Esercizi sulle operazioni con i monomi

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Monomi e polinomi (superiori)

In questa scheda presentiamo una raccolta di esercizi sulle operazioni con i monomi, svolti e commentati. Ci occuperemo così di svolgere una serie di esercizi riguardanti tutte le operazioni con i monomi: somma, prodotto, divisione e potenze di monomi.

Nello svolgere gli esercizi richiameremo i concetti teorici visti nella lezione sulle operazioni con i monomi. Ci proporremo in particolare di fare riferimento quando utile alle proprietà delle potenze. In tal modo è possibile capire la logica che sta dietro alle regole delle operazioni con i monomi, riducendo la possibilità di errore. Seguendo tale approccio sarà anche più facile tra l’altro ricordare le regole da seguire.

Cominciamo allora subito questi esercizi sulle operazioni con i monomi.

Esercizi sulle operazioni con i monomi

Somma algebrica di monomi (esercizi sull’addizione di monomi)

Ricordiamo che per somma algebrica di monomi intendiamo una somma tra monomi che tiene conto del segno di ciascun monomio. Ad esempio, volendo sommare tra loro i monomi:

2x^2y, \quad -3x^2y

scriveremo:

2x^2y+(-3x^2y)=2x^2y-3x^2y=(2-3)x^2y=-x^2y

Infine, osserviamo che nella pratica non indichiamo esplicitamente l’operatore di addizione, ma piuttosto ci limitiamo a scrivere i monomi uno di seguito all’altro, ciascuno con il proprio segno. Così piuttosto che scrivere:

2x^2y+(-3x^2y)

scriveremo direttamente:

2x^2y-3x^2y

Per quanto riguarda infine la sottrazione, essa è equivalente alla somma dell’opposto. Così ad esempio la seguente sottrazione:

5xy-(-4xy+2xy)

equivale alla somma algebrica:

5xy+(4xy-2xy)=5xy+4xy-2xy=(5+4-2)xy=7xy

ove abbiamo equivalentemente sommato l’opposto della quantità entro parentesi tonde, ovvero gli opposti dei singoli monomi dentro le parentesi. Ricordiamo che l’opposto di un monomio si ottiene cambiando il segno del coefficiente del monomio stesso.

Esercizio 1

Calcolare la seguente somma algebrica di monomi:

-3x+5x-9x

Per quanto detto ci ritroviamo davanti alla somma algebrica di monomi:

-3x+5x+(-9x)

I monomi sono tutti simili tra loro in quanto condividono la stessa parte letterale. La loro somma sarà quindi un monomio avente la loro stessa parte letterale e avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi. Abbiamo:

\begin{align*}&-3x+5x-9x=-3x+5x+(-9x)=[-3+5+(-9)]x =\\ \\ & = (-3+5-9)x= -7x \end{align*}

D’ora in poi procederemo senza indicare esplicitamente nei calcoli le somme di termini opposti.

Esercizio 2

Calcolare la seguente somma (algebrica) di monomi:

5abc-\dfrac{1}{2}abc-\dfrac{1}{7}abc-\dfrac{3}{14}abc-6abc

Abbiamo più monomi ma l’esercizio è del tutto simile al precedente. Siamo infatti nel caso della somma di monomi tutti simili tra loro.

\begin{align*} &5abc-\dfrac{1}{2}abc-\dfrac{1}{7}abc-\dfrac{3}{14}abc-6abc = \\ \\ & = \left(5- \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{14}-6\right)abc = \left( \dfrac{70-7-2-3-84}{14}\right)abc=-\dfrac{13}{7}abc\end{align*}

Esercizio 3

\dfrac{1}{9}ab-\left( -\dfrac{1}{4}ab-\dfrac{5}{12}ab\right)-\left( -2ab+\dfrac{5}{18}ab-5ab\right)

In questo caso è necessario prima di tutto togliere le parentesi aggiustando opportunamente i segni.

Ricordiamo in particolare che sottrarre una quantità equivale a sommare l’opposto della quantità stessa. Così nel nostro caso abbiamo:

\begin{align*}& \dfrac{1}{9}ab-\left( -\dfrac{1}{4}ab-\dfrac{5}{12}ab\right)-\left( -2ab+\dfrac{5}{18}ab-5ab\right) = \\ \\ & = \dfrac{1}{9}ab\boxed{+}\underbrace{\dfrac{1}{4}ab+\dfrac{5}{12}ab}_{\text{monomi opposti}}\boxed{+}\underbrace{2ab-\dfrac{5}{18}ab+5ab}_{\text{monomi opposti}}= \\ \\ & = \left( \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{12}+2-\dfrac{5}{18}+5\right) ab = \\ \\ & = \left(\dfrac{4+9+15+72-10+180}{36}  \right) ab=\dfrac{270}{36}ab=\dfrac{15}{2}ab\end{align*}

Osserviamo che abbiamo ricondotto le operazioni di sottrazione a delle addizioni invertendo il segno di tutti i monomi entro le parentesi tonde.

Esercizio 4

Calcolare:

\dfrac{1}{2}a^2b+\dfrac{3}{4}a^3b+\dfrac{2}{3}a^2b+\dfrac{9}{4}a^3b

Non siamo più nel caso banale di monomi tutti simili. Tuttavia, basta individuare i gruppi di monomi simili e sommarli tra di loro. In altre parole dovremo sommare tra loro i monomi che hanno la stessa parte letterale.

Evidenziamo graficamente i monomi simili:

\def\2underline#1{\underline{\underline{#1}}}  \def\3underline#1{\underline{\underline{\underline{#1}}}}
\def\4underline#1{\underline{\underline{\underline{\underline{#1}}}}}
\def\5underline#1{\underline{\underline{\underline{\underline\underline{{#1}}}}}}
\dfrac{1}{2}\underline{a^2b}+\dfrac{3}{4}\2underline{a^3b}+\dfrac{2}{3}\underline{a^2b}+\dfrac{9}{4}\2underline{a^3b}

Ora procediamo sommandoli tra loro:

\def\2underline#1{\underline{\underline{#1}}}  \def\3underline#1{\underline{\underline{\underline{#1}}}}
\def\4underline#1{\underline{\underline{\underline{\underline{#1}}}}}
\def\5underline#1{\underline{\underline{\underline{\underline\underline{{#1}}}}}}
\begin{align*} &\dfrac{1}{2}\underline{a^2b}+\dfrac{3}{4}\2underline{a^3b}+\dfrac{2}{3}\underline{a^2b}+\dfrac{9}{4}\2underline{a^3b}= \\ \\ & = \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}\right)a^2b+\left( \dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}\right)a^3b=\\ \\ & = \left( \dfrac{3+4}{6}\right)a^2b+3a^3b=\dfrac{7}{6}a^2b+3a^3b \end{align*}

Esercizio 5

5ax^2+9ax-(45ax^2+7ax)

Avendo un meno davanti alla parentesi tonda stiamo attenti ai segni:

\begin{align*} &5ax^2+9ax-(45ax^2+7ax)=5ax^2+9ax-45ax^2-7ax= \\ \\ & = (5-45)ax^2+(9-7)ax=-40ax^2+2ax\end{align*}

Come nel caso precedente abbiamo sommato tra loro i monomi simili, ovvero i monomi aventi la stessa parte letterale. Abbiamo qui evitato di evidenziare graficamente le parti letterali uguali tra loro poiché tale operazione è preferibilmente da evitare man mano che si acquisisce maggiore confidenza con i calcoli.

Prodotto tra monomi

Ricordiamo che nel prodotto tra monomi dobbiamo moltiplicare tra loro i coefficienti dei monomi di partenza e dobbiamo inoltre moltiplicare tra loro le rispettive parti letterali.

Ciò equivale a scrivere come risultato un monomio che ha un coefficiente uguale al prodotto tra i coefficienti dei monomi di partenza e una parte letterale che contiene tutte le lettere presenti nei monomi, ciascuna elevata alla somma degli esponenti con i quali la lettera considerata compare in ciascun monomio.

Ricordiamo infine che se una lettera non compare in un monomio, considereremo per essa in quel monomio un esponente pari a zero.

Esercizio 6

Eseguire la seguente moltiplicazione tra monomi:

5ab \cdot \left( \dfrac{1}{20}  a^2b\right)

Applicando le regole ricordate abbiamo:

5ab \cdot \left( \dfrac{1}{20}  a^2b\right)= \underbrace{5 \cdot \dfrac{1}{20}}_{\substack{\text{prodotto dei} \\ \text{coefficienti } \\ \text{dei monomi}}}\cdot \underbrace{a^{1+2} \cdot b^{1+1}}_{\substack{\text{prodotto fra} \\ \text{le parti } \\ \text{letterali}}} = \dfrac{1}{4}a^3b^2

Osserviamo che per moltiplicare le parti letterali fra loro abbiamo utilizzato la proprietà del prodotto tra potenze di uguale base. Di conseguenza, per ciascuna lettera dobbiamo considerare la somma di tutti gli esponenti con i quali tale lettera si presenta nei monomi. Ricordiamo inoltre che nelle lettere apparentemente prive di esponente è in realtà sottinteso un esponente uguale a 1.

Attenzione: somma degli esponenti e non prodotto. Ricordiamo infatti che se ad esempio moltiplichiamo la quantità x^2 per la quantità x^3 abbiamo:

x^2 \cdot x^3 = x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x

Ci ritroviamo quindi con dei fattori x in quantità uguale alla somma degli esponenti che ha la lettera x nei vari fattori del prodotto (in questo caso, 2+3=5).

Esercizio 7

Calcolare:

-\dfrac{1}{2}a^2\cdot (a^3bc^2)\cdot(-2ab)

Abbiamo tre monomi ma il procedimento è praticamente lo stesso del caso precedente:

\begin{align*}&-\dfrac{1}{2}a^2\cdot (a^3bc^2)\cdot(-2ab)=\left[-\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2) \right]a^{2+3+1}b^{0+1+1}c^{0+2+0}=  \\ \\ & = 1 \cdot a^{6} b^2 c^2 = a^6b^2c^2\end{align*}

Osserviamo che nel fattore a^3bc^2 è sottintesa una parte numerica (coefficiente) pari a 1. Inoltre, nel risultato finale abbiamo lasciato sottinteso il coefficiente 1. Nei monomi il coefficiente unitario non va mai indicato esplicitamente.

Esercizio 8

\left( -\dfrac{27}{8}ab^3c^2\right) \cdot \left(-\dfrac{4}{3}abc \right) \cdot \left( -\dfrac{27}{4}a^2c^2\right) \cdot \left( -\dfrac{8}{3}ac^4\right)

Non lasciamoci spaventare dal fatto che abbiamo quattro monomi. Il procedimento è ancora lo stesso dei casi precedenti. Inoltre, per quanto riguarda i segni basta osservare che abbiamo un prodotto di una quantità pari di fattori negativi, e quindi il risultato del prodotto sarà positivo. Così la precedente moltiplicazione equivale alla seguente:

\left( \dfrac{27}{8}ab^3c^2\right) \cdot \left(\dfrac{4}{3}abc \right) \cdot \left( \dfrac{27}{4}a^2c^2\right) \cdot \left( \dfrac{8}{3}ac^4\right)

Abbiamo:

\begin{align*} &\left( \dfrac{27}{8}ab^3c^2\right) \cdot \left(\dfrac{4}{3}abc \right) \cdot \left( \dfrac{27}{4}a^2c^2\right) \cdot \left( \dfrac{8}{3}ac^4\right) = \\ \\ & = \left( \dfrac{27}{8} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{27}{4} \cdot \dfrac{8}{3}\right)  a^{1+1+2+1}b^{3+1+0+0}c^{2+1+2+4} = \\ \\ & = 81a^5b^4c^9\end{align*}

Divisione tra monomi

Ricordiamo che per la divisione tra monomi dobbiamo anzitutto verificare che il monomio dividendo sia divisibile per il monomio divisore. In altre parole, dati due monomi M e D sarà possibile eseguire la divisione:

\dfrac{M}{D}

soltanto se il monomio D è un divisore del monomio M. Affinché ciò si verifichi, tutte le lettere presenti nel monomio D devono essere presenti anche nel monomio M. Inoltre, gli esponenti delle lettere nel monomio D devono essere tutti minori o al più uguali agli esponenti che accompagnano quelle stesse lettere nel monomio M.

Così se D è un divisore di M la precedente divisione fornirà come risultato un monomio Q:

\dfrac{M}{D}=Q

Il monomio Q ha per coefficiente il rapporto tra i coefficienti dei monomi M e D e per parte letterale quella che si ottiene sottraendo agli esponenti delle lettere della parte letterale di M gli esponenti della parte letterale del monomio Q. Le lettere presenti soltanto nel monomio M semplicemente rimangono inalterate.

Esercizio 9

Eseguire la divisione tra monomi:

13x^3:(-2x)

E’ possibile eseguire la divisione poiché i due monomi condividono la stessa lettera ed inoltre l’esponente della lettera al denominatore è minore dell’esponente di quella stessa lettera al numeratore. Abbiamo:

13x^3:(-2x)=-\dfrac{13}{2}x^{3-1}=-\dfrac{13}{2}x^2

Nel determinare la parte letterale del monomio quoziente dobbiamo sottrarre tra loro gli esponenti delle potenze letterali dei monomi. Attenzione a non incorrere nell’errore di dividere gli esponenti tra loro.

Ancora, la regola discende dalle proprietà delle potenze, ed in particolare dalla regola del rapporto tra potenze aventi la stessa base. Ad esempio:

\dfrac{a^5}{a^3}=a^{5-3}=a^2 \quad \iff \quad \dfrac{a \cdot a \cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}}{\cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a}}= a \cdot a

Così eseguendo la divisione in un certo senso togliamo e quindi sottraiamo dei fattori al numeratore.

Esercizio 10

Eseguire la divisione:

-\frac{25}{16}a^5b^2c^3:\left(-\frac{125}{8}ab^2c^3 \right)

Tutte le lettere del monomio divisore sono presenti nel monomio dividendo. Inoltre gli esponenti delle lettere nel divisore risultano sempre minori o al più uguali agli esponenti delle corrispondenti lettere nel dividendo.

E’ dunque possibile eseguire la divisione ed abbiamo:

\begin{align*} &-\frac{25}{16}a^5b^2c^3:\left(-\frac{125}{8}ab^2c^3 \right)= \\ \\ & =\left[-\dfrac{25}{16} \cdot \left( -\dfrac{8}{125}\right)\right]a^{5-1}b^{2-2}c^{3-3}=\dfrac{1}{10}a^4b^0c^0=\dfrac{1}{10}a^4  \end{align*}

Per il calcolo del coefficiente del monomio quoziente, è qui importante ricordare la regola per la divisone tra frazioni. In particolare, dividere per una frazione equivale a moltiplicare per la sua inversa. E, ricordiamo, l’inversa di una frazione si ottiene scambiando tra loro il numeratore e il denominatore. Così, i passaggi per il calcolo del coefficiente del monomio quoziente sono i seguenti:

-\dfrac{25}{16} : \left( -\dfrac{125}{
8}\right)=-\dfrac{25}{16}\cdot \left( -\dfrac{8}{125}\right)=\dfrac{1}{10}

Potenza di un monomio

Ricordiamo che la potenza n-esima di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza n-esima del coefficiente del monomio di partenza e per parte letterale la parte letterale del monomio di partenza ove ciascun esponente è moltiplicato per n.

La regola equivale ad applicare la proprietà delle potenze di potenze. Ad esempio:

\left( a^3\right)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6

Esercizio 11

Calcolare la seguente potenza di un monomio:

\left( 2ab\right)^2

La scrittura indica che il monomio 2ab deve essere elevato all’esponente 2. Ricordiamo che per le lettere a e b, apparentemente “prive” di esponente, è sottinteso un esponente uguale a 1. Così abbiamo:

\left( 2ab\right)^2=(2a^1b^1)^2=2^2 a^{1 \cdot 2}b^{1 \cdot 2}=4a^2b^2

Esercizio 12

Calcolare la seguente potenza di un monomio, indicando il grado della base e il grado del risultato. Che relazione intercorre tra i due valori?

\left( \dfrac{3}{2}ab^2\right)^3

Abbiamo:

\left( \dfrac{3}{2}ab^2\right)^3 = \left( \dfrac{3}{2}\right)^3a^{1\cdot 3} b ^{2\cdot 3}=\dfrac{27}{8}a^3b^6

Per chiarire il calcolo del coefficiente del monomio risultato della potenza, ricordiamo che per elevare una frazione a potenza occorre elevare a quella stessa potenza entrambi il numeratore e il denominatore della frazione stessa.

La base è il monomio \dfrac{3}{2}ab^2 ed il suo grado è pari a 3, ovvero la somma degli esponenti di tutte le sue lettere. Il monomio risultato della potenza ha invece grado 3+6 = 9. Osserviamo infine che il grado del monomio risultato della potenza è uguale al prodotto tra il grado della base e l’esponente al quale eleviamo il monomio di partenza, quindi 3 \cdot 3 = 9. E questa è la relazione che intercorre fra il grado della base e il grado del monomio risultato dell’operazione.

Per quanto riguarda gli esercizi sulle operazioni con i monomi è tutto. Per testare quanto appreso in questa scheda è anche disponibile un’esercitazione sulle espressioni con monomi.