi casi è utile ricordare le regole sulla semplificazione dei radicali. Se non ricordiamo le regole possiamo comunque cavarcela ragionando con le potenze ad esponente razionale. Infatti:

\sqrt[4]{\dfrac{49}{25}}=\left( \dfrac{49}{25}\right)^{\frac{1}{4}}=\dfrac{49^{\frac{1}{4}}}{25^{\frac{1}{4}}}=\dfrac{\left( 7^2\right)^{\frac{1}{4}}}{(5^2)^{\frac{1}{4}}}=\dfrac{7^{\frac{2}{4}}}{5^{\frac{2}{4}}}=\dfrac{7^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}

Esercizio 7

Concludiamo gli esercizi sulle equazioni binomie con la seguente equazione:

2x^2+\dfrac{3-\sqrt{7}}{x^4}=0

Riduciamo anzitutto l’equazione alla forma normale. Mettiamo anzitutto i termini al primo membro a denominatore comune (al secondo membro abbiamo il solo termine zero):

\dfrac{2x^2 \cdot x^4+3-\sqrt{7}}{x^4}=0

ovvero:

\dfrac{2x^6+3-\sqrt{7}}{x^4}=0

A questo punto moltiplichiamo entrambi i membri per {x^4}, ponendo la condizione {x \neq 0}. Abbiamo:

2x^6+3-\sqrt{7}=0, \qquad x \neq 0

In conclusione otteniamo la seguente equazione binomia in forma normale:

x^6=\dfrac{\sqrt{7}-3}{2}

Abbiamo {n=6} (quindi pari) e {a=\dfrac{\sqrt{7}-3}{2}}. Tutta sta a questo punto a capire se la quantità al secondo membro è non negativa oppure no. Abbiamo:

\sqrt{7}<\sqrt{9}=3

di conseguenza la quantità al secondo membro è negativa e quindi l’equazione data è impossibile.

Per quanto riguarda gli esercizi sulle equazioni binomie è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica!