Esercizi sull’insieme complementare

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Presentiamo in questa scheda una serie di esercizi sull’insieme complementare, in modo da mettere in pratica quanto visto nella lezione teorica. Forniremo comunque immediatamente a seguire dei brevi richiami sul concetto di insieme complementare.

Consideriamo un insieme {A}. Ogni insieme {E} per il quale risulti {A \subseteq E} si dice insieme universo per {A}. In altre parole, se {A} è un sottoinsieme dell’insieme {E}, allora l’insieme {E} è un insieme universo per {A}.

In generale gli insiemi universo per un dato insieme {A} sono infiniti. Tuttavia, fissato un insieme universo {E} è possibile definire il complementare dell’insieme {A} rispetto all’universo {E} come:

\mathcal{C}_EA=E \setminus A=\left[ x\in E \: | \: x \not \in A\right]

Vediamo come nella definizione di insieme complementare interviene l’operazione di differenza tra insiemi. In particolare, l’operazione di “complementazione” di un insieme {A} rispetto all’insieme universo {E} può essere riletta come la differenza tra l’insieme universo {E} e l’insieme {A}.

Infine, ricordiamo che l’insieme complementare di un insieme {A} rispetto al fissato insieme universo {E} può essere rappresentato graficamente come segue:

esercizi sull'insieme complementare

Tutto il rettangolo rappresenta l’insieme universo {E}, mentre la parte evidenziata in celeste è il complementare rispetto ad {E} dell’insieme {A}.

Fatti i dovuti richiami, passiamo subito agli esercizi sull’insieme complementare.

Esercizio 1

Indicare il complementare dell’insieme: {A=\left\{ x \in \N \: | \: x \leq 20\right\}} rispetto all’insieme {\N} dei numeri naturali.

L’insieme universo è in questo caso dato dall’insieme {E = \N} dei numeri naturali. Infatti, nella proprietà caratteristica dell’insieme è indicato che il generico elemento {x} appartiene all’insieme {\N}.

Ora, il complementare di {A} è dato da tutti gli elementi di {\N} che non appartengono ad {A}, ovvero nel nostro caso da tutti i numeri naturali tali da non essere minori o uguali a {20}. Di conseguenza, l’insieme complementare di {A} rispetto all’universo {\N} è dato da tutti i numeri naturali maggiori di {20}:

\mathcal{C}_EA=E \setminus A = \left\{ x \in E \: | \: x > 20\right\}

Per rendercene meglio conto, rappresentiamo l’insieme {A} per elencazione. Ciò è possibile (anche indicando tutti gli elementi) poiché l’insieme è finito:

A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, \dots ,19,20\right\}

Se togliamo all’insieme dei numeri naturali (che è l’insieme universo) l’insieme {A}, ovvero togliamo all’insieme {\N} ciascun elemento dell’insieme {A}, non possiamo che ritrovarci con i numeri naturali dal {21} in poi:

\begin{align*} & \mathcal{C}_E A =  \N \setminus \left\{ 0,1,2,3,4,\dots, 18, 19, 20\right\}=\left\{ 21,22,23, \dots \right\}\\ \\ & = \left\{ x \in E \: | \: x > 20\right\}\end{align*}

Esercizio 2

Determinare l’insieme complementare dell’insieme: {A=\left\{ x \in \N \: | \: x > 15\right\}} rispetto all’insieme {\N} dei numeri naturali.

In questo caso non possiamo rappresentare l’insieme {A} elencandone tutti gli elementi. L’insieme è infatti infinito. Tuttavia, aiutandoci con dei puntini possiamo scrivere:

A=\left\{ 16, \: 17, \: 18, \: 19, \dots\right\}

Così il complementare di {A} rispetto all’insieme dei numeri naturali (quest’ultimo rappresenta l’insieme universo) è dato da tutti i numeri naturali minori di {16}. In questo modo escludiamo dall’insieme universo tutti gli elementi che appartengono ad {A}:

\mathcal{C}_E A = \N - A = \left\{ x \in N \: | \: x < 16\right\}

ovvero:

\mathcal{C}_E A = \left\{0,1,2,3,4,5,6,7, \dots ,14,15 \right\}

Proseguiamo ora gli esercizi sull’insieme complementare con un esercizio relativo ad un insieme che ha per proprietà caratteristica una doppia disequazione.

Esercizio 3

Determinare il complementare del seguente insieme:{A = \left\{ x \in \N \: | \: 5<x<24\right\}} rispetto all’insieme {\N} dei numeri naturali.

L’insieme {A} è dato dai numeri naturali tali da essere compresi tra {5} e {24} (estremi esclusi). In particolare, la condizione:

5 < x < 24

è una doppia disequazione che può essere riscritta come:

x > 5 \quad \land \quad x < 24

Il simbolo “{\land}” significa “e contemporaneamente”. Così richiediamo che ciascun {x \in A} sia maggiore di {5} e allo stesso tempo minore di {24}.

E’ dunque evidente che tutti i successivi di {5} minori di {24} fanno parte dell’insieme {A}. Utilizzando la rappresentazione estensiva o per elencazione:

A=\left\{ 6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,\dots,22,23\right\}

A questo punto è immediato determinare l’insieme complementare dell’insieme {A}. Per rendere le cose più semplici, possiamo determinare separatamente due insiemi, e quindi considerarne l’unione.

L’insieme complementare di {A} sarà dato da tutti i numeri naturali minori di {6} e da tutti i numeri naturali maggiori di {23}. Consideriamo separatamente i due insiemi:

B_1=\left\{ x \in \N \: | \: x <6\right\}=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\}
B_2=\left\{ x \in \N \: | \: x > 23\right\}=\left\{ 24,25,26,27, \dots\right\}

Ma a questo punto se effettuiamo l’operazione di unione tra i due insiemi {B_1} e {B_2} otteniamo il complementare dell’insieme {A} rispetto all’universo {E=\N}:

\mathcal{C}_EA=B_1 \cup B_2 =\left\{ 0,1,2,3,4,5,24,25,26,27, \dots\right\}=E \setminus A

Ovvero, utilizzando la rappresentazione per proprietà caratteristica:

\mathcal{C}_E A = \left\{ x \in \N \: | \: x < 6 \: \text{oppure} \: x > 23\right\}

Abbiamo così determinato l’insieme complementare cercato. 😉

Concludiamo con un’osservazione. Dato che in questo caso {E= \N}, è utile osservare che la condizione “{x < 6 \: \text{oppure} \: x > 23}“, corrispondente all’insieme complementare di {A} rispetto ad {E = \N}, rappresenta la negazione della condizione “5 < x < 24“, quest’ultima corrispondente all’insieme {A} di partenza.

Per rendersi conto di questo, è di aiuto considerare le due disequazioni equivalenti all’ultima condizione scritta:

x > 5 \: \land \: x < 24 \qquad \text{condizione dell'insieme }A

Se vogliamo negare una condizione di questo tipo, ricordiamo che dobbiamo invertire entrambi i simboli di disuguaglianza, includendo l’uguaglianza se non era inizialmente compresa oppure escludendo l’uguaglianza se invece questa era inizialmente compresa, ed inoltre sostituire il simbolo “{\land}” che sta per “e contemporaneamente” con il simbolo “{\vee}” che sta per “oppure. Di conseguenza, nel nostro caso:

x \leq 5 \: \vee \: x \geq  24 \qquad \text{negazione della condizione dell'insieme }A

Osserviamo infine che la condizione appena scritta è equivalente a:

x < 6 \: \vee \: x > 23

che è la condizione relativa all’insieme complementare rispetto ad {E=\N} scritta in precedenza.

Così, sotto l’ipotesi che l’insieme universo sia un insieme numerico del tipo {\N, \R, \dots}, se neghiamo la condizione relativa alla proprietà caratteristica di un dato insieme {A}, otteniamo una nuova proprietà caratteristica che corrisponderà all’insieme complementare di {A} rispetto all’insieme numerico fissato come insieme universo.

Se come insieme universo avessimo invece avuto ad esempio un sottoinsieme di {\N}, tale semplice regola non sarebbe stata applicabile. Vedremo questo nel prossimo di questa serie di esercizi sull’insieme complementare.

Esercizio 4

In questo esercizio vedremo dei trucchi utili negli esercizi che richiedono di determinare il complementare di un insieme rispetto ad un universo dato da un sottoinsieme di un insieme numerico. In altre parole, ci concentreremo sul problema di determinare il complementare di un insieme rispetto ad un insieme qualsiasi, ovviamente nel rispetto delle opportune ipotesi (ovvero, la scrittura {\mathcal{C}_E A } ha senso solo se {A} è un sottoinsieme di {E}).

Determinare l’insieme complementare dell’insieme {A=\left\{ x \in \N \: | \: x > 4 \right\}} rispetto all’insieme {B=\left\{ x \in \N \: | \: x > 2\right\}}.

Prestiamo attenzione al fatto che in questo caso l’insieme universo non è un intero insieme numerico. Infatti, in questo caso l’insieme universo {B} è dato da un sottoinsieme dell’insieme {\N} dei numeri naturali, e non da tutto {\N}.

Di conseguenza, non possiamo ottenere il complementare dell’insieme dato negando la condizione presente nella corrispondente proprietà caratteristica.

Tuttavia, ha senso procedere in questo modo. Possiamo scrivere l’insieme che si ottiene a partire da {A} negando la condizione della sua proprietà caratteristica, per poi ottenere l’insieme complementare di {A} dall’intersezione tra l’insieme appena scritto e l’insieme {B}.

In altre parole, l’insieme complementare di {A} rispetto a {B} è dato da:

\mathcal{C}_BA = \mathcal{C}_EA \cap B, \qquad E = \N

Osserviamo che abbiamo scelto {E=\N} poiché {B} è un sottoinsieme di {\N}. Otteniamo così nel caso in esame:

\begin{align*} & \mathcal{C}_BA= \mathcal{C}_EA \cap B=\left( \left\{ x \in \N \: | \:  x \leq  4\right\}\right) \cap \left\{ x \in \N \: | \: x > 2\right\}=\\ \\ & =\left\{ x \in \N \: | \: x \leq 4 \:\land  \: x > 2\right\}=\left\{ x \in \N \: | \:  2 < x  \leq 4\right\} \end{align*}

Ciò che abbiamo fatto è in pratica restringere l’intero insieme dei numeri naturali all’insieme {B} mediante l’operazione di intersezione tra insiemi, determinando il complementare dell’insieme di partenza rispetto all’universo {B} fissato.

La dimostrazione della regola utilizzata è disponibile alla fine di questa scheda.

In alternativa, avremmo potuto risolvere l’esercizio semplicemente applicando la definizione di insieme complementare mediante la differenza tra insiemi:

\begin{align*} & \mathcal{C}_B A = B\setminus A = \left\{ x \in \N \: | \: x > 2 \right\} \setminus \left\{ x \in \N \: | \: x  > 4\right\}=\\ \\ & = \left\{ x \in \N \: | \: x > 2 \right\}  \cap \left\{ x \in \N \:| \: x \leq 4 \right\}= \left\{ x \in \N \: | \:    2 < x  \leq 4\right\} \end{align*}

In pratica abbiamo preso gli elementi dell’insieme {B} (l’insieme universo) tali da non appartenere all’insieme {A} (l’insieme di partenza), ovvero gli elementi di {B} che non rispettano la condizione {x > 4}, ossia gli elementi dell’insieme {B} tali da essere minori o uguali a {4}. Anche in questo caso la logica si basa sulla negazione di una condizione relativa ad una proprietà caratteristica.

Esercizio 5

Proseguiamo gli esercizi sull’insieme complementare con il seguente.

Determinare il complementare dell’insieme {A=\left\{ x \in \N \:| \: x < 12\right\}} rispetto ad {E= \N}

In questo caso l’insieme universo è dato da un intero insieme numerico (tutti i numeri naturali). Per ottenere il complementare dell’insieme dato è allora sufficiente negare la condizione contenuta nella proprietà caratteristica. Poiché abbiamo un simbolo di “minore” questo dovrà diventare un simbolo di “maggiore o uguale”. Di conseguenza:

\mathcal{C}_E A = \left\{ x \in \N \: | \: x \geq 12\right\}

Esercizio 6

Se {A=\left\{ x \in \N \: | \: x \geq 2\right\}} e {B=\left\{ x \in \N \: | \: x > 8\right\}}, determinare {\mathcal{C}_A B}.

In questo caso l’insieme universo è dato dall’insieme {A} (stiamo sempre attenti a leggere correttamente la notazione per l’insieme complementare). Nella scrittura {\mathcal{C}_A B} l’insieme universo è l’insieme che figura nel pedice.

Procedendo come nell’esercizio precedente abbiamo:

\mathcal{C}_A B = \mathcal{C}_EB \cap A, \qquad E = \N

ovvero, tenendo conto che {\mathcal{C}_E B = \left\{ x \in N \: | \: x \leq 8\right\}}

\begin{align*}& \mathcal{C}_AB= \left\{ x \in N \: | \: x \leq 8\right\} \cap  \left\{ x \in \N \: | \: x \geq 2\right\}=\\ \\ & = \left\{ x \in \N \: | \:  x \leq 8 \: \land \: x \geq 2\right\}=\left\{ x \in \N \: | \:  2 \leq x \leq 8\right\} \end{align*}

e quindi in conclusione:

\mathcal{C}_A B = \left\{ 2,3,4,5,6,7,8\right\}

In alternativa utilizzando l’operazione di differenza tra insiemi:

\begin{align*} & \mathcal{C}_A B = A \setminus B = \left\{ x \in \N \: | \: x \geq 2\right\} \setminus  \left\{ x \in \N \: | \: x > 8\right\} = \\ \\ & =\left\{ x  \in \N \:| \: x \geq 2 \right\} \cap \left\{ x \in \N \:| \: x \leq 8\right\}=\\ \\ & =\left\{ x \in \N \: | \: 2\leq  x \le 8\right\}=\left\{ 2,3,4,5,6,7,8\right\}\end{align*}

Esercizio 7

Veniamo ora all’ultimo di questa serie di esercizi sul complementare di un insieme.

Se {A=\left\{ x \: | \: x=(-1)^n \cdot n^2, \: n \in \N\right\}} e {B=\left\{ x \: | \: x=(2n)^2, \: n \in \N\right\}}, determinare il complementare di {B} rispetto ad {A}, ovvero {\mathcal{C}_A B}.

Anzitutto osserviamo che {B} è un sottoinsieme di {A}. Infatti, se nella proprietà caratteristica dell’insieme {A} sostituiamo al posto di {n} la quantità {2n} (ovvero consideriamo i soli numeri naturali pari) otteniamo:

(-1)^n \cdot n^2 \: \text{con} \: n=2n \quad \rightarrow \quad (-1)^{2n} \cdot (2n)^2=(2n)^2

L’ultimo passaggio si giustifica osservando che {(-1)^{2n}=1 } per ogni {n \in \N}.

Di conseguenza l’insieme {B} si ottiene a partire dall’insieme {A} considerando i soli numeri naturali pari. Quindi {B \subseteq A}.

Ma a questo punto possiamo dedurre che il complementare di {B} rispetto ad {A} si ottiene sostituendo nella proprietà caratteristica di {A} al posto di {n} la quantità {2n+1} (numeri naturali dispari). Infatti, l’insieme dei numeri naturali dispari è il complementare rispetto ad {\N} dell’insieme dei numeri naturali pari. Abbiamo quindi in conclusione:

\mathcal{C}_A B = \left\{ x \: | \: x=(-1)^{2n+1} \cdot (2n+1)^2, \: n \in \N\right\}

Dimostrazione della regola per il complementare di un insieme A rispetto a B mediante il complementare di A rispetto ad E ⊇ B

Intendiamo qui fornire per completezza una dimostrazione della regola utilizzata negli esercizi 4 e 6, ovvero:

\mathcal{C}_B A = \mathcal{C}_E A \cap B

con {B \subseteq E} e {A \subseteq B}.

Dimostrazione

Cominciamo scrivendo il complementare di {A} rispetto a {B}:

\mathcal{C}_B A = \left\{ x \:| \: x \in B \: \land x \not \in A\right\}=B \setminus A

Proviamo a questo punto a sviluppare l’espressione di {\mathcal{C}_E A \cap B} cercando di ritrovare l’espressione di {\mathcal{C}_B A}. Abbiamo:

\begin{align*} &\mathcal{C}_E A \cap B = \\ \\ & =\left\{ x  \:| \: x \in E \land x \not \in A\right\} \cap \left\{ x \:| \: x \in B\right\}=\\ \\ & =\left\{ x \: | \: x \in E \land x \not \in A \land x \in B\right\}=\\ \\ & =\left\{ x \: | \: x \in B \land x \not \in A\right\} \cap \left\{ x \: | \: x \in E\right\}=\\ \\ & =(B \setminus A) \cap E = \mathcal{C}_B A \cap E = \mathcal{C}_B A \end{align*}

Ciò dimostra in conclusione l’uguaglianza {\mathcal{C}_B A = \mathcal{C}_E A \cap B}.

Osserviamo che l’ultimo passaggio si giustifica date le ipotesi:

A \subseteq B \subseteq E

ovvero se {B} è un sottoinsieme di {E}, allora anche {\mathcal{C}_B A } è un sottoinsieme di {E}. E l’intersezione di un insieme con un suo sovrainsieme (in questo caso, {E}) restituisce lo stesso insieme.


Per quanto riguarda gli esercizi sull’insieme complementare per questa scheda è tutto. Per ulteriori dettagli vi rimandiamo alla lezione teorica sull’insieme complementare. Buono studio a tutti voi!


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