Ci occupiamo ora di esercizi sulle potenze di un radicale ad esponente intero. Come sempre ci occuperemo sia del caso di radicandi numerici, sia di radicandi letterali.
Ricordiamo brevemente la regola da utilizzare per gli esercizi sulle potenze di un radicale, come visto nella lezione. Fatte salve le condizioni di esistenza, per elevare a potenza un radicale basta elevare a quella stessa potenza il suo radicando.
Nel caso in cui il radicando sia letterale dovremo prima definire le condizioni di esistenza del radicale di partenza, e poi eseguire l’operazione. In pratica, se l’indice del radicale è pari dovremo imporre la base del radicando positiva o al più nulla.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito questi esercizi sulle potenze di un radicale.
Esercizi sul calcolo delle potenze di un radicale
Prima parte: radicandi numerici
Esercizio 1
Calcolare:
\left( \sqrt[5]{6}\right)^2
Eleviamo il radicando ad esponente {2}:
\left( \sqrt[5]{6}\right)^2=\sqrt[5]{6^2}=\sqrt[5]{36}
Importante. Prestiamo attenzione al fatto che dobbiamo nella pratica spostare l’esponente che all’inizio è fuori radice, portandolo all’interno della radice stessa, elevando a potenza il radicando. Sarebbe invece un grave errore elevare a potenza il radicando senza eliminare l’esponente al quale è elevato il radicale inizialmente.
Esercizio 2
Calcolare:
\left( \sqrt[4]{\dfrac{3}{2}}\right)^3
Il radicando è una frazione per cui basta ricordare come si calcola la potenza di una frazione. Si tratta in particolare di elevare all’esponente dato sia il numeratore, sia il denominatore. Nel nostro caso scriviamo quindi:
\begin{align*} &\left( \sqrt[4]{\dfrac{3}{2}}\right)^3=\sqrt[4]{\left( \dfrac{3}{2}\right)^3} = \sqrt[4]{\dfrac{3^3}{2^3}} = \sqrt[4]{\dfrac{27}{8}}\end{align*}
e siamo arrivati al risultato finale.
Esercizio 3
Calcolare la seguente potenza di un radicale:
\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3
Abbiamo:
\begin{align*} & \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=\left( -1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=(-1)^3 \cdot \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=\\ \\ & =-1 \cdot \dfrac{\left( \sqrt{3}\right)^3}{2^3}=-\dfrac{\sqrt{3^3}}{8}=-\dfrac{\sqrt{27}}{8} =-\dfrac{3\sqrt{3}}{8}\end{align*}
Abbiamo qui svolto tutti i passaggi in modo da rendere tutto chiaro. Nella pratica tuttavia non è necessario mettere in evidenza il segno meno come fatto nel primo passaggio. Piuttosto, in presenza di una base negativa basta attribuire il segno della potenza corrispondente a seconda che l’esponente sia pari (segno più) o dispari (segno meno).
Esercizio 4
Calcolare:
-\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{\dfrac{2}{9}}\right)^3
Anzitutto applichiamo la regola del rapporto fra radicali, in senso inverso. Quindi, calcoliamo la potenza:
\begin{align*} &-\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{\dfrac{2}{9}}\right)^3 = -\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}\right)^3=-\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{2}\right)^3}{\left(\sqrt{9}\right)^3}= \\ \\ & =-\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2^3}}{\sqrt{9^3}}=-\dfrac{3}{\cancel{2}} \cdot \dfrac{\cancel{2}\sqrt{2}}{\sqrt{(3^2)^3}} = \dfrac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3^6}} =\dfrac{-\cancel{3}\sqrt{2}}{3^{\cancel{3}^{\scriptsize \displaystyle2}}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{9} \end{align*}
Seconda parte: radicandi letterali
Per gli esercizi sulle potenze di un radicale nel caso letterale occorre:
- stabilire le condizioni di esistenza del radicale di partenza;
- imporre la base del radicando maggiore o uguale a zero se l’indice del radicale è pari.
Esercizio 5
Calcolare:
\left( \sqrt[4]{a-1}\right)^5
Anzitutto, vediamo la condizione di esistenza del radicale. Poiché l’indice del radicale è pari, dobbiamo imporre il radicando maggiore o uguale a zero:
a-1 \geq 0 \iff a \geq 1
Sotto tale condizione possiamo calcolare la potenza:
\left( \sqrt[4]{a-1}\right)^5=\sqrt[4]{(a-1)^5}
Esercizio 6
Calcolare:
\left(\sqrt[4]{\dfrac{x^2}{x-1}}\right)^2
Anzitutto imponiamo la condizione di esistenza del radicale (il suo indice è infatti pari):
\dfrac{x^2}{x-1} \geq 0
Si tratterà quindi di studiare il segno della frazione algebrica al primo membro. E dovremo escludere il valore {x=1} poiché il denominatore della frazione non può annullarsi. La frazione sarà positiva quando il numeratore e il denominatore sono concordi. Ma dato che il numeratore è sempre positivo, basterà studiare il segno del solo denominatore:
x-1 > 0 \iff x > 1
Questa è la condizione di esistenza del radicale. Osserviamo che l’uso dell’operatore “maggiore” (e non maggiore uguale) permette di escludere il valore della {x} che annulla il denominatore della frazione al radicando.
Così per tale condizione abbiamo:
\left(\sqrt[4]{\dfrac{x^2}{x-1}}\right)^2=\sqrt[4]{\dfrac{(x^2)^2}{(x-1)^2}}=\sqrt[4]{\dfrac{x^4}{(x-1)^2}}=
Semplificando il radicale:
=\sqrt[4:2]{\dfrac{x^{4:2}}{(x-1)^{2:2}}}=\sqrt{\dfrac{x^2}{(x-1)}}=
Ora non resta che applicare la regola del rapporto tra radicali, in senso inverso:
=\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}
Al numeratore del risultato finale non compare il simbolo di modulo in quanto, ricordiamo, i calcoli si reggono sulla condizione {x > 1}.
Esercizio 7
Calcolare:
\left( \sqrt{\dfrac{a+1}{a-1}}\right)^4
Cominciamo dalla condizione di esistenza (l’indice del radicale è pari):
\dfrac{a+1}{a-1} \geq 0
Studiamo il segno della frazione al primo membro per via grafica (in alternativa, come fatto in precedenza, è possibile studiare i casi in cui il numeratore e il denominatore sono concordi, ovvero ove la frazione è positiva).
Otteniamo le condizioni di esistenza del radicale:
a \leq -1 \quad \vee \quad a > 1
Sotto tali condizioni possiamo calcolare la potenza del radicale:
\begin{align*} &\left( \sqrt{\dfrac{a+1}{a-1}}\right)^4 =\sqrt{\left( \dfrac{a+1}{a-1}\right)^4} = \left( \dfrac{a+1}{a-1}\right)^2\end{align*}
Esercizio 8
Concludiamo gli esercizi sulle potenze di un radicale con il seguente:
\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{x-1}}\right)^2
Osserviamo che il radicale ha indice dispari per cui non dobbiamo imporre il radicando maggiore o uguale a zero. Tuttavia, osserviamo che comunque il radicando è una frazione. E il denominatore di tale frazione non può essere nullo. Di conseguenza pur in presenza di indice della radice dispari dobbiamo comunque imporre la condizione:
x \neq 1
Sotto tale ipotesi è possibile eseguire il calcolo:
\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{x-1}}\right)^2=\sqrt[3]{ \left( \dfrac{x}{x-1} \right)^2}=\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{(x-1)^2}}
Per quanto riguarda gli esercizi sulle potenze di un radicale è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica!
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