Veniamo ora agli esercizi relativi ad espressioni con prodotti polinomio per monomio. Svolgeremo quindi esercizi che contengono dei prodotti di un polinomio per un monomio. Amplieremo così quanto visto sulla lezione relativa al prodotto di un polinomio per un monomio.
Nel calcolo delle espressioni con prodotti polinomio per monomio considereremo le usuali regole di precedenza. Così calcoleremo prima i prodotti, poi le somme.
Esercizi svolti sulle espressioni con prodotti polinomio per monomio
Esercizio 1
\left( 4x-2y\right)\cdot y^2+(3x^2-6y^2)\cdot y
Cominciamo calcolando ciascun prodotto polinomio per monomio, procedendo poi a sommare tra di loro i termini relativi ai rispettivi risultati.
\begin{align*}&\left( 4x-2y\right)\cdot y^2+(3x^2-6y^2)\cdot y= \\ \\ & = \underbrace{4x \cdot y^2 - 2y \cdot y^2}_{\substack{\text{1° prodotto polinomo} \\ \text{per monomio}}} +\underbrace {3x^2 \cdot y - 6y^2 \cdot y}_{\substack{\text{2° prodotto polinomo} \\ \text{per monomio}}} = \\ \\ & = 4xy^2-2y^3+3x^2y-6y^3= \end{align*}Ora attenzione: abbiamo dei termini simili. Per cui per arrivare al risultato finale dobbiamo sommarli tra di loro (vedi: espressioni con monomi, ad esempio l’esercizio 4).
= 4xy^2+(-2-6)y^3+3x^2y=4xy^2-8y^3+3x^2y
Esercizio 2
(2a^3b) \cdot (a^2b+4b^3)-(a^3-ab^2)\cdot(ab)^2
Qui il primo prodotto polinomio per monomio è della forma monomio per polinomio. Ovviamente per la proprietà commutativa della moltiplicazione ciò non fa differenza alcuna. Osserviamo invece che nel secondo prodotto polinomio per monomio compare una potenza di un monomio, che deve essere calcolata per prima. Le potenze infatti hanno la precedenza su tutte le altre operazioni.
\begin{align*}&(2a^3b) \cdot (a^2b+4b^3)-(a^3-ab^2)\cdot(ab)^2 = \\ \\ & = (2a^3b) \cdot (a^2b+4b^3)-(a^3-ab^2)\cdot(a^2b^2) = \\ \\ & =2a^3b \cdot a^2b+2a^3b\cdot 4b^3-a^3 \cdot a^2b^2-ab^2 \cdot a^2b^2 = \\ \\ & = 2a^5b^2+8a^3b^4-a^5b^2-a^3b^4 = \\ \\ & = (2-1)a^5b^2+(8-1)a^3b^4=a^5b^2+7a^3b^4 \end{align*}Anche in questo caso una volta calcolato il prodotto abbiamo provveduto a sommare tra loro i termini simili.
Esercizio 3
Veniamo ad un altro esercizio sulle espressioni con prodotti polinomio per monomio:
2b \cdot(a+b-2)+(3ab+b-1) \cdot (-4b)
I polinomi sono dei trinomi, ma a parte la presenza di più termini nulla cambia rispetto al metodo da utilizzare. Dobbiamo soltanto stare ancor più attenti a non dimenticare nessun termine nel calcolo dei prodotti parziali.
\begin{align*}& 2b \cdot(a+b-2)+(3ab+b-1) \cdot (-4b) = \\ \\ & = 2b \cdot a + 2b \cdot b + 2b \cdot (-2) + 3ab \cdot (-4b) + b \cdot (-4b) -1 \cdot (-4b) = \\ \\ & = 2ab+2\underline{b^2}-\cancel{4b}-12ab-4\underline{b^2}+\cancel{4b}= \\ \\ & =-10ab-2b^2\end{align*} Esercizio 4
Per questo ultimo esercizio riportiamo il solo svolgimento senza commenti. Vi invitiamo a provare a svolgerlo da soli per poi verificare il risultato.
\small \begin{align*} & \left( -\dfrac{1}{5}xz\right)\cdot (x+y-10z)-4x\left( -\dfrac{1}{4}xz-\dfrac{2}{5}yz+\dfrac{1}{2}z^2\right) = \\ \\ & = -\dfrac{1}{5}xz \cdot x -\dfrac{1}{5}xz \cdot y -\dfrac{1}{5}xz \cdot (-10z) - 4x \cdot \left( -\dfrac{1}{4}xz\right)-4x\cdot \left( -\dfrac{2}{5}yz\right)-4x \cdot \dfrac{1}{2}z^2 = \\ \\ & = -\dfrac{1}{5}x^2z-\dfrac{1}{5}xyz+\cancel{2xz^2}+x^2z+\dfrac{8}{5}xyz-\cancel{2xz^2}= \\ \\ & = \left( -\dfrac{1}{5}+1\right)x^2z+\left( -\dfrac{1}{5}+\dfrac{8}{5}\right)xyz= \\ \\ & = \dfrac{4}{5}x^2z+\dfrac{7}{5}xyz\end{align*} Per questa serie di esercizi è tutto. Per qualsiasi dubbio vi consigliamo la lezione teorica correlata che trovate nella barra di navigazione in fondo, ed inoltre l’esercitazione sul prodotto di un polinomio per un monomio. Buono studio!
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