Esercizi sulle equazioni di primo grado

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Equazioni (superiori)

In questa scheda forniamo una serie di esercizi sulle equazioni di primo grado, di vario tipo. Cominceremo da esercizi con semplici equazioni intere, proseguendo poi con esercizi nei quali è richiesto il calcolo di prodotti. In questo modo metteremo ulteriormente in pratica quanto visto nella lezione sulle equazioni di primo grado.

Successivamente proseguiremo con esercizi sulle equazioni di primo grado frazionarie, partendo da equazioni contenenti nei loro membri solo parentesi tonde, arrivando poi fino ad equazioni con espressioni caratterizzate da più livelli di precedenza e con un crescente numero di termini.

Vediamo allora subito questi esercizi sulle equazioni di primo grado, svolti e commentati, organizzati per categorie.

Esercizi sulle equazioni di primo grado svolti e commentati

Prima parte: equazioni di primo grado intere di livello base

Cominciamo gli esercizi sulle equazioni di primo grado con equazioni di primo grado intere di livello base, ovvero le più facili. Si tratta cioè di equazioni di primo grado intere, a termini interi, che non contengono parentesi.

Nello svolgere gli esercizi sulle equazioni di primo grado utilizzeremo le regole pratiche derivanti dai principi di equivalenza, ovvero:

• è possibile trasportare uno o più termini da un membro all’altro dell’equazione a patto di cambiarne il segno;
• è possibile cancellare due termini uguali che si presentano rispettivamente al primo e al secondo membro;
• è possibile moltiplicare o dividere entrambi i membri dell’equazione per uno stesso numero diverso da zero.

Ricordiamo che in un’equazione il primo membro è tutto ciò che sta a sinistra dell’uguale, mentre il secondo membro è tutto ciò che sta alla destra dell’uguale.

Grazie ai principi di equivalenza riusciamo a passare ad equazioni equivalenti a quella di partenza ma via via più semplici fino ad arrivare alla forma normale:

ax+b=0

la quale, se {a \neq 0}, ammette l’unica soluzione:

x=-\dfrac{b}{a}

Inoltre un’equazione si dirà impossibile se nel risolverla otterremo un’uguaglianza assurda, i dirà indeterminata se nel risolvere otteniamo un’uguaglianza verificata per ogni valore della {x}.

Qui abbiamo davvero condensato il più possibile. Per informazioni più rigorose e dettagliate rimandiamo alla lezione teorica (link in fondo a questa pagina).

Cominciamo allora subito a svolgere questi esercizi sulle equazioni di primo grado.

Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione di primo grado:

4x+2=30

Trasportiamo il {2} al secondo membro, cambiandone il segno. Ricordiamo che il nostro obiettivo è isolare la {x}, ovvero lasciarla sola al primo membro:

4x=30-2; \qquad 4x = 28

Ora dividiamo entrambi i membri per il coefficiente della {x}, ovvero {4}:

4x:4=28:4; \qquad x=7

Così {7} è il valore che attribuito alla {x} rende vera l’uguaglianza dell’equazione di partenza. Dunque tale valore della {x} è soluzione o radice dell’equazione.

In alternativa, volendo utilizzare la formula risolutiva, riscriviamo l’equazione di partenza nella forma normale {ax+b=0}: {4x+2-30=0; \qquad 4x-28=0}Infine ricaviamo la soluzione {x=-\frac{b}{a}} ovvero: {x=\dfrac{-(-28)}{4}=\dfrac{28}{4}=7}

Esercizio 2

8x=-18-x

Portiamo il termine {-x} al primo membro (ricordiamo sempre di cambiarne il segno):

8x+x=-18

Sommiamo i termini simili al primo membro:

9x=-18

Dividiamo entrambi i membri per {9}:

x=-\dfrac{18}{9}=-2

Siamo arrivati al risultato finale. L’equazione è possibile ed ammette la soluzione {x=-2}.

Esercizio 3

Risolvere la seguente equazione di primo grado:

32-15x=x

Trasportiamo il termine {x} al primo membro e contemporaneamente il termine {32} al secondo membro. Ricordiamo sempre di cambiare i segni dei termini che trasportiamo:

-15x-x=-32

Sommiamo i termini simili:

-16x=-32

Infine, dividiamo entrambi i membri per {-16}:

-16x:(-16)=-32:(-16)

Otteniamo in conclusione:

x=2

Passiamo ora ad esercizi sulle equazioni di primo grado che sono simili alle precedenti, ovvero sempre intere a coefficienti interi, ma che richiedono di calcolare delle moltiplicazioni.

Seconda parte: equazioni di primo grado con moltiplicazioni

Ci occupiamo ora di esercizi sulle equazioni di primo grado contenenti moltiplicazioni. In esercizi di questo tipo dovremo prima calcolare i prodotti presenti nell’equazione, per poi procedere sommando tra loro i termini simili in ciascun membro ed applicando poi le regole dei principi di equivalenza.

Esercizio 4

Risolvere la seguente equazione di primo grado nella quale compaiono prodotti:

3(7-x)=-2x+7(x-1)-4

Svolgiamo anzitutto i prodotti a primo e secondo membro.

21-3x=-2x+7x-7-4

Sommiamo i termini simili al secondo membro:

21-3x=5x-11

A questo punto trasportiamo il termine {21} al secondo membro e il termine {5x} al primo membro. Ricordiamo sempre di cambiare i segni dei termini che trasportiamo.

-3x-5x=-11-21

Sommiamo i termini simili in ciascun membro:

-8x=-32

Otteniamo la soluzione, dividendo entrambi i membri per {-8}:

x=\dfrac{32}{8}=4

Esercizio 5

2x-4(3-2x)-(5-x)=5(x-1)

Svolgiamo i prodotti in ciascun membro, e inoltre stiamo attenti alla sottrazione presente al primo membro. Ricordiamo in particolare che sottrarre una quantità equivale a sommare la quantità ad essa opposta.

2x-12+8x+(-5+x)=5x-5

e quindi:

2x-12+8x-5+x=5x-5

Sommiamo i termini simili al primo membro:

11x-17=5x-5

Ora trasportiamo il termine {5x} al primo membro e il termine {-17} al secondo membro. Come sempre ricordiamo di cambiare i segni dei termini che trasportiamo:

11x-5x=-5+17

Sommiamo i termini simili in ciascun membro:

6x=12

Otteniamo in conclusione:

x= 2

Esercizio 6

Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni di primo grado contenenti moltiplicazioni con la seguente:

3(x-1)+4(5-x)=6(3-2x)

Calcoliamo anzitutto i prodotti:

3x-3+20-4x=18-12x

Sommiamo i termini simili al primo membro:

-x+17=18-12x

Trasportiamo il termine {17} al secondo membro e il termine {-12x} al primo membro (come sempre, non dimentichiamo di cambiare i segni dei termini che trasportiamo):

-x+12x=18-17

ovvero sommando i termini simili in ciascun membro:

11x=1

e in conclusione:

x= \dfrac{1}{11}

Esercizio 7

Veniamo all’ultimo degli esercizi sulle equazioni di primo grado intere a coefficienti interi. Nei successivi esercizi ci occuperemo sempre di equazioni di primo grado intere ma contenenti termini a coefficienti frazionari.

Risolviamo l’equazione:

1-5(x-1)-4(1+x)=-2(x-2)-7x

Calcoliamo i prodotti:

1-5x+5-4-4x=-2x+4-7x

Sommiamo i termini simili in ciascun membro:

-9x+2=-9x+4

Cancelliamo i due termini {-9x} che si trovano a primo e secondo membro:

\cancel{-9x}+2=\cancel{-9x}+4

Ci ritroviamo con l’uguaglianza:

2=4

che è evidentemente falsa. Quando risolvendo un’equazione arriviamo ad un assurdo, ciò significa che non esistono soluzioni per l’equazione, che è quindi impossibile.

Concludiamo allora che l’equazione data è impossibile e non ammette di conseguenza soluzione alcuna.

Passiamo ora ad equazioni intere però contenenti termini frazionari. In altre parole, ci occuperemo di esercizi sulle equazioni di primo grado che contengono dei numeri ai denominatori.

Terza parte: equazioni di primo grado a termini frazionari

In questa sezione di esercizi sulle equazioni di primo grado ci occupiamo di equazioni contenti termini frazionari. Incontreremo cioè equazioni ove avremo delle quantità numeriche ai denominatori.

Il metodo che qui adotteremo per risolvere tali equazioni consiste nel portare tutti i termini al primo membro, mettere i termini a denominatore comune e quindi eliminare il denominatore sfruttando il secondo principio di equivalenza.

Prestiamo attenzione al fatto che nelle equazioni qui proposte è ad un certo punto possibile eliminare il denominatore comune senza alcuna discussione poiché siamo in presenza di un denominatore numerico. Quando invece incontreremo equazioni con denominatori in cui compare l’incognita {x}, potremo eliminarli soltanto con un’opportuna discussione. Di questo ci occuperemo nello studio delle equazioni di primo grado fratte (o frazionarie).

Esercizio 8

5-\dfrac{2}{3}(x-5)-\dfrac{1}{2}(1-2x)=\dfrac{1}{6}(2x+1)

Anzitutto calcoliamo i prodotti in ciascun membro, come nei casi precedenti. Poiché stiamo lavorando con delle frazioni dovremo eseguire delle semplificazioni incrociate ove possibile:

5-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{3}\cdot (-5)-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot(-\cancel{2}x)=\dfrac{1}{\cancel{6}_{\scriptsize \displaystyle3}}\cdot \cancel{2}x + \dfrac{1}{6}

e quindi:

5-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{10}{3}-\dfrac{1}{2}+x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}

Portiamo tutto a primo membro, quindi mettiamo tutti i termini al primo membro a denominatore comune:

5-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{10}{3}-\dfrac{1}{2}+x-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{6}=0

\dfrac{6 \cdot 5-2 \cdot 2 x+2 \cdot 10-3 \cdot 1+6x-2x-1}{6}=0

A questo punto è possibile eliminare il denominatore (ciò equivale a moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per {6}, in base al secondo principio di equivalenza):

6 \cdot 5-2 \cdot 2 x+2 \cdot 10-3 \cdot 1+6x-2x-1=0

Attenzione. E’ possibile eliminare il denominatore comune soltanto se abbiamo messo a denominatore comune tutti i termini dell’equazione, tutti trasportati al primo membro (il secondo membro dovrà essere zero).

Calcoliamo ora i prodotti:

30-4x+20-3+6x-2x-1=0

Sommiamo tutti i termini simili:

46+0x=0

Ci riduciamo così all’uguaglianza:

46=0

la quale è evidentemente assurda. Di conseguenza, concludiamo che l’equazione non ammette alcuna soluzione ed è impossibile.

Esercizio 9

Risolvere l’equazione di primo grado a termini frazionari:

\dfrac{1}{2}-\left( x-\dfrac{1}{4}\right)-2\left( \dfrac{3}{4}+x\right)=-\dfrac{1}{2}(x-2)

Attenzione a lavorare correttamente con i segni (al primo membro abbiamo un meno davanti a delle parentesi tonde).

\dfrac{1}{2}-x+\dfrac{1}{4}-2\cdot \dfrac{3}{4}-2x=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \cdot (-2)

Calcoliamo i prodotti, eseguendo le semplificazioni incrociate ove necessario:

\dfrac{1}{2}-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}-2x=-\dfrac{1}{2}x+1

Portiamo tutti i termini al primo membro:

\dfrac{1}{2}-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}-2x+\dfrac{1}{2}x-1=0

Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{2-4x+1-6-8x+2x-4}{4}=0

Eliminiamo il denominatore e sommiamo tra loro i termini simili:

-10x-7=0

Trasportiamo il termine {-7} al secondo membro:

-10x = 7

In conclusione otteniamo:

x=-\dfrac{7}{10}

Esercizio 10

Risolvere la seguente equazione di primo grado a termini frazionari:

5+\dfrac{1}{3}(3-x)-\dfrac{1}{2}(1-2x)-4\left( \dfrac{x}{2}-1\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{3}x

Cominciamo come negli esercizi precedenti eseguendo i prodotti:

5+\dfrac{1}{\cancel{3}}\cdot\cancel{3}- \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot (-\cancel{2}x)-\cancel{4}^{\scriptsize \displaystyle2} \cdot \dfrac{x}{\cancel{2}}-4 \cdot (-1) = \dfrac{1}{2}+ \dfrac{5}{3}x

Otteniamo:

5+1-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}+x-2x+4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{3}x

Portiamo tutti i termini al primo membro:

5+1-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}+x-2x+4-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}x=0

Ora mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{6\cdot5+6 \cdot 1 -2 \cdot x-3 \cdot 1+6x-6 \cdot 2x+ 6 \cdot 4 - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 5 x }{6}=0

Svolgiamo i prodotti:

\dfrac{30+6-2x-3+6x-12x+24-3-10x}{6}=0

A questo punto possiamo eliminare il denominatore (secondo principio di equivalenza):

30+6-2x-3+6x-12x+24-3-10x=0

Sommiamo i termini simili:

-18x+54=0 \quad \Rightarrow \quad -18x=-54

Otteniamo in conclusione la soluzione:

x=\dfrac{54}{18}=3

Quarta parte: equazioni con espressioni con più livelli di precedenza

Concludiamo questa scheda di esercizi sulle equazioni di primo grado con equazioni contenenti espressioni aventi più livelli di parentesi.

Esercizio 11

\dfrac{1}{3}\left[ -2(x-3)-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{3x-5}{2}-\dfrac{4x-1}{4}-\dfrac{3}{4}x\right)\right]-\dfrac{11}{8}=1+\dfrac{1}{8}x

Cominciamo eseguendo la somma algebrica tra i termini frazionari all’interno della seconda coppia di parentesi tonde. E’ inoltre possibile eseguire il primo prodotto a sinistra del primo membro e la somma tra termini frazionari al secondo membro. Abbiamo:

\dfrac{1}{3}\left[ -2x+6-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{6x-10-4x+1-3x}{4}\right)\right]-\dfrac{11}{8}=\dfrac{8+x}{8}

Proseguiamo sommando i termini simili al numeratore della frazione all’interno delle parentesi tonde:

\dfrac{1}{3}\left[ -2x+6-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{-x-9}{4}\right)\right]-\dfrac{11}{8}=\dfrac{8+x}{8}

Eseguiamo il prodotto all’interno delle parentesi quadre, liberandoci delle parentesi quadre stesse:

\dfrac{1}{3}\left( -2x+6+\dfrac{x+9}{8}\right)-\dfrac{11}{8}=\dfrac{8+x}{8}

A questo punto calcoliamo il prodotto al primo membro:

-\dfrac{2}{3}x+2+\dfrac{x+9}{24}-\dfrac{11}{8}=\dfrac{8+x}{8}

Ora portiamo tutti i termini al primo membro. Attenzione, nel trasportare la frazione {\dfrac{8+x}{8}} dobbiamo cambiarne il segno ponendo un segno meno davanti alla linea di frazione.

-\dfrac{2}{3}x+2+\dfrac{x+9}{24}-\dfrac{11}{8}-\dfrac{8+x}{8}=0

Proseguiamo mettendo tutti i termini a denominatore comune (attenzione al segno meno davanti all’ultima frazione):

\dfrac{-16x+48+x+9-33-24-3x}{24}=0

Eliminiamo a questo punto il denominatore e sommiamo i termini simili:

-18x=0

e quindi in conclusione:

x=0

Esercizio 12

Concludiamo questa serie di esercizi sulle equazioni di primo grado con la seguente:

\small \dfrac{1-x}{2}-\left[ \dfrac{x-3}{3}-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{x-5}{2}-\dfrac{x-1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{12}x\right]=\dfrac{2+x}{8}-\dfrac{3x-1}{2}+\dfrac{1}{8}x

Eseguiamo i calcoli all’interno delle parentesi tonde e mettiamo a denominatore comune i termini frazionari al secondo membro. Possiamo anche sommare gli ultimi due termini all’interno delle parentesi tonde

\small \dfrac{1-x}{2}-\left[ \dfrac{x-3}{3}-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{2x-10-x+1}{4}\right)+\dfrac{-6x+5x}{12}\right]=\dfrac{2+x-12x+4+x}{8}

Ora eseguiamo il prodotto all’interno delle parentesi tonde e sommiamo i termini simili al numeratore della frazione al secondo membro.

\small \dfrac{1-x}{2}-\left( \dfrac{x-3}{3}+\dfrac{-2x+10+x-1}{8}-\dfrac{1}{12}x\right)=\dfrac{-10x+6}{8}

Mettiamo a denominatore comune le frazioni all’interno delle parentesi tonde (possiamo così eliminare le tonde).

\dfrac{1-x}{2}- \dfrac{8x-24-6x+30+3x-3-2x}{24}=\dfrac{-10x+6}{8}

Portiamo tutti i termini a primo membro. Dobbiamo trasportare la frazione attualmente a secondo membro, e per fare questo basterà porre un segno meno davanti alla linea di frazione.

\dfrac{1-x}{2}- \dfrac{8x-24-6x+30+3x-3-2x}{24}-\dfrac{-10x+6}{8}=0

Ora mettiamo tutti i termini a denominatore comune. Stiamo attenti ai segni meno davanti alle linee di frazione, in modo da lavorare correttamente con i segni:

\dfrac{12-12x-8x+24+6x-30-3x+3+2x+30x-18}{24}=0

A questo punto eliminiamo il denominatore e sommiamo i termini simili:

(-12-8+6-3+2+30)x+12+24-30+3-18=0

Otteniamo:

15x-9=0

e quindi in conclusione:

x=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}

Conclusioni

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sulle equazioni di primo grado intere è tutto. Abbiamo visto sia equazioni a coefficienti interi, sia equazioni a coefficienti frazionari.

Come abbiamo visto è importante applicare con attenzione i principi di equivalenza e le regole che ne derivano, stando molto attenti a lavorare correttamente con i segni e a rispettare le regole di precedenza. Ma mettendo insieme tutte le regole che abbiamo visto nel calcolo con i polinomi e la teoria sulle equazioni di primo grado, nel risolvere gli esercizi vedrete che non avrete problemi. Buon proseguimento!