Esercizi sull’equazione della parabola

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In questa scheda proponiamo una serie di esercizi sull’equazione della parabola, suddivisi in due categorie:

• esercizi che richiedono di scrivere l’equazione di una parabola a partire dalle coordinate del fuoco e dalla distanza con segno d della direttrice rispetto all’asse x o y;
• esercizi sulla parabola che invece richiedono di calcolare le coordinate del fuoco, del vertice e di scrivere l’equazione della direttrice di una parabola a partire dalla sua equazione.

Negli esercizi proposti nella scheda ci occuperemo sia del caso di una parabola con asse verticale, sia del caso di una parabola con asse orizzontale.

Ricordiamo prima di tutto quale è l’equazione di una parabola con asse verticale. Essa si esprime come:

y=ax^2+bx+c, \qquad a,b,c \in \R, \quad a \neq 0

Se dobbiamo determinare l’equazione di una parabola con asse verticale a partire dalle coordinate del fuoco e dalla distanza con segno {d} della direttrice rispetto all’asse {x}, le formule da utilizzare sono:

\begin{align*} & a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}, \qquad b=-\dfrac{x_F}{y_F-d}, \qquad c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)} \\ \\ & \small \text{(coefficienti a,b,c per parabola con asse verticale)}  \end{align*}

ove {x_F} ed {y_F} sono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del fuoco mentre {d} è la distanza con segno della direttrice {s} rispetto all’asse {x}.

Viceversa, se dobbiamo invece determinare le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice {s} a partire dall’equazione della parabola, essendo noti i valori dei coefficienti {a,b,c} che compaiono nell’equazione utilizzeremo le formule:

x_F=-\dfrac{b}{2a}; \qquad y_F=\dfrac{1-\Delta}{4a}; \qquad d=-\dfrac{1+\Delta}{4a}

ove {\Delta = b^2-4ac}.

Ricordiamo infine che il vertice {V} di una parabola è il punto di intersezione tra l’asse della parabola e la parabola stessa:

Osserviamo che in una parabola con asse verticale, il fuoco e il vertice hanno lo stesso valore dell’ascissa.

Per ricavare l’ordinata {y_V} del vertice basta sostituire il valore dell’ascissa del vertice nell’equazione della parabola. E poiché l’ascissa del vertice coincide in questo caso con l’ascissa del fuoco si ha:

y_V=ax_F^2+bx_F+c

In alternativa, è anche possibile esprimere le coordinate del vertice di una parabola con asse verticale come:

V=\left( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right), \qquad \Delta = b^2-4ac

Passiamo ora al caso di una parabola con asse orizzontale. In particolare, l’equazione di una parabola con asse orizzontale si esprime come:

x=ay^2+by+c, \qquad a,b,c \in \R, \quad a \neq 0

Se dobbiamo determinare l’equazione di una parabola con asse orizzontale a partire dalle coordinate del fuoco e dalla distanza con segno {d} della direttrice rispetto all’asse {y}, le formule da utilizzare sono:

\begin{align*} & a=\dfrac{1}{2(x_F-d)}; \qquad b=-\dfrac{y_F}{x_F-d}; \qquad c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(x_F-d)} \\ \\ & \small \text{(coefficienti a,b,c per parabola con asse orizzontale)} \end{align*}

ove {x_F} ed {y_F} sono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del fuoco mentre {d} è la distanza con segno della direttrice {s} rispetto all’asse {y}.

Viceversa, se dobbiamo invece determinare le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice {s} a partire dall’equazione della parabola (con asse orizzontale), essendo noti i valori dei coefficienti {a,b,c} che compaiono nell’equazione stessa utilizzeremo le formule:

 \begin{align*} & x_F = \dfrac{1-\Delta}{4a}, \qquad y_F= -\dfrac{b}{2a}, \qquad d=-\dfrac{1+\Delta}{4a} \\ \\ & \small \text{(coordinate del fuoco e distanza d per una parabola con asse orizzontale)} \end{align*}

ove si ha ancora {\Delta=b^2-4ac}.

Come nel caso precedente, ricordiamo infine che il vertice {V} di una parabola è il punto di intersezione tra l’asse della parabola e la parabola stessa. Nel caso di una parabola con asse orizzontale si ha:

Osserviamo che in una parabola con asse orizzontale, il fuoco e il vertice hanno lo stesso valore dell’ordinata.

Per ricavare l’ascissa {x_V} del vertice basta sostituire il valore dell’ordinata del vertice nell’equazione della parabola. E poiché l’ordinata del vertice coincide in questo caso con l’ordinata del fuoco si ha:

x_V=ay_F^2+by_F+c

In alternativa, è anche possibile esprimere le coordinate del vertice di una parabola con asse orizzontale come:

V=\left( -\dfrac{\Delta}{4a}, -\dfrac{b}{2a}\right), \qquad \Delta = b^2-4ac

La seguente figura, utile per gli esercizi, riassume tutte le formule da utilizzare (attenzione: le formule a sinistra si riferiscono tutte alla parabola con asse verticale, mentre tutte le formule a destra si riferiscono alla parabola con asse orizzontale).

Proponiamo a questo punto una serie di esercizi sull’equazione della parabola. Vedremo in particolare:

• come scrivere l’equazione di una parabola a partire dalle coordinate del fuoco e dall’equazione della direttrice;
• come calcolare coordinate del fuoco, coordinate del vertice e come determinare l’equazione della direttrice a partire dall’equazione di una parabola.

Esercizi sull’equazione della parabola, con asse verticale e orizzontale

Prima parte: esercizi sull’equazione della parabola con asse verticale

Esercizio 1

Scrivere l’equazione della parabola avente fuoco {F=(2,1)} e direttrice {s} di equazione {s: y= 3}.

Essendo {F=(2,1)} abbiamo evidentemente per le coordinate del fuoco della parabola:

x_F=2; \quad y_F=1

Ora, poiché la direttrice ha equazione della stessa forma dell’equazione relativa ad una retta orizzontale, possiamo affermare che la parabola ha asse di simmetria verticale. Infatti, l’asse di una parabola e la direttrice sono sempre perpendicolari fra loro.

L’equazione della parabola in esame sarà dunque della forma:

y=ax^2+bx+c

Il nostro obiettivo è in particolare ricavare i valori dei coefficienti {a,b,c} in base alle coordinate del fuoco e all’equazione della direttrice dati.

Se la direttrice ha equazione {y=3}, la distanza con segno della direttrice rispetto all’asse {x} sarà evidentemente:

d=3

Essa infatti è uguale all’ordinata in comune a tutti i punti della direttrice.

Ma disponendo delle coordinate {x_F} ed {y_F} del fuoco e della distanza con segno {d} della direttrice rispetto all’asse {x } possiamo calcolare i coefficienti {a,b,c} grazie alle formule:

a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}, \qquad b=-\dfrac{x_F}{y_F-d}, \qquad c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}

Abbiamo così:

\begin{align*} &a=\dfrac{1}{2(y_F-d)}=\dfrac{1}{2(1-3)}=\dfrac{1}{2 \cdot(-2)}=-\dfrac{1}{4}; \\ \\ & b=-\dfrac{x_F}{y_F-d}=-\dfrac{2}{1-3}=-\dfrac{2}{-2}=1;\\ \\ & c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(y_F-d)}=\dfrac{2^2+1^2-3^2}{2(1-3)}=\dfrac{4+1-9}{2(-2)}=\dfrac{-4}{-4}=1\end{align*}

In conclusione disponendo a questo punto dei valori dei coefficienti {a,b,c} possiamo scrivere l’equazione della parabola cercata. Si tratterà infatti di sostituire tali valori nell’equazione di una generica parabola con asse verticale. Abbiamo quindi:

y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+1

Osserviamo che saremmo potuti pervenire al medesimo risultato sfruttando la definizione di parabola come luogo geometrico. In particolare, se {F=(x_F, y_F)} è il fuoco della parabola e {s:y=d} è la sua direttrice, per ogni punto {P=(x,y)} appartenente alla parabola dovrà necessariamente valere l’equazione:

\underbrace{(x_F-x)^2+(y_F-y)^2}_{\small \substack{\text{Quadrato della} \\ \text{ distanza}\\ \text{tra il punto P e il fuoco F}}}=\underbrace{(y-d)^2}_{\small \substack{\text{Quadrato della} \\ \text{ distanza} \\ \text{tra il punto P} \\ \text{ e la direttrice s}}}

Tale equazione impone che il quadrato della distanza tra il punto {P} e il fuoco sia uguale al quadrato della distanza tra quello stesso punto {P} e la direttrice della parabola. E tale condizione rappresenta proprio la definizione di parabola come luogo geometrico (la parabola è il luogo dei punti equidistanti da un fissato punto detto fuoco e da una particolare retta detta direttrice). Ricordiamo che consideriamo tali distanze al quadrato in modo da non ritrovarci con un’equazione irrazionale.

Sostituendo i valori otteniamo:

\begin{align*} & (2-x)^2+(1-y)^2=(y-3)^2; \\ \\ & 4-4x+x^2+1-2y+\cancel{y^2}=\cancel{y^2}-6y+9;\\ \\ &4y=-x^2+4x+4; \\ \\ & y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+1 \end{align*}

Quindi ritroviamo correttamente anche in questo modo l’equazione della parabola cercata. Osserviamo che quest’ultimo procedimento è utile nel caso in cui si abbiano delle difficoltà a ricordare le formule dei coefficienti {a,b,c} e piuttosto si trovi comodo ricordare la definizione di parabola come luogo geometrico.

Abbiamo quindi visto come sia possibile anche negli esercizi sull’equazione della parabola prendere delle strade alternative. E ciò a dispetto del fatto che esercizi di questo tipo potrebbero apparire unicamente come un’applicazione piuttosto meccanica e scontata di una serie di formule.

Esercizio 2

Data la parabola di equazione {y=2x^2+3x-7}, calcolare le coordinate del fuoco, del vertice e determinare l’equazione della direttrice e l’equazione dell’asse di simmetria.

Poiché l’equazione data è della forma {y=ax^2+bx+c} siamo nel caso di una parabola con asse di simmetria verticale. Abbiamo in particolare {a=2, b=3} e {c=-7} (attenzione al segno meno).

Per una parabola con asse verticale, le coordinate del fuoco si calcolano a partire dai coefficienti che figurano nell’equazione della parabola stessa come:

x_F=-\dfrac{b}{2a}; \qquad y_F=\dfrac{1-\Delta}{4a}

ove, ricordiamo:

\Delta = b^2-4ac

Sostituendo i valori otteniamo:

\begin{align*} &x_F=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2 \cdot 2}=-\dfrac{3}{4}; \\ \\ & y_F=\dfrac{1-\Delta}{4a}=\dfrac{1-(b^2-4ac)}{4a}=\dfrac{1-[3^2-4 \cdot 2 \cdot (-7)]}{4 \cdot 2}=\dfrac{1-(9+56)}{8}=\\ \\ & =\dfrac{1-65}{8}=-\dfrac{64}{8}=-8\end{align*}

Così intanto relativamente al primo quesito del problema possiamo affermare che la parabola ha fuoco di coordinate:

F=\left( -\dfrac{3}{4},-8\right)

Proseguiamo calcolando le coordinate del vertice. Per una parabola con asse di simmetria verticale vale la formula:

V=(x_V, y_V)=\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)

Senza ripetere i calcoli, osserviamo che l’ascissa del vertice è uguale all’ascissa del fuoco. Per quanto riguarda invece l’ordinata del vertice si ha:

y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-\dfrac{65}{4 \cdot 2}=-\dfrac{65}{8}

Così per il vertice {V} della parabola in esame abbiamo:

V=\left( -\dfrac{3}{4},-\dfrac{65}{8}\right)

Passiamo ora alla determinazione dell’equazione della direttrice, che per una parabola con asse verticale ha forma generale:

s:y=d

Per scrivere tale equazione dobbiamo calcolare la distanza con segno {d} della direttrice rispetto all’asse {x}. Ma per le formule date in precedenza si ha:

d=-\dfrac{1+\Delta}{4a}=-\dfrac{1+65}{4 \cdot 2}=-\dfrac{66}{8}=-\dfrac{33}{4}

Quindi la direttrice della parabola assegnata ha equazione:

s:y=-\dfrac{33}4{}

Ora per concludere l’esercizio rimane soltanto da calcolare l’equazione dell’asse di simmetria. Questa, per una parabola con asse di simmetria verticale, ha in generale forma:

x=-\dfrac{b}{2a}

ovvero:

x=x_F

Poiché abbiamo già calcolato l’ascissa del fuoco della parabola, possiamo scrivere in conclusione per l’asse di simmetria l’equazione:

x=-\dfrac{3}{4}

Esercizio 3

Proseguiamo questa serie di esercizi sull’equazione della parabola con il seguente, nel quale viene richiesto di determinare la sola equazione della direttrice.

Determinare l’equazione della direttrice della parabola avente equazione {y=-2x^2+6x-5}.

La parabola è della forma {y=ax^2+bx+c} e di conseguenza il suo asse di simmetria è verticale. Ora, poiché la direttrice di una parabola è sempre perpendicolare all’asse di simmetria, concludiamo che la direttrice della parabola in esame è necessariamente una retta orizzontale. In particolare, per una parabola con asse verticale la direttrice ha equazione in forma generica:

s:y=d

il che effettivamente corrisponde ad una retta orizzontale, i cui punti hanno tutti ordinata uguale a {d}.

Come visto nell’esercizio precedente, per il calcolo della distanza con segno {d} abbiamo, tenendo conto che nel nostro caso è {a=-2, b=6, c=-5}:

\begin{align*} &d=-\dfrac{1+\Delta}{4a}=-\dfrac{1+b^2-4ac}{4a}=-\dfrac{1+6^2-4 \cdot (-2) \cdot (-5)}{4 \cdot (-2)}= \\ \\ & =-\dfrac{1+36-40}{-8}=-\dfrac{-3}{-8}=-\dfrac{3}{8}\end{align*}

Così la direttrice della parabola ha in conclusione equazione:

s: y=-\dfrac{3}{8}

Esercizio 4

Determinare le coordinate del vertice della parabola di equazione {y=3x^2+5x+1} avente fuoco {F=\left( -\dfrac{5}{6}, -1\right)}.

Osserviamo che l’esercizio fornisce, oltre all’equazione della parabola, anche le coordinate del fuoco. Di conseguenza, la determinazione delle coordinate del vertice è piuttosto immediata ed in particolare non richiede necessariamente l’utilizzo delle formule date in precedenza.

Ricordiamo anzitutto che in una parabola con asse di simmetria verticale l’ascissa del vertice e del fuoco coincidono. Per cui, indicate con {x_V} ed {y_V} rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del vertice si ha intanto:

x_V=x_F \quad \Rightarrow \quad x_V=-\dfrac{5}{6}

Poiché il vertice è comunque un punto della parabola, la sua ordinata si potrà calcolare a partire dal valore dell’ascissa, sostituendo quest’ultimo nell’equazione della parabola:

\begin{align*} &y=3x^2+5x+1 \qquad \text{con} \quad x=-\dfrac{5}{6} \\ \\ & \Rightarrow \quad y=3 \cdot \left( -\dfrac{5}{6}\right)^2+5 \cdot \left( -\dfrac{5}{6}\right)+1; \\ \\ & \Rightarrow \quad y=3 \cdot \dfrac{25}{36}-\dfrac{25}{6}+1 \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{25}{12}-\dfrac{50}{12}+\dfrac{12}{12} \quad \Rightarrow \quad y_V=-\dfrac{13}{12}\end{align*}

Così in conclusione il vertice della parabola in esame ha coordinate:

V=\left( -\dfrac{5}{6}, -\dfrac{13}{12}\right)

Passiamo ora ad esercizi sull’equazione della parabola relativi al caso di una parabola con asse orizzontale.

Seconda parte: esercizi sull’equazione della parabola con asse orizzontale

Proseguiamo questa serie di esercizi sull’equazione della parabola con esercizi relativi alla parabola con asse di simmetria orizzontale.

Esercizio 5

Determinare l’equazione della parabola avente fuoco {F=(5,6)} e direttrice la cui distanza con segno rispetto all’asse delle {y} è uguale a {-3}.

Poiché la distanza con segno {d} della direttrice è riferita all’asse delle {y}, siamo in presenza di una parabola con direttrice data da una retta verticale. Del resto, la nozione di distanza fra rette ha senso soltanto nel caso di due rette tra loro parallele e se la distanza è presa perpendicolarmente alle rette stesse. E in conclusione, se la direttrice è una retta verticale, la parabola ha necessariamente asse di simmetria orizzontale. Così, la parabola in esame è del tipo con asse orizzontale ed avrà equazione della forma:

x=ay^2+by+c

Ora, per calcolare i valori dei coefficienti {a,b,c} relativi ad una parabola con asse orizzontale, le formule da utilizzare sono:

a=\dfrac{1}{2(x_F-d)}; \qquad b=-\dfrac{y_F}{x_F-d}; \qquad c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(x_F-d)}

Stiamo sempre attenti a non confondere le formule relative ad una parabola con asse orizzontale con quelle relative ad una parabola con asse verticale e viceversa.

Poiché dal testo si ricavano immediatamente i valori {x_F=5, y_F=6} e {d=-3} si ha:

\begin{align*} &a=\dfrac{1}{2(x_F-d)}=\dfrac{1}{2[5-(-3)]}=\dfrac{1}{2\cdot8}=\dfrac{1}{16}; \\ \\ & b=-\dfrac{y_F}{x_F-d}=-\dfrac{6}{5-(-3)}=-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}; \\ \\ & c=\dfrac{x_F^2+y_F^2-d^2}{2(x_F-d)}=\dfrac{5^2+6^2-(-3)^2}{2\cdot[5-(-3)]}=\dfrac{25+36-9}{16}=\dfrac{52}{16}=\dfrac{13}{4}\end{align*}

Quindi in conclusione la parabola in esame (che ricordiamo, ha asse orizzontale) ha equazione:

x=\dfrac{1}{16}y^2-\dfrac{3}{4}y+\dfrac{13}{4}

Come per il caso della parabola con asse verticale, anche qui è possibile in alternativa determinare l’equazione della parabola utilizzando la sua definizione come luogo geometrico. Basta infatti ricordare che ciascun punto {P(x,y)} di una parabola con asse di simmetria orizzontale dovrà soddisfare l’uguaglianza:

\underbrace{(x_F-x)^2+(y_F-y)^2}_{\small \substack{\text{Quadrato della} \\ \text{ distanza}\\ \text{tra il punto P e il fuoco F}}}=\underbrace{(x-d)^2}_{\small \substack{\text{Quadrato della} \\ \text{ distanza} \\ \text{tra il punto P} \\ \text{ e la direttrice s}}}

Osserviamo che l’uguaglianza è molto simile a quella già scritta per la parabola con asse verticale, ma con la differenza che al secondo membro abbiamo il quadrato della distanza presa orizzontalmente tra il punto {P} e la direttrice della parabola, direttrice che in questo caso è verticale.

Sostituendo nell’uguaglianza appena scritta le coordinate del fuoco e la misura con segno date nel testo abbiamo:

\begin{align*} &(5-x)^2+(6-y)^2=[x-(-3)]^2; \\ \\ & 25-10x+\cancel{x^2}+36-12y+y^2=\cancel{x^2}+6x+9;\\ \\ & 16x=y^2-12y+52; \\ \\ & x=\dfrac{1}{16}y^2-\dfrac{3}{4}y+\dfrac{13}{4} \end{align*}

Ritroviamo così correttamente il risultato precedentemente ottenuto.

Esercizio 6

Calcolare le coordinate del fuoco e del vertice della parabola di equazione {x=5y^2+2y-6}.

Prima di tutto, osserviamo che l’equazione della parabola in esame è del tipo:

x=ay^2+by+c

con {a=5, b=2, c=-6}.

Siamo dunque in presenza di una parabola con asse orizzontale. Per calcolare le coordinate del fuoco le formule da utilizzare sono quindi:

x_F = \dfrac{1-\Delta}{4a}, \qquad y_F= -\dfrac{b}{2a}

Sostituendo i valori otteniamo:

\begin{align*} &x_F=\dfrac{1-(b^2-4ac)}{4a}=\dfrac{1-[4-4\cdot 5\cdot(-6)]}{4 \cdot 5}=\dfrac{1-(4+120)}{20}=-\dfrac{123}{20}; \\ \\ & y_F=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2 \cdot 5}=-\dfrac{2}{10}=-\dfrac{1}{5}\end{align*}

Così il fuoco della parabola in esame è dato dal punto:

F=(x_F, y_F)=\left( -\dfrac{123}{20},-\dfrac{1}5{}\right)

Infine, per le coordinate del vertice dobbiamo utilizzare le formule:

V=\left( -\dfrac{\Delta}{4a}, -\dfrac{b}{2a}\right)

Sostituendo i valori otteniamo in conclusione:

\begin{align*} &V=\left( -\dfrac{b^2-4ac}{4a},-\dfrac{b}{2a}\right)=\left( -\dfrac{2^2-4 \cdot 5 \cdot (-6)}{4 \cdot 5}, - \dfrac{2}{2 \cdot 5}\right)=\\ \\ & =\left( -\dfrac{4+120}{20}, -\dfrac{1}{5}\right)=\left( -\dfrac{31}{5},-\dfrac{1}{5}\right)\end{align*}

Concludiamo a questo punto gli esercizi sull’equazione della parabola con il seguente.

Esercizio 7

Scrivere l’equazione della direttrice della parabola {\mathscr{P}: x=\dfrac{1}{2}y^2+\dfrac{3}{4}y-\dfrac{5}{8}}.

L’equazione della parabola è della forma {x=ay^2+by+c}, con {a=\dfrac{1}{2}, b=\dfrac{3}{4}} e {c=-\dfrac{5}{8}} (coefficienti {a,b,c} frazionari). Siamo quindi in presenza di una parabola con asse orizzontale. E, dato che la direttrice di una parabola è sempre perpendicolare al suo asse di simmetria, la direttrice sarà in questo caso data da una retta verticale.

Nello specifico, l’equazione in forma generale della direttrice di una parabola con asse orizzontale è:

s:x=d

ove:

d=-\dfrac{1+\Delta}{4a}

Sostituendo i valori dei coefficienti abbiamo (stiamo attenti ad applicare correttamente le regole relative al calcolo con le frazioni):

\begin{align*} &d=-\dfrac{1+(b^2-4ac)}{4a}=-\dfrac{1+\left[ \left(\dfrac{3}{4} \right)^2-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( -\dfrac{5}{8}\right)\right]}{4 \cdot \dfrac{1}{2}}=\\ \\ & =-\dfrac{1+\left( \dfrac{9}{16}+2\cdot \dfrac{5}{8}\right)}{2}=-\dfrac{1+\dfrac{9}{16}+\dfrac{5}{4}}{2}=-\dfrac{\dfrac{16+9+20}{16}}{2}=\\ \\ & =-\dfrac{45}{16}\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{45}{32} \end{align*}

Quindi per l’equazione della direttrice della parabola data possiamo scrivere in conclusione:

s: x=-\dfrac{45}{32}

Conclusioni

Per quanto riguarda gli esercizi sull’equazione della parabola è tutto per ora. Ci siamo qui concentrati nei soli casi relativi a parabole con asse di simmetria rispettivamente verticale ed orizzontale. Queste sono infatti le due situazioni che vengono solitamente affrontate alle scuole superiori.

Osserviamo che in generale è possibile determinare l’equazione di una parabola non soltanto a partire dalle coordinate del fuoco e dall’equazione della direttrice, ma anche disponendo di differenti dati di partenza. In particolare, ulteriori informazioni in tal senso sono disponibili nelle lezioni sulle condizioni per determinare l’equazione di una parabola (nel link vi rimandiamo alla prima lezione della serie).

Un saluto a tutti voi e buon proseguimento con SìMatematica!