Esercizi sulle equazioni trinomie e biquadratiche

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Equazioni (superiori)

Vediamo in questa scheda degli esercizi sulle equazioni trinomie e biquadratiche, ovvero particolari equazioni di grado superiore al secondo che si possono risolvere utilizzando un cambio di variabile. In particolare l’obiettivo è quello di ricondurci ad equazioni di secondo grado che sappiamo già risolvere.

Occorre prestare attenzione alle variabili. Negli esercizi sulle equazioni trinomie e biquadratiche ciò che effettuiamo è utilizzare una nuova variabile {t} in modo da ottenere un’equazione di secondo grado proprio nella variabile {t}. Tuttavia, risolvendo tale equazione otterremo le soluzioni nella variabile {t}, ma l’equazione di partenza deve essere risolta rispetto alla variabile {x}. Così, sfruttando la sostituzione effettuata dovremo ricavare la {x} a partire da ciascuna soluzione nella variabile {t}. In tal modo avremo così risolto l’equazione di partenza.

Cominciamo allora subito questi esercizi sulle equazioni trinomie e biquadratiche.

Esercizi svolti e commentati sulle equazioni trinomie e biquadratiche

Prima parte: esercizi sulle equazioni trinomie

Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione trinomia:

x^6-4x^3+3=0

Osserviamo che il grado del termine di grado massimo è il doppio del grado del rimanente termine in {x}. Di conseguenza, come visto nella lezione teorica ha senso porre la sostituzione:

x^3=t

In tal modo l’equazione di partenza riespressa nella variabile {t} diviene:

t^2-4t+3=0

Abbiamo così un’equazione di secondo grado che possiamo risolvere:

t_{1,2}=\dfrac{4 \pm \sqrt{16-4 \cdot 1  \cdot 3}}{2 \cdot 1}=\dfrac{4 \pm 2}{2}=\begin{cases} 3 \\ \\ 1\end{cases}

Ora attenzione. Come già evidenziato, queste sono le soluzioni nella variabile {t}. Ma per risolvere l’equazione di partenza dobbiamo determinare le soluzioni nella variabile {x}. Come fare?

La chiave sta nel ricordare che abbiamo posto la sostituzione:

x^3=t

Sostituendo nell’uguaglianza ciascun valore ottenuto per la variabile {t} possiamo ricavare la {x}. Sostituendo così il valore {t=3} abbiamo:

x^3=3 

Ricavando la {x} otteniamo una prima soluzione per l’equazione di partenza:

x_1=\sqrt[3]{3}

Infine, sostituendo nell’uguaglianza {x^3=t} il valore {t=1} abbiamo:

x^3=1

Da cui otteniamo la soluzione:

x_2=\sqrt[3]{1}=1

DI conseguenza per l’equazione di partenza abbiamo le due soluzioni:

x_1=\sqrt[3]{3}, \qquad x_2=1

Esercizio 2

Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni trinomie. Risolvere la seguente equazione trinomia:

x^{10}+x^5-2=0

Come nella precedente equazione, anche in questo caso ci accorgiamo che l’esponente del termine di grado massimo è il doppio dell’esponente del rimanente termine in {x}. Così possiamo porre la sostituzione:

x^5=t

ottenendo la seguente equazione nella variabile {t}:

t^2+t-2 = 0 

Applicando la formula risolutiva otteniamo le soluzioni:

t_{1,2}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-1 \pm 3}{2}=\begin{cases}1  \\ \\ -2  \end{cases}

Infine, per le soluzioni dell’equazione di partenza dobbiamo ricavare la {x} dall’uguaglianza {x^5=t} sostituendo alla lettera {t} ciascuna delle soluzioni appena ottenute. Così abbiamo:

x^5=1 \quad \Rightarrow \quad  x= \sqrt[5]{1}=1

e inoltre:

x^5=-2 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt[5]{-2}=-\sqrt[5]{2}

Di conseguenza abbiamo per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1=1, \qquad x_2=-\sqrt[5]{2}

Esercizio 3

Concludiamo gli esercizi sulle equazioni trinomie con il seguente:

x^8-3x^4-10=0

Analogamente ai casi precedenti, poniamo la sostituzione:

x^4=t

Otteniamo l’equazione in {t}:

t^2-3t-10=0

che risolta dà:

t_{1,2}=\dfrac{3 \pm \sqrt{9-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{3 \pm 7}{2}=\begin{cases}5 \\ \\ -2 \end{cases}

Avendo posto {x^4=t}, tenendo conto dei valori appena ottenuti per {t} si tratterà di risolvere le equazioni in {x}:

x^4=5; \qquad x^4=-2

Osserviamo subito che la seconda equazione è impossibile. Infatti la potenza pari al primo membro non potrà mai essere uguale alla quantità negativa al secondo membro. Per la prima equazione invece abbiamo:

x^4=5 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2}=\pm \sqrt[4]{5}

Osservazione. Per risolvere l’equazione{x^4=5} l’idea è quella di estrarre la radice quarta di entrambi i membri. E in questo caso, dato che l’esponente della {x} è pari, abbiamo {\sqrt[4]{x}=|x|}. Di conseguenza otteniamo l’equazione {|x|=\sqrt[4]{5}}, da cui le due soluzioni {x_1=\sqrt[4]{5}} e {x_2=-\sqrt[4]{5}}. Infatti il valore assoluto di entrambe le soluzioni è proprio {\sqrt[4]{5}}.

Così per l’equazione di partenza abbiamo in conclusione le soluzioni:

x_1=\sqrt[4]{5}, \qquad x_2=-\sqrt[4]{5}

Seconda parte: esercizi sulle equazioni biquadratiche

Le equazioni biquadratiche sono delle particolari equazioni trinomie nelle quali i termini in {x} hanno esponenti rispettivamente {4} e {2}. Queste si risolvono ponendo la sostituzione {x^2=t}.

Esercizio 4

Risolvere la seguente equazione biquadratica:

x^4-14x^2+48=0

Ponendo la sostituzione {x^2=t} otteniamo l’equazione di secondo grado:

t^2-14t+48=0

che risolta fornisce le soluzioni in {t}:

t_{1,2}=\dfrac{14 \pm \sqrt{14^2-4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}=\dfrac{14 \pm \sqrt{196-192}}{2}=\begin{cases} 8 \\ \\ 6\end{cases}

Come nel caso delle equazioni trinomie, ora dobbiamo ricavare le soluzioni nella variabile {x}. Avendo posto la sostituzione {x^2=t}, sostituendo alla {t} ciascuno dei valori appena ricavati, otteniamo le due equazioni:

x^2=8; \qquad x^2=6

Le soluzioni delle equazioni saranno anche soluzioni dell’equazione di partenza. Per la prima equazione abbiamo:

x^2=8 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2}=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}

Per la seconda equazione:

x^2=6 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \sqrt{6}

Così in conclusione per l’equazione di partenza abbiamo le soluzioni:

x_1=2\sqrt{2}, \quad x_2=-2\sqrt{2}, \quad x_3=\sqrt{6}, \quad x_4=-\sqrt{6}

Esercizio 5

Vediamo come risolvere la seguente equazione biquadratica:

x^4+8x^2+7=0

Poniamo la sostituzione {x^2=t}, ottenendo l’equazione:

t^2+8t+7=0

Otteniamo le soluzioni in {t}:

t_{1,2}=\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-8 \pm \sqrt{64-28}}{2}=\dfrac{-8 \pm 6}{2}=\begin{cases}-1 \\ \\ -7 \end{cases}

Sostituendo nell’uguaglianza {x^2=t} le soluzioni appena ottenute ci ritroviamo con le due equazioni:

x^2=-1, \qquad x^2=-7

entrambe impossibili. Di conseguenza, anche per l’equazione di partenza non abbiamo nessuna soluzione ed è anch’essa impossibile.

Esercizio 6

Concludiamo anche gli esercizi sulle equazioni biquadratiche con il seguente:

3x^4-23x^2-8=0

Poniamo la sostituzione {x^2=t} in modo da passare all’equazione:

3t^2-23t-8=0

che risolta fornisce le soluzioni:

t_{1,2}=\dfrac{23 \pm \sqrt{23^2-4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3}= \dfrac{23 \pm 25}{6}=\begin{cases}8 \\ \\ -\dfrac{1}{3} \end{cases}

Infine sostituendo nell’uguaglianza {x^2=t} i valori appena trovati otteniamo:

x^2=8 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2}=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}

e:

x^2=-\dfrac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \text{impossibile}

In conclusione abbiamo per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1=2\sqrt{2}, \qquad x_2=-2\sqrt{2}

Conclusioni

Siamo così arrivati alla conclusione di questa serie di esercizi sulle equazioni trinomie e biquadratiche. Qui terminano anche le esercitazioni sulle equazioni di grado superiore al secondo. Buon proseguimento con SìMatematica!