Espressioni con frazioni algebriche frazionarie

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Frazioni algebriche

Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi svolti sulle espressioni con frazioni algebriche frazionarie, ovvero espressioni contenenti frazioni algebriche i cui termini sono ancora frazioni algebriche. In altre parole, ci occuperemo di espressioni con frazioni algebriche a termini frazionari, ovvero espressioni con frazioni di frazioni algebriche.

Negli esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche frazionarie che svolgeremo avremo sempre espressioni riducibili alla forma:

\dfrac{ \frac{A}{B}}{ \frac{C}{D}}

Per procedere nella semplificazione dell’espressione basta riguardarla come la divisione {\left( \dfrac{A}{B}\right):\left( \dfrac{C}{D}\right)}. E a questo punto, poiché una divisione tra frazioni può essere riscritta come una moltiplicazione scambiando tra loro il numeratore e il denominatore della frazione al divisore, possiamo scrivere:

\dfrac{ \frac{A}{B}}{ \frac{C}{D}}=\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}

Così in pratica negli esercizi a seguire semplificheremo le espressioni con frazioni algebriche frazionarie fino ad arrivare ad una espressione con frazioni algebriche a termini non più frazionari. E nel calcolare l’espressione utilizzeremo le regole già viste nella scheda sulle espressioni con frazioni algebriche.

Vediamo allora subito gli esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche frazionarie (espressioni con frazioni algebriche a termini frazionari).

Esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche frazionarie (espressioni a termini frazionari)

Esercizio 1

Calcolare la seguente espressione:

\dfrac{\left( \dfrac{b-a}{a}-\dfrac{a+b}{b}\right)\cdot \dfrac{a^2b^2}{a+b}}{a-b+\dfrac{2ab}{a+b}}

L’idea è quella di eseguire i calcoli al numeratore e al denominatore della frazione di frazione separatamente, in modo da arrivare ad un’espressione nella forma {\dfrac{ \frac{A}{B}}{ \frac{C}{D}}}.

Per dirla con la metafora dell’edificio, all’inizio è come se lavorassimo separatamente in ciascun piano. Per maggior chiarezza, evidenziamo i numeratori e i denominatori della frazione di frazione:

\dfrac{\boxed{\left( \dfrac{b-a}{a}-\dfrac{a+b}{b}\right)\cdot \dfrac{a^2b^2}{a+b}}}{\boxed{a-b+\dfrac{2ab}{a+b}}}

Così dobbiamo prima di tutto semplificare ciascuna espressione presente all’interno dei riquadri. Cominciamo:

\begin{align*} &\dfrac{\left( \dfrac{b-a}{a}-\dfrac{a+b}{b}\right)\cdot \dfrac{a^2b^2}{a+b}}{a-b+\dfrac{2ab}{a+b}}=\dfrac{\dfrac{b(b-a)-a(a+b)}{\cancel{a}\cancel{b}}\cdot \dfrac{a^{\cancel{2}}b^{\cancel{2}}}{a+b}}{\dfrac{(a+b)(a-b)+2ab}{a+b}}= \\ \\ & =\dfrac{ {(b^2-ab-a^2-ab)}{}\cdot\dfrac{ab}{a+b}}{\dfrac{a^2-b^2+2ab}{a+b}}=\dfrac{{(-a^2-2ab+b^2)}{}\cdot \dfrac{ab}{a+b}}{\dfrac{a^2-b^2+2ab}{a+b}} = \\ \\ & =\dfrac{\dfrac{(-a^2-2ab+b^2)(ab)}{a+b}}{\dfrac{a^2-b^2+2ab}{a+b}}=\end{align*}

Attenzione: osserviamo che nessuno dei due polinomi {-a^2-2ab+b^2} e {a^2-b^2+2ab} corrisponde ad un quadrato di un binomio. Ciò è dovuto ai segni con i quali si presentano i termini in ciascun polinomio.

A questo punto abbiamo ottenuto un’espressione nella forma “frazione diviso frazione”. Procediamo allora moltiplicando la frazione a numeratore per la reciproca della frazione al denominatore:

\begin{align*} & =\left[{\dfrac{(-a^2-2ab+b^2)(ab)}{a+b}}\right]: \left({\dfrac{a^2-b^2+2ab}{a+b}}\right)= \\ \\ & =\dfrac{(-a^2-2ab+b^2)(ab)}{\cancel{a+b}} \cdot  \dfrac {\cancel{a+b}} {a^2-b^2+2ab} = \\ \\ & = \dfrac{(-a^2-2ab+b^2)(ab)}{a^2-b^2+2ab}=\end{align*}

Ora osserviamo che un fattore al numeratore della frazione è l’opposto del denominatore della frazione. Possiamo allora eseguire una semplificazione a patto di cambiare il segno di tutti i termini del denominatore della frazione stessa e del fattore {ab} al numeratore. Abbiamo:

= \dfrac{(\cancel{a^2+2ab-b^2})(-ab)}{\cancel{a^2-b^2+2ab}}=-ab

Esercizio 2

Calcolare la seguente espressione:

\dfrac{\left( 1-\dfrac{1}{x-1}\right)\cdot \left( 1+\dfrac{1}{x-1}\right)+\dfrac{x}{(x-1)^2}}{\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{5}{x+1}}

Il meccanismo è sempre lo stesso: calcolare le espressioni presenti in entrambi i “piani”, per poi ridursi ad un’espressione a termini non frazionari.

\small \begin{align*} &\dfrac{\left( 1-\dfrac{1}{x-1}\right)\cdot \left( 1+\dfrac{1}{x-1}\right)+\dfrac{x}{(x-1)^2}}{\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{5}{x+1}} = \dfrac{ \dfrac{x-1-1}{x-1}\cdot\dfrac{x-\cancel{1}+\cancel{1}}{x-1}+\dfrac{x}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+4(x+1)-5(x-1)}{(x-1)(x+1)}} = \\ \\ & =\dfrac{\dfrac{x-2}{x-1}\cdot \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{x}{(x-1)^2}}{\dfrac{\cancel{x}+\cancel{4x}+4-\cancel{5x}+5}{(x-1)(x+1)}}=\dfrac{\dfrac{x^2-2x+x}{(x-1)^2}}{\dfrac{9}{(x-1)(x+1)}}=\\ \\ & =\dfrac{x^2-2x+x}{(x-1)^{\cancel{2}}} \cdot \dfrac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{9}=\dfrac{x^2-x}{x-1} \cdot \dfrac{x+1}{9}= \\ \\ & =\dfrac{x\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} \cdot \dfrac{x+1}{9} = \dfrac{x(x+1)}{9}\end{align*}

Esercizio 3

Proseguiamo gli esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche frazionarie (espressioni con frazioni algebriche a termini frazionari) con la seguente:

\dfrac{\left( \dfrac{1}{a-1}+\dfrac{1}{a+3} + \dfrac{4}{a^2+2a-3}\right) \cdot  \dfrac{a^2-1}{4}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{2a+3}{a^2}}

Per sommare tra loro le frazioni algebriche all’interno delle parentesi tonde osserviamo che si ha (scomposizione del trinomio caratteristico):

a^2+2a-3=(a+3)(a-1)

Il denominatore comune di tali frazioni algebriche è dunque {a^2+2a-3}.

Osserviamo inoltre che è possibile scomporre il numeratore della frazione algebrica a moltiplicare la somma all’interno delle parentesi tonde. Si tratta di una differenza tra quadrati (scomponibile nel prodotto somma per differenza).

Così abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{\left( \dfrac{1}{a-1}+\dfrac{1}{a+3} + \dfrac{4}{a^2+2a-3}\right) \cdot  \dfrac{a^2-1}{4}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{2a+3}{a^2}} =\\ \\ & =\dfrac{\dfrac{a+3+a-1+4}{(a+3)\cancel{(a-1)}} \cdot \dfrac{{(a+1)}\cancel{(a-1)}}{4}}{\dfrac{a+2a+3}{a^2}}= \dfrac{\dfrac{(2a+6)(a+1)}{4(a+3)}}{\dfrac{3a+3}{a^2}} = \\ \\ & =\dfrac{2\cancel{(a+3)}\cancel{(a+1)}}{4 \cancel{(a+3)}}\cdot \dfrac{a^2}{3\cancel{(a+1)}} = \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{12}^{\scriptsize \displaystyle6}}a^2 = \dfrac{a^2}{6}\end{align*}

Esercizio 4

Concludiamo gli esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche frazionarie con la seguente espressione:

\dfrac{\left(\dfrac{a-1}{a+4}-\dfrac{a+1}{a-4}\right) }{\left( 4-\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{a^2}\right)\cdot \dfrac{a}{1-4a^2}} \cdot \dfrac{16-a^2}{2a+1}

Eseguiamo i calcoli all’interno delle parentesi quadre e scomponiamo tutti i polinomi ove possibile:

\begin{align*} &\dfrac{\left(\dfrac{a-1}{a+4}-\dfrac{a+1}{a-4}\right)}{\left( 4-\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{a^2}\right)\cdot \dfrac{a}{1-4a^2}} \cdot \dfrac{16-a^2}{2a+1} = \\ \\ & =\dfrac{\boxed{\dfrac{(a-4)(a-1)-(a+4)(a+1)}{(a+4)(a-4)}}}{\dfrac{4a^2-4a+1}{a^{\cancel{2}}} \cdot \dfrac{\cancel{a}}{(1+2a)(1-2a)}} \cdot \dfrac{(4+a)(4-a)}{2a+1} = \end{align*}

Ora stiamo attenti: non possiamo eseguire per il momento alcuna semplificazione nella parte evidenziata nel riquadro. Infatti, non abbiamo soltanto prodotti. Al numeratore della frazione evidenziata dobbiamo piuttosto eseguire i prodotti e sommare tra loro i termini simili:

\begin{align*} &=\dfrac{{\dfrac{\cancel{a^2}-a-4a+\cancel{4}-\cancel{a^2}-a-4a-\cancel{4}}{(a+4)(a-4)}}}{\left( \dfrac{4a^2-4a+1}{a}\right) \cdot \dfrac{1}{(1+2a)(1-2a)}} \cdot \dfrac{(4+a)(4-a)}{2a+1} = \\ \\ & =\dfrac{{\dfrac{-10a}{(a+4)(a-4)}}}{ \dfrac{4a^2-4a+1}{a(1+2a)(1-2a)}} \cdot \dfrac{(4+a)(4-a)}{2a+1} = \\ \\ & =\dfrac{-10a}{(a+4)(a-4)}\cdot\dfrac{a(1+2a)(1-2a)}{\underbrace{4a^2-4a+1}_{(1-2a)^2}} \cdot \dfrac{(4+a)(4-a)}{2a+1} = \\ \\ & = \dfrac{-10a}{\cancel{(a+4)}{(a-4)}}\cdot\dfrac{a\cancel{(1+2a)}\cancel{(1-2a)}}{(1-2a)^{\cancel{2}}} \cdot \dfrac{\cancel{(4+a)}{(4-a)}}{\cancel{2a+1}} = \\ \\ & =\dfrac{-10a^2(4-a)}{(1-2a)(a-4)} = \dfrac{10a^2(4-a)}{(1-2a)(-a+4)}=\dfrac{10a^2}{1-2a}\end{align*}

Anche in questo caso osserviamo che non possiamo semplificare i fattori {a} tra di loro. Infatti al denominatore la lettera {a} è parte di un addendo. Per cui non possiamo eseguire ulteriori semplificazioni ed abbiamo concluso l’esercizio.

Qui termina questa scheda di esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche frazionarie (espressioni con frazioni algebriche a termini frazionari). Buon proseguimento con SìMatematica!