In questa scheda ci occupiamo di esercizi sulle equazioni di secondo grado, svolti e commentati. Vedremo in particolare equazioni di secondo grado complete da risolvere con la formula risolutiva generale.
Ricordiamo che il primo passo negli esercizi sulle equazioni di secondo grado è quello di ricondurre se necessario l’equazione di partenza alla forma normale, utilizzando i principi di equivalenza. E un’equazione di secondo grado in forma normale è della forma:
ax^2+bx+c=0, \qquad a,b,c \in \mathbb{R}, \: a \neq 0La quantità {\Delta = b^2-4ac} si chiama discriminante, e se abbiamo {\Delta \geq 0 } l’equazione è possibile o determinata ed ammette sempre due soluzioni, diverse tra loro nel caso generale, uguali e coincidenti invece nel particolare caso in cui sia {\Delta = 0}.
Se invece {\Delta < 0 } l’equazione non ammette soluzioni reali ed è impossibile.
Nel caso in cui sia {\Delta \geq 0} le soluzioni dell’equazione sono date da:
x_{1,2} =\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}Ciascuna soluzione si ottiene sostituendo al simbolo {\pm} rispettivamente il segno più e il segno meno.
Negli esercizi a seguire utilizzeremo unicamente la formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado. Tuttavia, sappiate che esistono anche la formula ridotta e la formula ridottissima, le quali consentono in particolari casi di calcolare le soluzioni in maniera più rapida. Nonostante ciò, preferiamo usare una sola formula al fine di evitare confusione. Raccomandiamo comunque, come sempre, di seguire anche le indicazioni del vostro libro di testo e/o insegnante.
Esercizi svolti e commentati sulle equazioni di secondo grado
Prima parte: esercizi di livello base
Esercizio 1
Risolvere la seguente equazione di secondo grado:
x^2+7x+6=0
L’equazione è già in forma normale. E’ infatti della forma {ax^2+bx+c=0} con {a=1, \: b=7} e {c=6}.
Vediamo se il discriminante {\Delta = b^2-4ac} è non negativo. In tal caso, l’equazione ammetterà due soluzioni. Diversamente, questa risulterà impossibile. Abbiamo:
\Delta = b^2-4ac = (7)^2-4 \cdot 1 \cdot 6=49-24=25 > 0
Il discriminante è maggiore di zero e quindi avremo per l’equazione due soluzioni reali reali e distinte.
Osserviamo che avendo calcolato il discriminante già abbiamo di fatto calcolato una parte dell’espressione corrispondente alla formula risolutiva. In altre parole, possiamo esprimere la formula risolutiva come:
x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}In pratica ci basta sostituire nell’espressione della formula risolutiva il valore del discriminante che abbiamo già calcolato. Così abbiamo:
\small x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7\pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-7\pm 5}{2}=\begin{cases}\dfrac{-7+5}{2}=-1 \\ \\ \dfrac{-7-5}{2}=\dfrac{-12}{2}=-6 \end{cases}Abbiamo così determinato le soluzioni dell’equazione di partenza:
x_1=-1; \quad x_2=-6
Esercizio 2
Risolvere:
\dfrac{1}{14}x^2-x+\dfrac{7}{2}=0Osserviamo che non è necessario ricondurre l’equazione alla forma con coefficienti interi. Piuttosto, possiamo direttamente utilizzare i valori frazionari dei coefficienti nella formula risolutiva.
Cominciamo anzitutto calcolando il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4 \cdot \dfrac{1}{14}\cdot \dfrac{7}{2}=1-1=0Poiché il discriminante è nullo avremo per l’equazione due soluzioni reali e coincidenti. In altre parole le due soluzioni avranno lo stesso valore.
Si ha:
x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1\pm 0}{2\cdot\dfrac{1}{14}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{7}}=7Per meglio evidenziare che la soluzione è “doppia”, possiamo in conclusione scrivere:
x_1=7; \quad x_2 = 7
Esercizio 3
Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni di secondo grado con il seguente:
x^2+x+3 = 0
Calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 1^2-4 \cdot 1 \cdot 3 = 1-12=-11 < 0
Il discriminante è minore di zero (negativo) e di conseguenza non esistono soluzioni per l’equazione, e questa si dice impossibile.
Esercizio 4
Risolvere:
9-12x+4x^2=0
Attenzione: il polinomio al primo membro non è ordinato. In altre parole, i termini presenti nell’equazione non sono scritti secondo l’ordine della forma normale. E’ allora opportuno per lavorare più comodamente riscrivere l’equazione come:
4x^2-12x+9=0
In pratica abbiamo cambiato l’ordine dei termini in modo da ricondurci alla forma {ax^2+bx+c=0}. Con questo accorgimento non corriamo il rischio di sbagliare a prendere i coefficienti. Abbiamo:
\Delta = b^2-4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144-144= 0
Otteniamo un valore del discriminante negativo. Di conseguenza ci aspettiamo due soluzioni reali e coincidenti:
\begin{align*} &x_{1,2}=\dfrac{-(-12) \pm 0}{2 \cdot 4} = \dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}\end{align*}Abbiamo così le due soluzioni uguali tra loro:
x_1= \dfrac{3}{2}; \quad x_2=\dfrac{3}{2}Esercizio 5
Risolvere:
\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{25}=0Anche in questo caso, come nell’esercizio 2, non è necessario ricondurre l’equazione alla forma con coefficienti interi. Piuttosto, possiamo calcolare il {\Delta} e quindi applicare la formula risolutiva utilizzando direttamente i termini frazionari. Abbiamo:
\begin{align*}&\Delta = b^2-4ac=\left(- \dfrac{1}{10}\right)^2 - 4 \cdot \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{1}{25}= \\ \\ & =\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{100} = 0\end{align*}Otteniamo un valore per il discriminante pari a zero e di conseguenza avremo due soluzioni reali e coincidenti (ovvero uguali tra loro).
\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \Delta}{2a}= \dfrac{\dfrac{1}{10} \pm 0}{2 \cdot \dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{10} \cdot 8=\dfrac{4}{5}\end{align*}Seconda parte: esercizi di livello intermedio
Dopo aver preso familiarità con la formula risolutiva grazie ed equazioni piuttosto semplici, passiamo ad esercizi sulle equazioni di secondo grado di livello intermedio.
Esercizio 6
Risolvere:
\dfrac{(2-3x)(1-x)}{2}-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x=x^2-2L’equazione non è in forma normale. Infatti abbiamo dei termini anche al secondo membro e anche dei termini simili. Inoltre, dovremo calcolare il prodotto al primo membro.
Cominciamo calcolando il prodotto:
\dfrac{2-2x-3x+3x^2}{2}-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x=x^2-2Procediamo a questo punto portando tutti i termini al primo membro:
\dfrac{2-2x-3x+3x^2}{2}-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x-x^2+2=0Diversamente dai casi precedenti è qui conveniente anche portare tutti i termini a denominatore comune. Si ha:
\dfrac{6-6x-9x+9x^2-3x+2x-6x^2+12}{6}=0A questo punto, come abbiamo visto per le equazioni di primo grado, possiamo eliminare il denominatore senza alcuna discussione, in quanto è un numero. Procediamo inoltre sommando i termini simili tra loro:
(9-6)x^2+(-6-9-3+2)x+6+12=0
otteniamo:
3x^2-16x+18=0
L’equazione è ora in forma normale ed è possibile determinare le eventuali soluzioni con la formula risolutiva generale.
Prima di tutto calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=(-16)^2-4 \cdot 3 \cdot 18 = 256-216=40>0
Il discriminante è maggiore di zero per cui avremo per l’equazione data due soluzioni reali e distinte. Si ha, applicando la formula risolutiva:
\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{16 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \dfrac{16 \pm \sqrt{2^3 \cdot 5}}{6}=\dfrac{16 \pm 2\sqrt{2 \cdot 5}}{6}= \\ \\ & =\dfrac{16 \pm 2 \sqrt{10}}{6}=\begin{cases}\dfrac{16+2\sqrt{10}}{6}=\dfrac{2(8+\sqrt{10})}{6}=\dfrac{8+\sqrt{10}}{3} \\ \\ \dfrac{16-2\sqrt{10}}{6} =\dfrac{8-\sqrt{10}}{3}\end{cases}\end{align*}Osserviamo che nei passaggi abbiamo portato fuori un fattore dal radicale {\sqrt{40}}.
Otteniamo così in definitiva le due soluzioni:
x_1=\dfrac{8+\sqrt{10}}{3}, \quad x_2 = \dfrac{8-\sqrt{10}}{3}Esercizio 7
Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni di secondo grado con il seguente:
(3x-2)^2-(x+7)^2=0
L’equazione non è in forma normale e dobbiamo calcolare i prodotti (quadrati di binomi) per poi sommare i termini simili. Stiamo attenti ad usare correttamente le parentesi onde evitare errori di segno. Abbiamo:
9x^2-12x+4-(x^2+14x+49)=0
ovvero:
9x^2-12x+4-x^2-14x-49=0
A questo punto sommiamo i termini simili:
(9-1)x^2+(-12-14)x+4-49=0
e quindi:
8x^2-26x-45=0
Calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=(-26)^2-4 \cdot 8 \cdot (-45)=676+1440=2116 > 0
Avremo quindi per l’equazione di partenza due soluzioni reali e distinte. Applichiamo la formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado:
\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{26 \pm \sqrt{2116}}{2 \cdot 8 }=\dfrac{26 \pm 46}{16}=\\ \\ & = \begin{cases} \dfrac{26+46}{16}=\dfrac{72}{16}=\dfrac{9}{2} \\ \\ \dfrac{26-46}{16}=\dfrac{-20}{16}=-\dfrac{5}{4}\end{cases}\end{align*}e queste sono le due soluzioni dell’equazione di secondo grado data.
Esercizio 8
Risolvere:
\dfrac{(x+1)(x-2)}{2}+\dfrac{x(3-x)}{3}=\dfrac{x+3}{2}-2x+1Eseguiamo anzitutto i prodotti ai numeratori delle frazioni al primo membro. Portiamo inoltre tutto a primo membro:
\dfrac{x^2-2x+x-2}{2}+\dfrac{3x-x^2}{3}-\dfrac{x+3}{2}+2x-1=0Osserviamo che per trasportare la frazione {\dfrac{x+3}{2}} abbiamo messo semplicemente un segno meno davanti alla linea di frazione.
A questo punto mettiamo tutti i termini a denominatore comune:
\dfrac{3x^2-6x+3x-6+6x-2x^2-(3x+9)+12x-6}{6}=0Come nell’esercizio precedente possiamo eliminare il denominatore senza alcuna discussione in quanto si tratta di un numero. Inoltre, procediamo sommando tra loro i termini simili.
\begin{align*} & 3x^2-6x+3x-6+6x-2x^2-3x-9+12x-6= 0 \\ \\ & (3-2)x^2+(-6+3+6-3+12)x-6-9-6=0 \\ \\ & x^2+12x-21=0\end{align*}Ora calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=12^2- 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 144+84=228 > 0
Possiamo quindi procedere determinando le due soluzioni:
\begin{align*} &x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-12 \pm \sqrt{228}}{2 \cdot1 } = \dfrac{-12 \pm \sqrt{2^2 \cdot 3 \cdot 19}}{2}=\\ \\ & =\dfrac{-12 \pm 2\sqrt{57}}{2}=\begin{cases}\dfrac{-12+2\sqrt{57}}{2}=\dfrac{\cancel{2}(-6+\sqrt{57})}{\cancel{2}}=-6 + \sqrt{57} \\ \\ \dfrac{-12-2\sqrt{57}}{2}=-6-\sqrt{57} \end{cases} \end{align*}Abbiamo così determinato le soluzioni.
Esercizio 9
Proseguiamo ancora questi esercizi sulle equazioni di secondo grado con la seguente:
3x-\dfrac{(x+1)^2}{2}=-3x^2+\dfrac{5x}{2}+\dfrac{3}{2}Calcoliamo anzitutto il prodotto (quadrato di un binomio) al primo membro:
3x- \dfrac{x^2+2x+1}{2}=-3x^2+\dfrac{5x}{2}+\dfrac{3}{2}Ora portiamo tutti i termini al primo membro:
3x- \dfrac{x^2+2x+1}{2}+3x^2-\dfrac{5x}{2}-\dfrac{3}{2}=0Procediamo mettendo tutti i termini a denominatore comune:
\dfrac{6x-x^2-2x-1+6x^2-5x-3 }{2}=0Eliminiamo il denominatore e sommiamo tra loro i termini simili al numeratore:
(-1+6)x^2+(6-2-5)x-1-3=0
ovvero:
5x^2-x-4=0
Calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80=81>0
Quindi otteniamo le soluzioni:
\begin{align*} &x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{1\pm \sqrt{81}}{2\cdot5}= \begin{cases}\dfrac{1+9}{10}=1 \\ \\ \dfrac{1-9}{10}=-\dfrac{8}{10}=-\dfrac{4}{5} \end{cases}\end{align*}Esercizio 10
Risolvere:
\left( x - \dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{13}{10}(x-3)+x^2=-(x+3)-\dfrac{7}{20}+\left( x-\dfrac{1}{2}\right)\left( x+\dfrac{1}{2}\right)+\left( -\dfrac{1}{2}\right)^2Qui si tratta anzitutto di calcolare le potenze e i prodotti in ciascun membro:
\cancel{x^2}-\cancel{x}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{13}{10}x-\dfrac{39}{10}+x^2=-\cancel{x}-3-\dfrac{7}{20}+\cancel{x^2}-\cancel{\dfrac{1}{4}}+\cancel{\dfrac{1}{4}}Ora portiamo tutto al primo membro e quindi sommiamo i termini simili. Non appare qui conveniente mettere tutti i termini a denominatore comune poiché abbiamo un solo termine in {x^2} e un solo termine in {x}.
\begin{align*} &\dfrac{1}{4}+\dfrac{13}{10}x-\dfrac{39}{10}+x^2+3+\dfrac{7}{20}=0 \\ \\ & x^2+\dfrac{13}{10}x+\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{39}{10} + 3 + \dfrac{7}{20}\right) = 0 \\ \\ & x^2+\dfrac{13}{10}x+\dfrac{5-78+60+7}{20}= 0 \\ \\ & x^2+\dfrac{13}{10}x-\dfrac{6}{20}=0 \end{align*}Calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=\left( \dfrac{13}{10}\right)^2- 4 \cdot 1 \cdot \left( -\dfrac{6}{20}\right)=\dfrac{169}{100}+\dfrac{6}{5}=\dfrac{169+120}{100}=\dfrac{289}{100}Otteniamo in conclusione le soluzioni:
x_{1,2}=\dfrac{-\dfrac{13}{10}\pm \sqrt{\dfrac{289}{100}}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-\dfrac{13}{10}\pm \dfrac{17}{10}}{2}=\begin{cases}\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{5}\\ \\ -3 \cdot \dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2} \end{cases}Esercizio 11
Veniamo all’ultimo di questi esercizi sulle equazioni di secondo grado di livello intermedio, per poi passare agli esercizi di livello avanzato. Vediamo come risolvere la seguente equazione di secondo grado:
\dfrac{2}{3}(x+1)^2-\dfrac{1}{3}-5\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)=6-\dfrac{1}{3}\left( x+3\right)^2+2(x+1)Cominciamo calcolando i prodotti, procedendo poi con la somma dei termini simili:
\begin{align*} & \dfrac{2}{3}(x^2+2x+1)-\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{2}x+5 = 6-\dfrac{1}{3} (x^2+6x+9)+2x+2= 0 \\ \\ & \dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{2}x+5-6+\dfrac{1}{3}x^2+\cancel{2x}+3-\cancel{2x}-2= 0 \\ \\ & \left( \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)x^2+\left(\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{2} \right)x +\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}+\cancel{5}-\cancel{6}+\cancel{3}-\cancel{2}=0 \\ \\ & x^2+\left( \dfrac{8-15}{6}\right)x+\dfrac{1}{3}=0 \\ \\ & x^2-\dfrac{7}{6}x+\dfrac{1}{3}=0\end{align*}Calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=\left( -\dfrac{7}{6}\right)^2-4 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{49}{36}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{49-48}{36}=\dfrac{1}{36}> 0Concludiamo calcolando le due soluzioni dell’equazione:
\begin{align*} &x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{\dfrac{7}{6}\pm \dfrac{1}{6}}{2 \cdot 1} = \begin{cases}\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3} \\ \\ 1 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}Esercizio 12
Risolvere:
4x-(x-1)^3+\dfrac{2-x}{2}=-x^2(x+2)-3xCalcoliamo il cubo di un binomio al primo membro e il prodotto al secondo membro:
4x-(x^3-3x^2+3x-1)+\dfrac{2-x}{2}=-x^3-2x^2-3xEliminiamo le parentesi tonde aggiustando i segni di conseguenza. Portiamo inoltre tutti i termini al primo membro e cancelliamo i termini uguali membro a membro:
4x-\cancel{x^3}+3x^2-\cancel{3x}+1+\dfrac{2-x}{2}+\cancel{x}^3+2x^2+\cancel{3x}=0Ora, piuttosto che mettere tutti i termini a denominatore comune è più conveniente applicare la proprietà distributiva alla frazione {\dfrac{2-x}{2}}, che può essere riscritta come {1-\dfrac{1}{2}x}. Si ha:
\begin{align*} &4x+3x^2+1+1-\dfrac{1}{2}x+2x^2=0 \\ \\ & (3+2)x^2+\left( 4-\dfrac{1}{2}\right)x+2=0 \\ \\ & 5x^2+\dfrac{7}{2}x+2=0 \end{align*}Ora calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=\left( \dfrac{7}{2}\right)^2-4 \cdot 5 \cdot 2= \dfrac{49}{4}-40= \dfrac{49-160}{4} < 0Poiché il discriminante (o determinante) è minore di zero, l’equazione data non ammette soluzioni reali ed è impossibile.
Terza parte: esercizi sulle equazioni di secondo grado di livello avanzato
Passiamo ora ad esercizi sulle equazioni di secondo grado di livello avanzato (ma pur sempre di livello scolastico). Nelle equazioni proposte ci ritroveremo a dover utilizzare quanto sappiamo sui radicali:
Esercizio 13
Risolvere la seguente equazione:
-2(x-2)^2-\dfrac{(x-2\sqrt{5})(x+2\sqrt{5})}{2}=x^2-\dfrac{2x-1}{2}Cominciamo calcolando i prodotti al primo membro. Teniamo conto che al numeratore della seconda frazione abbiamo un prodotto notevole somma per differenza. Applichiamo inoltre la proprietà distributiva della divisione alla frazione al secondo membro e successivamente anche alla frazione al primo membro. Si ha:
\begin{align*} &-2(x^2-4x+4)-\dfrac{x^2-(2\sqrt{5})^2}{2}=x^2-x+\dfrac{1}{2} \\ \\ &-2x^2+8x-8-\dfrac{x^2-20}{2}=x^2-x+\dfrac{1}{2} \\ \\ & -2x^2+8x-8-\dfrac{1}{2}x^2+10=x^2-x+\dfrac{1}{2}\end{align*}Ora portiamo tutti i termini al primo membro e sommiamo i termini simili:
\begin{align*} &-2x^2+8x-8-\dfrac{1}{2}x^2+10-x^2+x-\dfrac{1}{2}= 0 \\ \\ & \left( -2-\dfrac{1}{2}-1\right)x^2+(8+1)x-8+10-\dfrac{1}{2}=0 \\ \\ & -\dfrac{7}{2}x^2+9x+\dfrac{3}{2}= 0 \end{align*}Calcoliamo il discriminante:
\Delta = b^2-4ac=9^2-4 \cdot \left( -\dfrac{7}{2}\right) \cdot \dfrac{3}{2}=81+\dfrac{4\cdot 21}{4}=102>0Abbiamo così le soluzioni:
x_1 = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-9 \pm \sqrt{102}}{-7}=\begin{cases}\dfrac{-9+\sqrt{102}}{-7}=\dfrac{9-\sqrt{102}}{7} \\ \\ \dfrac{-9-\sqrt{102}}{-7}=\dfrac{9+\sqrt{102}}{7} \end{cases}Esercizio 14
Veniamo al penultimo di questi esercizi sulle equazioni di secondo grado:
\sqrt{2}x^2+\sqrt{10}x-3x-3\sqrt{5}=0Effettuando un raccoglimento riusciamo a riesprimere l’equazione data nella forma normale:
\sqrt{2}x^2+(\sqrt{10}-3)x-3\sqrt{5}=0Abbiamo {a=\sqrt{2}}, {b=\sqrt{10}-3} e infine {c=-3\sqrt{5}}. Calcoliamo il discriminante:
\begin{align*} & \Delta=b^2-4ac= (\sqrt{10}-3)^2-4 \cdot \sqrt{2} \cdot (-3\sqrt{5})= \\ \\ & =10+9-6\sqrt{10}+12\sqrt{2}\sqrt{5}=19-6\sqrt{10}+12\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}>0 \end{align*}A questo punto possiamo calcolare le due soluzioni reali e distinte dell’equazione:
\begin{align*} &x_{1,2} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{-\sqrt{10}+3 \pm \sqrt{19+6\sqrt{10}}}{2 \sqrt{2}}\end{align*}Per poter proseguire i passaggi dobbiamo trasformare il radicale doppio. Utilizzando la prima formula di trasformazione abbiamo:
\begin{align*} & \sqrt{19+6\sqrt{10}}=\sqrt{19+\sqrt{360}}=\sqrt{\dfrac{19+\sqrt{19^2-360}}{2}} + \sqrt{\dfrac{19-\sqrt{19^2-360}}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{19+\sqrt{361-360}}{2}}+\sqrt{\dfrac{19-\sqrt{361-360}}{2}}=\sqrt{\dfrac{19+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{19-1}{2}}=\\ \\ & =\sqrt{10}+3 \end{align*}A questo punto riprendendo i calcoli delle soluzioni dell’equazione abbiamo:
x_{1,2} = \dfrac{-\sqrt{10}+3 \pm(\sqrt{10}+3)}{2 \sqrt{2}}=\begin{cases}\dfrac{-\sqrt{10}+3+\sqrt{10}+3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}} \\ \\ \dfrac{-\sqrt{10}+3-\sqrt{10}-3}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \end{cases}Infine razionalizzando i denominatori delle soluzioni possiamo scrivere:
\begin{align*} & x_1 = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2};\\ \\ & x_2 = -\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{20}}{2}=-\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=-\sqrt{5} \end{align*}e abbiamo così concluso.
Esercizio 15
Concludiamo gli esercizi sulle equazioni di secondo grado con un esercizio di livello piuttosto avanzato. La difficoltà nell’esercizio è data da un radicale doppio contenente al suo interno la somma di più radicali semplici. Dovremo in questo caso cercare di trasformare il radicale doppio riconoscendo nell’argomento della radice più esterna il quadrato di un quadrinomio.
Importante: l’esercizio è piuttosto avanzato e difficilmente comparirà in una verifica! Lo presentiamo soltanto per completezza, allo scopo di ripassare le proprietà dei radicali. 😉
Risolvere la seguente equazione:
x^2\left(\dfrac{1}{4}-{\dfrac{\sqrt{3}}{4}} \right)-x\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}-1=0Riordinando i fattori e sommando i termini numerici tra loro ci ritroviamo già con l’equazione ridotta in forma normale:
\begin{align*} \left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{4}\right)x^2+\left(\dfrac{-\sqrt{3}+2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2} \right)x +2\sqrt{2}-1 = 0&\end{align*}Infatti basta considerare {a=\dfrac{1-\sqrt{3}}{4} }, {b=\dfrac{-\sqrt{3}+2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2}} e infine {c=2\sqrt{2}-1}.
Calcoliamo il discriminante:
\begin{align*} & \Delta = b^2-4ac=\left(\dfrac{-\sqrt{3}+2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2}\right)^2-{4} \cdot \dfrac{1-\sqrt{3}}{{4}} \cdot (2\sqrt{2}-1)=\\ \\ & =\dfrac{3+4\cdot6+4 \cdot 2 -4\sqrt{3}\sqrt{6}-8\sqrt{6}\sqrt{2}+4\sqrt{3}\sqrt{2}}{4}-\dfrac{(4-4\sqrt{3})(2\sqrt{2}-1)}{4} = \\ \\ & =\dfrac{3+24+8-4\sqrt{18}-8\sqrt{12}+4\sqrt{6}-(8\sqrt{2}-4-8\sqrt{6}+4\sqrt{3})}{4}= \\ \\ & =\dfrac{35-12\sqrt{2}-16\sqrt{3}+4\sqrt{6}-8\sqrt{2}+4+8\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{4}= \\ \\ & =\dfrac{39-20\sqrt{2}-20\sqrt{3}+12\sqrt{6} }{4}\end{align*}Osserviamo che il discriminante contiene dei radicali e di conseguenza nella formula risolutiva ci ritroveremo con un radicale doppio (infatti nella formula compare la quantità {\sqrt{\Delta}}). Dovremo quindi lavorare con il seguente radicale doppio:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{\dfrac{39-20\sqrt{2}-20\sqrt{3}+12\sqrt{6} }{4}}=\dfrac{\sqrt{39-20\sqrt{2}-20\sqrt{3}+12\sqrt{6}}}{2}Poiché al numeratore del discriminante abbiamo la radice di una somma di radicali non simili, non possiamo utilizzare le formule di trasformazione dei radicali doppi. Piuttosto, dobbiamo cercare di esprimere quanto contenuto all’interno della radice più esterna come il quadrato di una certa quantità. In particolare, potremmo avere il quadrato di un trinomio oppure il quadrato di un quadrinomio. Infatti compaiono più doppi prodotti, il cui numero non sappiamo poiché ciascuno dei termini con radicale può essere inteso a sua volta come una somma tra doppi prodotti.
La chiave per risolvere l’enigma è osservare quali radicali semplici compaiono nei doppi prodotti: {\sqrt{2}}, \: \sqrt{3} e {\sqrt{6}}. Utilizzando tali radicali dovremo costruire dei termini la cui somma dei quadrati sia uguale a {39}. Potremo inoltre avere anche uno o più termini privi di radici.
Osserviamo che si ha:
(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2 = 2+3+6=11; \qquad 11+28=39ma il numero {28} non è un quadrato perfetto. Proviamo allora ad esempio con i termini:
(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2=8+3+6=17; \qquad 17+22=39ma anche {22} non è un quadrato perfetto. Proviamo allora con:
(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})=8+3+24=35; \qquad 35+4=39Così possiamo esprimere {39} come la somma dei seguenti quadrati:
39=(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})^2+2^2Vediamo allora se la quantità contenuta all’interno della radice esterna del radicale doppio è lo sviluppo del seguente quadrato di un quadrinomio:
\small \begin{align*} & \left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\sqrt{6}+2 \right)^2=\\ \\ & = (2\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})^2+2^2+2 \cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+2\cdot2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{6}+2\cdot2\sqrt{2} \cdot 2 +\\ \\ & +2 \cdot \sqrt{3}\cdot2 \sqrt{6}+2\cdot\sqrt{3}\cdot2+2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot 2=\\ \\ & =39+4\sqrt{6}+8\sqrt{12}+8\sqrt{2}+4\sqrt{18}+4\sqrt{3}+8\sqrt{6}=\\ \\ & =39+4\sqrt{6}+16\sqrt{3}+8\sqrt{2}+12\sqrt{2}+4\sqrt{3}+8\sqrt{6}=\\ \\ & =39+12\sqrt{6}+20\sqrt{3}+20\sqrt{2}\end{align*}Ci siamo quasi, dobbiamo soltanto aggiustare i segni dei doppi prodotti contenenti i radicali {\sqrt{3}} e {\sqrt{2}}. Questi dovranno essere tutti negativi. Per cui proviamo con il seguente quadrato di un quadrinomio:
\begin{align*} & \left(-2\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{6}+2 \right)^2 = \\ \\ & =39+2 \cdot (-2\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{3})+2 \cdot (-2\sqrt{2} )\cdot 2\sqrt{6}+2 \cdot (-2\sqrt{2}) \cdot2+\\ \\ & +2 \cdot (-\sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{6}+2 \cdot(-\sqrt{3})\cdot 2 +2 \cdot 2 \sqrt{6} \cdot 2=\\ \\ & =39+4\sqrt{6}-8\sqrt{12}-8\sqrt{2}-4\sqrt{18}-4\sqrt{3}+8\sqrt{6} = \\ \\ & =39+4\sqrt{6}-16\sqrt{3}-8\sqrt{2}-12\sqrt{2}-4\sqrt{3}+8\sqrt{6}= \\ \\ & =39+12\sqrt{6}-20\sqrt{3}-20\sqrt{2}\end{align*}Ci siamo! Chiaramente poiché il discriminante è un quadrato questo è positivo e possiamo affermare che per l’equazione avremo due soluzioni reali e distinte.
Prima di procedere, attenzione. Verifichiamo che il quadrinomio {-2\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{6}+2} sia positivo (questa condizione è necessaria per poter poi trasformare il radicale doppio):
-2\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{6}+2\approx 2,33 > 0 \qquad \text{OK}A questo punto, per applicare più comodamente la formula risolutiva calcoliamo la quantità {\sqrt{\Delta}} (in questo modo trasformiamo il radicale doppio):
\sqrt{\Delta} =\dfrac{\sqrt{\left(-2\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{6}+2 \right)^2}}{2} =-\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\sqrt{6}+1 Riprendiamo per comodità il testo dell’equazione in forma normale:
\begin{align*} \left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{4}\right)x^2+\left(\dfrac{-\sqrt{3}+2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2} \right)x +2\sqrt{2}-1 = 0&\end{align*}Calcoliamo le soluzioni utilizzando la formula risolutiva:
x_{1,2} = \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}-2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2}\pm \left(-\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\sqrt{6}+1\right)}{2 \cdot \left( \dfrac{1-\sqrt{3}}{4}\right)}Calcoliamo la soluzione {x_1}:
\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}-2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\sqrt{6}+1}{2 \cdot \dfrac{1-\sqrt{3}}{4}}= \\ \\ & =\dfrac{\dfrac{\cancel{\sqrt{3}}-\cancel{2\sqrt{6}}+\cancel{2\sqrt{2}}-\cancel{2\sqrt{2}}-\cancel{\sqrt{3}}+\cancel{2\sqrt{6}}+2}{{2}}}{\cancel{2} \cdot \dfrac{1-\sqrt{3}}{\cancel{4}_2}}= \\ \\ & = \dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{1-\sqrt{3}} =\dfrac{2}{1-\sqrt{3}}\cdot \dfrac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}= \\ \\ & =\dfrac{2+2\sqrt{3}}{1-3}=\dfrac{2(1+\sqrt{3})}{-2}=-1-\sqrt{3}\end{align*}E infine per la soluzione {x_2}:
\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}-2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{3}-\sqrt{6}-1}{2 \cdot \dfrac{1-\sqrt{3}}{4}}= \\ \\ & =\dfrac{\sqrt{3}-2\sqrt{6}+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{6}-2}{\cancel{2}} \cdot \dfrac{\cancel{2}}{1-\sqrt{3}}= \\ \\ & =\dfrac{2\sqrt{3}-4\sqrt{6}+4\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}= \\ \\ & =\dfrac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\sqrt{3}-4\sqrt{6}-4\sqrt{6}\sqrt{3}+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}}{1-3}= \\ \\ & =\dfrac{\cancel{2\sqrt{3}}+2\cdot3-\cancel{4\sqrt{6}}-4\sqrt{18}+4\sqrt{2}+\cancel{4\sqrt{6}}-2-\cancel{2\sqrt{3}}}{-2}=\\ \\ & =\dfrac{4-12\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{-2}= \dfrac{4-8\sqrt{2}}{-2}= \dfrac{8\sqrt{2}-4}{2}=\dfrac{4(2\sqrt{2}-1)}{2}=\\ \\ & =2(2\sqrt{2}-1)=4\sqrt{2}-2\end{align*}Per quanto riguarda gli esercizi sulle equazioni di secondo grado è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica!
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