Espressioni con il quadrato di un binomio

 - 

Monomi e polinomi (superiori)

Proponiamo ulteriori esercizi sul prodotto notevole del quadrato di un binomio. In particolare presentiamo in questa scheda degli esercizi svolti e commentati sulle espressioni con il quadrato di un binomio.

Nelle espressioni con il quadrato di un binomio incontreremo tutte le operazioni tra monomi e polinomi studiate sinora e di conseguenza gli esercizi proposti rappresentano un’importante occasione di ripasso.

Vediamo allora subito gli esercizi sulle espressioni con il quadrato di un binomio.

Esercizi svolti sulle espressioni con il quadrato di un binomio

Esercizio 1

Calcolare:

12ab+(3a-2b)^2-(3b+2a)^2+5b(2a+b)

Cominciamo sviluppando i quadrati di un binomio e calcolando il prodotto monomio per binomio. Ricordiamo infatti che le operazioni di potenza e moltiplicazione hanno la precedenza rispetto alla somma algebrica. Concluderemo poi sommando tra loro i termini simili.

\begin{align*} &12ab+(3a-2b)^2-(3b+2a)^2+5b(2a+b) = \\ \\ & =\cancel{12ab}+9a^2-\cancel{12ab}+4b^2-9b^2-12ab-4a^2+10ab+5b^2 = \\ \\ & =(9-4)a^2+(4-9+5)b^2+(-12+10)ab=\\ \\ & =5a^2-2ab\end{align*}

Esercizio 2

x(2x-4y)-(x-y)^2+(y+x)(y-2x)+(x+y)^2

Come nel caso precedente, sviluppiamo il quadrato di un binomio ed eseguiamo le moltiplicazioni (abbiamo una moltiplicazione monomio per polinomio e una moltiplicazione tra binomi).

\begin{align*} &x(2x-4y)-(x-y)^2+(y+x)(y-2x) +(x+y)^2= \\ \\ & =2x^2-4xy-(x^2-2xy+y^2)+(y^2+xy-2xy-2x^2)+x^2+2xy+y^2 =\\ \\ & =\cancel{2x^2}-4xy-\cancel{x^2}+\cancel{2xy}-\cancel{y^2}+\cancel{y^2}+xy-\cancel{2xy}-\cancel{2x^2}+\cancel{x^2}+2xy+y^2=\\ \\ & =y^2-xy\end{align*}

Esercizio 3

Calcolare la seguente espressione con quadrati di binomi:

8\left( y-\dfrac{1}{2}\right)^2-(4-2y)^2-8y\left( \dfrac{3}{4}+\dfrac{y}{2}\right)

Ricordiamo che il quadrato di una frazione è uguale ad una frazione avente per numeratore il quadrato del numeratore della frazione di partenza e per denominatore il quadrato del denominatore della stessa.

Procedendo in modo del tutto simile agli esercizi precedenti abbiamo:

\begin{align*} &8\left( y-\dfrac{1}{2}\right)^2-(4-2y)^2-8y\left( \dfrac{3}{4}+\dfrac{y}{2}\right) = \\ \\ & =8\left( y^2-y+\dfrac{1}{4}\right)-(16-16y+4y^2)-6y-4y^2 = \\ \\ & =\cancel{8y^2}-8y+2-16+16y-\cancel{4y^2}-6y-\cancel{4y^2}= 2y-14\end{align*}

Esercizio 4

12x\left( \dfrac{x}2{-\dfrac{y}{3}}\right)-4\left( \dfrac{x}{2}+y\right)^2+9\left( x+\dfrac{y}{3}\right)^2

Ricordiamo sempre che le potenze hanno la precedenza sulle altre operazioni. Di conseguenza si tratterà anzitutto di calcolare i quadrati dei binomi. E’ allo stesso tempo comunque possibile eseguire il primo prodotto a sinistra. Proseguiremo poi calcolando i rimanenti prodotti e sommando i termini simili.

\begin{align*} &12x\left( \dfrac{x}2{-\dfrac{y}{3}}\right)-4\left( \dfrac{x}{2}+y\right)^2+9\left( x+\dfrac{y}{3}\right)^2= \\ \\ & =6x^2-4xy-4\left( \dfrac{x^2}{4}+xy+y^2\right)+9\left( x^2+\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{y^2}{9}\right)= \\ \\ & =6x^2-4xy-x^2-4xy-4y^2+9x^2+6xy+y^2= \\ \\ & =(6-1+9)x^2+(-4-4+6)xy+(-4+1)y^2= \\ \\ & =14x^2-2xy-3y^2\end{align*}

Esercizio 5

Proseguiamo gli esercizi sulle espressioni con il quadrato di un binomio con la seguente:

\left[ -\dfrac{2}{3}x^2y^4:\left( -\dfrac{1}{3}xy^3\right)-\left( \dfrac{1}{2}x+2y\right)^2\right]\left( -\dfrac{1}{4}x^2+4y^2\right)-\dfrac{1}{16}x^4

Dobbiamo cominciare lavorando all’interno delle parentesi quadre. Si tratta di eseguire la divisione tra monomi e il quadrato del binomio, per poi sommare tra loro gli eventuali termini simili. Una volta ridotto il contenuto delle parentesi quadre sarà poi possibile eseguire il prodotto con il binomio fuori dalle parentesi quadre stesse sommando poi gli eventuali termini simili.

\begin{align*} &\left[ -\dfrac{2}{3}x^2y^4:\left( -\dfrac{1}{3}xy^3\right)-\left( \dfrac{1}{2}x+2y\right)^2\right]\left( -\dfrac{1}{4}x^2+4y^2\right)-\dfrac{1}{16}x^4 = \\ \\ & =\left[ -\dfrac{2}{3}\cdot\left( -3\right)x^{2-1}y^{4-3}-\left( \dfrac{1}{4}x^2+2xy+4y^2\right)\right]\left( -\dfrac{1}{4}x^2+4y^2\right)-\dfrac{1}{16}x^4= \\ \\ & =\left( 2xy-\dfrac{1}{4}x^2-2xy-4y^2\right) \left( -\dfrac{1}{4}x^2+4y^2\right)-\dfrac{1}{16}x^4 = \\ \\ & =-\cancel{\dfrac{1}{2}x^3y}+\cancel{\dfrac{1}{16}x^4}+\cancel{\dfrac{1}{2}x^3y}+\cancel{x^2y^2}+\cancel{8xy^3}-\cancel{x^2y^2}-\cancel{8xy^3}-{16y^4}-\cancel{\dfrac{1}{16}x^4}= \\ \\ & =-16y^4\end{align*}

Esercizio 6

Veniamo all’ultimo di questi esercizi sulle espressioni con il quadrato di un binomio:

\left[ \left( \dfrac{1}{2}+x\right)\left( \dfrac{1}{2}-y\right)+\dfrac{1}{4}x^2y:\left( -\dfrac{1}{2}xy\right)-\left( \dfrac{1}{2}-xy\right)^2\right]\left( \dfrac{1}{2}y-x^2y^2\right)

Come nel caso precedente dobbiamo prima di tutto ridurre l’espressione all’interno delle parentesi quadre. Si tratterà di eseguire il prodotto tra i due binomi a sinistra, la successiva divisione tra monomi e il quadrato di un binomio. Fatto ciò, sommeremo i termini simili eventuali all’interno delle parentesi quadre e moltiplicheremo quanto ottenuto per il binomio {\dfrac{1}{2}y-x^2y^2}.

\begin{align*} &\left[ \left( \dfrac{1}{2}+x\right)\left( \dfrac{1}{2}-y\right)+\dfrac{1}{4}x^2y:\left( -\dfrac{1}{2}xy\right)-\left( \dfrac{1}{2}-xy\right)^2\right]\left( \dfrac{1}{2}y-x^2y^2\right)= \\ \\ & =\left[ \dfrac{1}{4}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2}-xy +\dfrac{1}{4} \cdot (-2) x^{2-1}y^{1-1}-\left( \dfrac{1}{4}-xy+x^2y^2\right)\right] \left( \dfrac{1}{2}y-x^2y^2\right) = \\ \\ & =\left(\cancel{ \dfrac{1}{4}}+\cancel{\dfrac{x}{2}}-\dfrac{y}{2}-\cancel{xy}-\cancel{\dfrac{1}{2}x}-\cancel{\dfrac{1}{4}}+\cancel{xy}-x^2y^2\right)\left( \dfrac{1}{2}y-x^2y^2\right)= \\ \\ & = \left( -\dfrac{1}{2}y-x^2y^2\right)\left( \dfrac{1}{2}y-x^2y^2\right)=\end{align*}

Ora piuttosto che eseguire il prodotto tra i due binomi secondo la regola generalizzata è conveniente riconoscere il prodotto notevole somma per differenza. Infatti, posto {A = -x^2y^2} e {B=-\dfrac{1}{2}y} il prodotto è della forma {(B+A)(-B+A)=(A+B)(A-B)=A^2-B^2}. Così proseguendo i passaggi abbiamo in conclusione:

=x^4y^4-\dfrac{1}{4}y^2

Per chi non conosce ancora il prodotto notevole somma per differenza è comunque possibile moltiplicare tra loro i binomi secondo la regola generalizzata del prodotto tra polinomi, ritrovando comunque lo stesso risultato.

Conclusioni

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sulle espressioni con il quadrato di un binomio è tutto. Buon proseguimento!