Esercizi sulle radici di radici (radice di un radicale)

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Radicali

Presentiamo in questa scheda degli esercizi svolti sulle radici di radici (radice di un radicale). Cominceremo con il caso di radicandi numerici, per poi fornire un paio di esempi relativi al caso di radicandi letterali. Approfondiremo così quanto già esposto nella lezione sulle radici di radici.

Per calcolare le radici di radici (ovvero per estrarre la radice di un radicale), basterà riscrivere il radicale di partenza come un radicale avente lo stesso radicando e per indice il prodotto degli indici delle radici esterna e interna.

Vediamo subito gli esercizi sulle radici di radici (esercizi sulla radice di un radicale).

Esercizi svolti sulle radici di radici, con spiegazioni

Esercizio 1

Calcolare:

\sqrt[5]{\sqrt[4]{4}}

Eseguendo il prodotto degli indici abbiamo:

\sqrt[5]{\sqrt[4]{4}}=\sqrt[5 \cdot 4]{4}=\sqrt[20]{4}=

A questo punto non resta che semplificare il radicale:

=\sqrt[20]{2^2}=\sqrt[20:2]{2^{2:2}}=\sqrt[10]{2}

Esercizio 2

Calcolare la seguente radice di un radicale:

\sqrt[5]{\sqrt[3]{\sqrt[4]{7}}}

Analogamente al caso precedente, abbiamo:

\sqrt[5]{\sqrt[3]{\sqrt[4]{7}}}=\sqrt[5 \cdot 3 \cdot 4]{7}=\sqrt[60]{7}

Esercizio 3

Proseguiamo gli esercizi sulle radici di radici (radice di un radicale) con il seguente:

\sqrt[4]{2 \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2}}}

Poiché all’interno della radice più esterna abbiamo un fattore, sfruttando la regola del prodotto fra radicali dello stesso indice in senso inverso conviene scrivere:

\sqrt[4]{2 \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}=

A questo possiamo per il secondo fattore ragionare secondo la regola delle radici di radici:

=\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4 \cdot 2]{\dfrac{1}{2}}=\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{\dfrac{1}{2}}=

Ora eseguiamo il prodotto fra i due radicali (prodotto fra radicali con indici diversi):

=\sqrt[8]{2^2 \cdot \dfrac{1}{2}}=\sqrt[8]{2}

Il passaggio si giustifica osservando che per la proprietà invariantiva dei radicali {\sqrt[4]{2}=\sqrt[8]{2^2}}. Fatto ciò basta procedere con la regola del prodotto tra radicali dello stesso indice.

Esercizio 4

Calcolare:

\sqrt[4]{5^2 \sqrt[3]{5^2 \sqrt{\dfrac{1}{5}}}}

Procediamo passo dopo passo, partendo dalla radice più esterna. Spezziamo tale radice utilizzando la regola del prodotto fra radicali dello stesso indice, in senso inverso:

\sqrt[4]{5^2 \sqrt[3]{5^2 \sqrt{\dfrac{1}{5}}}}=\sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{5^2 \sqrt{\dfrac{1}{5}}}}=

Ora allo stesso modo spezziamo la radice con indice {3}:

=\sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{1}{5}}}}=

Ora cominciamo ad applicare la regola delle radici di radici:

=\sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{\dfrac{1}{5}}}=\sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[6]{\dfrac{1}{5}}}=

A questo punto moltiplichiamo i radicali all’interno della seconda radice quarta tra loro:

=\sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[6]{5^4 \cdot \dfrac{1}{5}}}=\sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[6]{5^3}}=

Semplifichiamo il radicale più interno:

=\sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[]{5}}=

Applichiamo a questo punto la regola della radice di un radicale:

=\sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[4 \cdot 2]{5} = \sqrt[4]{5^2} \cdot \sqrt[8]{5}=

Ora moltiplichiamo tra loro i radicali:

=\sqrt[8]{5^4 \cdot 5}=\sqrt[8]{5^5}

Metodo alternativo

E’ anche possibile sviluppare l’espressione partendo dall’interno:

\begin{align*} &\sqrt[4]{5^2 \sqrt[3]{5^2 \sqrt{\dfrac{1}{5}}}}=\sqrt[4]{5^2 \sqrt[3]{\sqrt{5^4 \cdot \dfrac{1}{5}}}}= \sqrt[4]{5^2 \sqrt[3]{\sqrt{5^3}}}= \\ \\ & =\sqrt[4]{5^2 \sqrt[6]{5^3}}=\sqrt[4]{5^2 \cdot \sqrt{5}}=\sqrt[4]{\sqrt{5^4 \cdot 5}}= \sqrt[4]{\sqrt{5^5}}=\sqrt[8]{5^5}\end{align*}

Ritroviamo lo stesso risultato del metodo precedente. In questo caso l’approccio consiste nel portare un fattore dentro alla radice più interna, applicando poi la regola della radice di radice. Si continua in questo modo fino a rimanere con una sola radice.

A voi scegliere quale dei due metodi utilizzare, anche regolandovi in base alle indicazioni del vostro insegnante.

Conclusioni. Alcune linee guida per il caso di radicandi letterali

Per quanto riguarda gli esercizi sulle radici di radici (radice di un radicale) nel caso di radicandi numerici è tutto. Desideriamo tuttavia completare la scheda con ulteriori informazioni.

In particolare, per calcolare la radice di un radicale nel caso di radicandi letterali, bisogna tener conto delle condizioni di esistenza dei radicali presenti nell’espressione di partenza. Vediamo brevemente un esempio.

\sqrt[5]{\sqrt[3]{\dfrac{x}{x-1}}}

Ragioniamo sulla radice più interna. Poiché questa ha indice dispari, il radicando potrà essere indifferentemente positivo, negativo o nullo. Osserviamo tuttavia che poiché il radicando è una frazione, il denominatore non può essere nullo. Di conseguenza dovremo porre la condizione:

x-1 \neq 0 \iff x \neq 1

Quindi una volta rispettata tale condizione, il radicale interno esiste. Ed esiste anche la radice di radice data. Infatti, anche l’indice della radice esterna è dispari. Così sotto l’ipotesi detta possiamo scrivere:

\sqrt[5]{\sqrt[3]{\dfrac{x}{x-1}}}=\sqrt[15]{\dfrac{x}{x-1}}, \qquad x \neq 1

Consideriamo un altro esempio:

\sqrt{\sqrt[4]{\dfrac{3x}{1-x}}}

Le radici sono entrambe pari, e in particolare è pari la radice più interna. Di conseguenza dovremo porre la condizione:

\dfrac{3x}{1-x} \geq 0

Studiando i segni abbiamo (usiamo il metodo algebrico, ma in alternativa è anche possibile usare il metodo grafico):

\begin{cases} 3x \leq 0 \\ \\ 1-x < 0  \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} 3x \geq 0  \\ \\ 1-x > 0\end{cases}

Abbiamo indicato in particolare le condizioni per le quali la frazione risulta positiva o nulla (numeratore e denominatore concordi). Otteniamo:

\begin{cases}x \leq 0 \\ \\ x > 1 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} x \geq 0 \\ \\ x <1\end{cases}

e quindi otteniamo la condizione di esistenza:

 0 \leq x < 1

Imponendo tale condizione possiamo eseguire il calcolo seguente:

\sqrt{\sqrt[4]{\dfrac{3x}{1-x}}}=\sqrt[8]{\dfrac{3x}{1-x}}, \qquad  0 \leq x < 1

Ed ora per quanto riguarda gli esercizi sulle radici di radici (radice di un radicale) è davvero tutto! Buon proseguimento con SìMatematica!